Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

2.ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1.Комплексные числа и операции над ними

Комплексным числом z называется выражение вида	z x iy,
где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица, i	1. Ком-

плексное число можно изобразить на плоскости XOY точкой с координатами x и y (рис. 2.1).

				z = x +
				y
				φ	x
					x
			0	x
				Рис. 2.1
Полярные координаты r и точки x, y					соответствуют модулю
			и аргументу Arg z комплексного числа z. Ар-
r	z	x2 y2
r	z	x2 y2
гумент определяется из формул x r cos ,					y r sin с точностью

до слагаемого 2k . Среди значений аргумента комплексного числа z 0 существует одно и только одно значение, заключенное между

и . Его называют главным значением аргумента и обозначают arg z: Arg z arg z 2 z, k z, arg z .

Кроме алгебраической формы z x iy часто используют тригонометрическую форму комплексного числа: z r cos i sin .

Пользуясь формулой Эйлера ei cos i sin можно получить

показательную форму любого комплексного числа, кроме z 0 i 0: z rei .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

z1 x1 iy1 и z2				x2 iy2	осуществляются по формулам:
				z1 z2	x1 x2 i y1 y2 ;		(2.1)
				z1z2 x1x2 y1y2 i y1x2 x1y2 ;			(2.2)
	z1	x1 iy1	x1 iy1 x2 iy2			x1x2 y1 y2 i y1x2 x1 y2 ;
			x1 iy1 x2 iy2			x1x2 y1 y2 i y1x2 x1 y2 ;
	z2	x2 iy2		x22 y22		x22 y22
					x2 y2 0.		(2.3)
					2	2
	С помощью формулы Муавра					cos i sin n cos n i sin n
можно получить формулу для степени числа:
				zn rei n rnein rn cos n i sin n .			(2.4)

Корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений k 0,1, 2, ..., n 1 ::

	2 k	i sin	2 k


zk n r cos i sin n r cos	n		n	. (2.5)

2.2. Понятие функции комплексного переменного. Предел и непрерывность

Множество называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству. Связное открытое (не содержащее границу) множество называется областью.

Пусть в комплексной плоскости задана некоторая область D и правило, по которому любому z D ставится в соответствие определенное число w u iv W. В этом случае говорят, что на области D

задана

однозначная

функция

w f z ,

отображающая

область D на W. чисел w, то такая

Функция

f z

Если одному значению z соответствует несколько функция называется многозначной.

может быть представлена в следующем виде:

w f z u x, y iv x, y ,

где

u x, y Re f z ,

v x, y

Im f z – действительные функции двух переменных, являющиеся действительной и мнимой частями комплексной функции f z .

Комплексное число с называется пределом однозначной функ-

ции w f z при			z a, если для всякого числа		0 существует
такое число 0,			что из неравенства	z a	следует неравен-
такое число 0,			что из неравенства	z a	следует неравен-
ство	f z c	.
ство	f z c	.

В этом случае пишут lim f z c. Функция w f z называет-

z a

ся непрерывной в точке z0 , если lim f z f z0 . Функция, не-

z z0

прерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области. Область D называется односвязной, когда

она ограничена замкнутой	линией Г, не пересекающей	себя
(рис. 2.2, а). Область D называется двусвязной, если она ограничена
двумя замкнутыми линиями	Г1 и Г2 , которые не пересекаются и
каждая не пересекает себя (рис. 2.2, б); внутренняя линия Г2 ,		мо-
жет вырождаться в точку или в дугу непрерывной линии.

Г	Г1
	Г2
D
a	б

Рис. 2.2

Аналогично определяются трехсвязная, четырехсвязная и другие области.

2.3. Основные элементарные функции комплексного переменного

Показательная: ez ex iy ex cos y i sin y .

Тригонометрические:

cos z

;

sin z

;

tg z

sin z

; ctg z

cos z

sin z

ez e z ;

Гиперболические:

ch z

sh z

th z

sh z

;

cth z

ch z

sh z

Логарифмическая функция

Ln z ln

i arg z 2k ;

k z.

