Высшая математика
.pdf
|
Практическое занятие № 8 |
|
||
|
Тема. Степенные ряды |
|
||
|
|
|
00 |
х” |
З а д а ч а 1. Найдите область сходимости ряда У |
— . |
|||
|
|
|
«=о |
п\ |
|
|
1 |
1 |
|
Р е ш е н и е . Имеем а„ = —; а„ |
= ---------. |
|
||
|
|
" n\ ”+1 |
(л + 1)! |
|
R = lim |
и! |
( л + 1)! |
|
|
|
= lim---------= 1іт(й + 1) = да. |
|
||
Л—>00 |
|
Уі\ |
П-+00 |
|
(и + 1)!
Следовательно, ряд сходится при любом значении х .
|
|
|
00 |
х п |
З а д а ч а 2. Найдите область сходимости ряда]Г — . |
||||
Р е ш е н и е . Имеем |
|
/.=1 |
п |
|
|
|
|
||
= - ; « л+1= |
- 7 7 . |
^ - lim |
И |
|
П |
П + 1 |
я - |
И |
|
и + 1
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимо сти (-1,1).
При х =1 имеем ряд 1 + -^-+ -^+ -^-+ ..., который расходится
(гармонический |
ряд). |
При |
х = -1 |
имеем |
ряд |
, 1 1 1 |
|
- |
|
|
|
-1 + —- —+ —- ..., который сходится по признаку Леибница.
Следовательно, областью сходимости исходного ряда явля ется полуотрезок [-1,1).
20
За д а ч а 3. Найдите область сходимости степенного ря-
”(х + 2У
дап~\£ ft *L
Р е ш е н и е . Имеем |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
я. = |
(и + 1)2"+ |
||
|
п- 2" |
||
|
1 |
|
|
|
п -2 ” |
. |
(и + 1) - 2 |
R = lim |
___ 1_ |
= lim |
= 2 . |
|
(и+ 1)2л+1 |
|
|
Следовательно, ряд сходится при |
- 2 < х + 2 < 2 , т. е. при |
||
- 4 < х < 0 . |
|
|
|
При х = -4 имеем ряд |
|
|
|
J |
£ 3 1 |
= £ Н ) 1 |
|
n=i |
л • 2 |
/1= |
п |
который сходится по признаку Лейбница. |
|||
При х = О имеем ряд |
|
|
|
|
со |
|
001 |
|
„=1 П-2 |
п=1 |
и |
который расходится (гармонический ряд).
Следовательно, областью сходимости исходного ряда явля ется полуотрезок [-4, 0).
21
З а д а н и е . Найдите область сходимости ряда.
• • |
i |
/ |
f |
n=1 |
|
л=0 |
|
|
|
||
О т в е т . (-7,7) |
О т в е т . [1,3] |
||||
3 ў ( х - 5 Г |
4 . І З - Х " . |
-О |
|||
‘ „=! |
|
И-3” ' |
|
||
О т в е т. [2, 8) |
р. |
/ J _ r |
|||
|
|
|
|
Ответ. |
’ з ’ з. |
5 . Х и!(х-5)л .
Л=1
О т в е т . х = 5
Практическое занятие № 9
Тема. Разложение функций в степенные ряды 3 а д а ч а 1. Разложите в ряд Маклорена функцию
Д*) = 2'.
Р е ш е н и е . Найдем значения функции и ее производных при х = 0 .
f ( x) = 2х, / ( 0) = 2° = 1 ,
Г (х ) = Г]п2, / '( 0) = 1п2 ,
/" (* ) - 2х In2 2, / " ( 0) = 1п22 ,
/ (и)(х) = 2хIn”2, / (п)(0) = In" 2.