Значение логарифма при k 0 называется главным значением логарифма и обозначается ln z ln z i arg z. Тогда Ln z 2k .

5) Обратные тригонометрические и обратные гиперболические

функции выражаются через логарифмическую функцию:

1 z2 ;

Arsh z Ln z

;

Arcsin z

z2 1

Ln z

z2 1 ;

Arch z Ln z

;

Arccos z

z2 1

Arctg z

1 iz

Arth z

1 z

;

2 1

1 iz

z 1

Arcctg z

z i

Arcth z

;

z 1

z i

6) Если и – два комплексных числа,

то степень

силу основного логарифмического тождества

e Ln e ln 2k i ;

k z.

2.4. Аналитические функции. Производная ФКП. Условия Коши–Римана

	Пусть функция	f z	определена в некоторой окрестности точки
z0	комплексной плоскости.
	Производной f z0		функции f z	в точке z0 x0 iy0 назы-
вается предел lim		f z0	z f z0	f z , если он существует
вается предел lim				f z , если он существует
	z 0			0
			z

и конечен. Если существует производная f z0 , то функция f z

называется дифференцируемой в точке z0 . Функция f z называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Функция f z называется аналитической в точке z0 , если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки z0 .

Теорема 2.1. Для того, чтобы функция				f z u x, y i x, y	была
дифференцируемой в точке z0 x0 iy0 , необходимо и достаточно:
	u	u	v	v
1) частные производные	x ,	y ,	x	, y должны существовать
и быть непрерывны в некоторой окрестности точки x0 , y0					(как
функции двух действительных переменных x и y);
2) в точке x0 , y0 должны выполняться условия Коши–Римана:
u	v	; u	v .		(2.6)
x	y	y		x

Если функция задана через свои вещественную и мнимую части,

то после проверки условий Коши–Римана производную f z			мож-
	u		v
но найти по одной из равносильных формул: f	z x	i x

u i ux y

v i vy x

i u

. Если же дана зависимость

, то

после проверки условий Коши–Римана производную можно найти непосредственным дифференцированием. Правила дифференцирования и таблица производных имеют такой же вид, что и для функций

вещественного аргумента. Если функция f z аналитическая в области D, то ее действительная часть u x, y и мнимая часть v x, y являются функциями, гармоническими в D. Это значит, что у каждой из функций u x, y и v x, y существуют непрерывные в D частные производные второго порядка, и для каждой из них верно уравнение

Лапласа: u 2u	2u 0,	v	2v	2v	0,		x, y D, где
x2	y2		x2	y2
– оператор Лапласа. Если функция u x, y					(функция v x, y ) яв-
ляется гармонической в некоторой односвязной области D, то суще-
ствует аналитическая в D функция			f z	с действительной частью
u x, y (соответственно с мнимой			частью v x,				y ),	определяемая
с точностью до постоянного слагаемого.
		Примеры
1. Выполнить указанные действия над комплексными числами:
а) 2 3i 6 4i 1 8;				б)		4 i		5 3i	.

						2 i		3 i

Решение.

а) В соответствии с формулами (2.2) и (2.1) имеем

2 3i 6 4i 1 8 12 8i 18i 12 1 8i 25 18i.

б) Применим формулу (2.3). Получим

4 i	4 i 2 i	8 4i 2i 1	7 6i	;
	2 i 2 i
2 i		4 1	5

5 3i		5 3i 3 i								15 5i 9i 3					12 14i					6
3 i			3 i 3 i								9 1
3 i			3 i 3 i								9 1					10				5
			4 2i				5 3i				7 6i		6 7i		13		i	1	.
			2 i				3 i				5		5			5	i	5	.
			2 i				3 i				5		5			5		5
2. Найти значения выражения f x x4														x2		1 в точке
Решение. Так как
			1 i 4					1 2i 1 1 2i 1							4		1;

											4					4

					2
	1 i			2		1 2i 1			i , то			f x		1 i 1 i.
				2					i , то			f x		1 i 1 i.
								2					0
			2					2

7i	;

x0 1 i . 2

3. Записать в тригонометрической и показательной форме следующие числа:

а) 7i;

б) 3 3i;

в)

1 i 3

1 i 2

Решение.

x 0,

а) Найдем модуль и аргумент числа. В данном случае

y 7. Значит,

cos

sin

49 7,

arg z

. Число

в тригонометрической и показательной

форме имеет вид

7i 7 cos

i sin

2 .

б) Аналогично:	x 3,	y 3,		z	9 9		18 3	2.
б) Аналогично:	x 3,	y 3,		z	9 9		18 3	2.
	cos		3	1


		3	2	2
			3	1		4	.
	sin		3	1		4

		3	2	2
		3	2	2

								i
3 3i 3	2			i sin		3		i	4 .
3 3i 3	2	cos		i sin		3	2e		4 .
			4		4

в) Найдем сначала действительную и мнимую части этого ком-

плексного числа 1 i 3				2i 2				1		1		1 i. Находим модуль и
плексного числа 1 i 3								1				1 i. Находим модуль и
	1 i 2					2i					i
аргумент комплексного числа z 1 i:
r	1 2 1 2							cos sin								1	5	.
			2;													1	5
																	4

															2
						5			5					i	5
Поэтому 1 i							i sin								4 .

		2 cos											2e
		2 cos											2e
					4				4

3 i 6

4.Вычислить 1 i 8 1 i 4 .

Решение. Представим числа, стоящие в числителе и знаменателе, в показательной форме:

											1
3 i:	r				2;		cos	3		sin
			3 1					3	;					;
			3 1					2	;		2		6	;
								2			2		6
		i 6				6
				26 ei		6	26 cos i sin 26
	3			26 ei		6	26 cos i sin 26					;

1 i:1

1 i: r

r		cos sin							1						;
	2;								1
	2;													4
								2						4
							8
8		8			i					2i
		8			i							4
		2	e					2 e			2	4	;
i		2	e			4		2 e			2		;
						4


	cos			1			;	sin		1							;
2;				1						1
2;																4
				2						2						4

				1 i 4											4				4
																	e i		4				22 e i 22 ;
													2				e i		4				22 e i 22 ;


											i 6
										3	i 6												2	6						16
																							2							16		.
									8									4			24			22								.
									8									4			24			22							5
				1			i						1				i
	5. Найти все значения 3																		.
	5. Найти все значения 3													2 2i					.
	Решение. Представим в тригонометрической форме

				3									3										3						3
				3									3										3						3
					2			2i							2		2 cos									i sin
					2			2i							2		2 cos									i sin
																						4							4
												3				2 k									3				2 k

													4							i sin					4
					2	cos							4												4								;
					2	cos										3												3					;
																3												3

	k 0,1,2 .
	k 0:
			3	i sin		3																i sin												1	i	1		1 i;
			3			3																												1		1
z0		2 cos														2	cos															2
			12																	4							4
																																		2
						12																												2			2

k 1:
				3	2		3	2
z				4	2	i sin	4	2				11	i sin	11
	2		cos	4			4		2		cos	11		11			;
	2		cos						2		cos						;
1
					3			3				12			12

k 2:
				3	4		3	4
												19		19
z2				4		i sin	4					19	i sin	19
	2	cos		4			4		2	cos						.
	2	cos							2	cos						.
					3			3				12			12

6. Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием: 1 z 2 i 2.

Решение. Пусть z x iy.

Тогда

z 2 i x iy 2 i x 2 i y 1 .

Модуль этого комплексного числа

x 2 i y 1 x 2 2 y 1 2 .

И
					x 2 2	y 1 2	2
	2		2		x 2 2	y 1 2	2
1 x 2	2	y 1	2	2
1 x 2		y 1		2		y 1 2	.
					x 2 2	y 1 2	1

Следовательно, это множество точек представляет собой концентрическое кольцо, ограниченное окружностями радиусов R1 1

и R2 2 с центром в точке z0 2 i . Обе окружности принадлежат множеству.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]