22
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
2х —1 + xln2 + х21п22■+ -х31п32 |
|
|
||||||
|
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
З а д а ч а |
2. Вьшишите ряд Маклорена функции е~х |
|||||||
Р е ш е н и е . В разложении |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
ех =1 + — + — + — + ..., х е (-оо,оо), |
|
|||||
|
|
|
|
1! 2! 3! |
|
|
|
|
заменим х на - х |
, получим |
|
|
|
|
|||
е |
_г» |
ч |
х 2 |
X 4 |
X 6 |
X 8 |
, |
ч |
|
= 1 ------+ -----------+ ------ хе(-со,оо). |
|
||||||
|
|
|
1! |
2! |
3! |
4! |
|
|
З а д а ч а |
3. Разложите в ряд Маклорена функцию |
|||||||
2
/(* ) = 3 - х
Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой
1 = 1 + х + х +... + х " +..., х е ( - 1,1). 1- х
Так как
/(* ) = 3 - х |
2 |
1 |
' . - г ' 3 |
|
|
|
V |
|
|
2 |
2 |
|
х |
2 |
х 2 |
2 |
х3 |
|
■ — |
— I---- |
-----1---- —5*H----- —j- + ..., |
' |
||||||
3 - x |
3 |
~ |
3 |
~ |
„ |
, 2 |
T |
->3 |
|
3 |
|
3 |
3" |
3 |
33 |
|
|||
X
где - 1 < — < 1 , т. e. - 3 < x < 3. 3
З а д а н и е . Разложите в ряд Маклорена.
! • / ( * ) = 3*.
О т в е т . У = 1 + ^ - х |
+ ^ ~*х2 + -П- - х 3 +..., хе(-оо,оо), |
||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
2! |
3! |
|
|
|
|
||
2. f (х) = sin 2х4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2х4 |
_ |
|
2х4 |
23х12 |
2s -х20 |
|
х е (-оо,оо), |
||||
О т в е т , sin —-— = — — |
^ |
+ —5 |
|
|
|||||||||
|
|
3 |
“ |
|
3! |
З3 -3! |
З5 -5! |
|
|
|
|||
3. Разложите |
, |
х2 |
|
в ряд по степеням х . |
|
|
|||||||
О т в е т , х |
гл |
2 |
|
1-4 |
4 1-4-7 |
6 |
+... |
^ |
|
Jl_ J _ |
|||
|
1- х |
|
+ ---- х |
---------- х |
|
, х е |
S ’S |
||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
/ |
|
||
4. Разложитеfix) = — в ряд по степеням х - 2.
х
Ответ.
~ |
f |
~ 2>+ 7< х - 2>2 - |
1 о |
~ 2>! + * 6 <°'4>- |
X |
Z 4 |
о |
|
5. Выпишите ряд Маклорена для функции / (х) = 1п(4 - х).
Ответ.
1 |
1 |
х 2 |
1 |
х 3 |
|
1п(4 - х) = 1п4— |
х — |
г - |
----------------2 |
4 |
-------х е [-4,4). |
4 |
4 |
|
3 |
||
24
Практическое занятие № 10
Тема. Некоторые приложения степенных рядов
З а д а ч а 1. Вычислите V90 с точностью до 0,0001. Р е ш е н и е . Преобразуем корень
V90 = V81 + 9 = t|34f l + “ |
= 3 1 + -I V |
|
|
||
|
|
|
I 9 |
|
|
Полагаем в разложении функции |
(l + x)m ,т = ^ , |
х = ~ и> |
|||
умножая на 3, получим |
|
|
|
|
|
V90 =3 ' t 1 |
1-3| 1-3-7 |
1-3-7-11 |
| |
N |
|
+ 4-9 |
2!-42 -92 + 3!-43 |
-93 |
4!-44 -94 |
+ ‘" |
|
* 3 + 0,0833 - 0,00347 + 0,00023 = 3,08009.
Здесь частичная сумма S 4 обеспечивает заданную точ ность, так как
щ = и. — — |
* 0,00023 • — < 0,0001. |
5 4 4-4-9 |
144 |
За д а н и е .
1.Вычислите y/V7 с точностью до 0,0001.
От в е т . Vl7 *2,0305.
2.Вычислите sin 1 с точностью до 0,001.
От в е т , sin 1« 0,842 .
3.Вычислите In 1,04 с точностью до 0,0001.
От в е т . In 1,04 * 0,0392.
25
З а д а ч а |
2. Вычислите интеграл \е ^ dx |
с точностью до |
||||||
0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
1 2 |
|
Ч |
X 2х 4 |
х 6 |
|
dx = |
|
\е х dx= |
П1------н------------ + ... |
|||||||
|
|
I |
|
oJ |
1! |
2! |
3! |
|
f |
х3 |
х5 |
X7 |
|
X9 |
11 |
|
0,747. |
X------ h- |
6-7 24-9 |
120-11 |
|
|||||
V |
3 |
2-5 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
|
|
интеграл |
Н 1-COSJC , |
с точностью |
|||
4. Вычислите |
J ----- — |
dx |
||||||
до 0,0001. |
|
|
|
|
о |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т , |
J -— ^ ^ - d x |
«0,2483. |
|
|
|
|||
|
о |
X |
|
|
|
|
|
|
ОД
5. Вычислите интеграл f —------ -dx с точностью до 0,001.
оX
О т в е т . ”}1 |
* 0,098. |
о |
х |
Практические занятия № 11-12
Тема. Ряды Фурье
З а д а ч а 1. Разложите в ряд Фурье периодическую функ цию /(х ) = х2 при - 71 < х < я .
Р е ш е н и е . Данная функция четная. Все коэффициенты Ъп = 0, а коэффициенты а п вычисляются при I = п .
26
7 * |
2 f i x |
|
f x 2 2 ' |
N |
|
Z, f 2 |
|
sin ИХ |
|||
an = — Ijc с |
— — cos и х + |
----- |
J |
||
7Co |
л Vn2 |
|
и |
) |
|
|
4cosn7t |
„ 4 |
и * 0 |
|
|
|
-----—- = ( - 1)"— |
|
|
||
|
я |
я |
|
|
|
(Здесь дважды применена формула интегрирования по частям.)
Вычислим |
|
2 ", |
2 , 2х3 271 |
а0 = - J x |
<&= —- |
Л о |
371 |
Следовательно,
х 7 = л 2 4 / со&х cos2x cos3x
Y
З а д а н и е .
1. |
Разложите |
в |
ряд |
Фурье |
периодическую функцию |
||||
/(х ) = х при х е (-я, 7i), Т = 2л. |
|
|
|
|
|||||
О т в е т . /(х ) = 2 |
sinx |
sin2x |
sin3x |
|
|
||||
|
|
|
. 1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2. |
Разложите в |
ряд |
Фурье |
|
периодическую |
функцию |
|||
f{ x ) = х + л |
при х е(-71,7i), Т = 2 л . |
|
|
|
|
||||
Л |
|
ч |
-Г . |
sin2x |
sin3x |
sin4x |
^ |
||
О т в е т . |
/(х) = л + 2 |
sinx--------- н--------------------- н... . |
|||||||
|
|
7 W |
V |
2 |
|
3 |
4 |
J |
|
3. |
Разложите в |
ряд |
Фурье |
периодическую |
функцию |
||||
f i x ) = — в интервале (0,27t].
Л |
. л |
sinx |
sin2x |
sin3x |
О т в е т , |
fix ) = -------------------------------- |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
27
4. Разложите в ряд Фурье функцию периода 2 л , заданную формулой
/( * ) = |
■1 |
при |
- л < х < О, |
|
1 |
при 0 < х < л. |
|||
|
||||
^sinx |
sin3x |
sin5x |
||
От в е т . /(х ) = —
л1
За д а ч а 2. Разложите в ряд Фурье функцию, заданную формулой
л
х при 0 < х < —,
/( * ) = л л
— при — < X < Я,
22
Ре ш е н и е . Продолжим функцию / (х) на отрезок [-я, 0]
четным образом, затем периодически продолжим ее с перио дом 2л на всю ось Ох, Для полученной функции имеем;
б„=о; «0=л о |
я 2 |
Зл |
т; |
||
Jx dx+ \ —dx |
|
|
]xcosnxcfcc+ — Jcosnxdx
л о |
2 ж |
28
|
|
|
|
|
+ |
|
+ simrc |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
. 3 |
|
2 ® |
1 f rm |
Л |
|
f ( x ) = - n +—2^ |
—г |
cos------1 |
cos/rc, где х е [ 0 ,п ] . |
||
8 |
Пп=\ |
n |
\ |
2 |
J |
З а м е ч а н и е . Можно было продолжить исходную функ цию нечетным образом.
5. Разложите в ряд Фурье по косинусам функцию
Ответ.
п |
2 ( cosx |
cos3x cos5x |
— I— -------1---------- 1-------- |
||
1 |
_ -1 1 |
. о 1 _ о |
где x e (0, n) .
6. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию
|
0,3 при 0 < х < 0,5, |
|
|
-0,3 при |
0,5 < х < 1. |
О т |
в е т . /(х ) = - |
+ ... , где |
х е (0, |
1). |
/ |
|
||
29