Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dt , n 1, 2, 3,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Частным случаем разложения функции	f	x
ется, когда функция f x 2 -периодическая		( l
лы (1.22)–(1.27) имеют более простой вид.
Для произвольной функции f x имеем

в ряд Фурье явля-

). Здесь форму-

cos nx b

sin nx ,

(1.28)

n 1

где

f t dt,

f t cos ntdt,

n 1, 2, 3,

(1.29)

f t cos ntdt,

n 1,2, 3,

Если функция

f x

четная, то ее ряд Фурье принимает вид

cos nx,

n 1

где

t dt

f t cos ntdt, n 1, 2, 3,

Если функция

f x

нечетная, то ее ряд Фурье принимает вид

S f x bn sin nx,

n 1

где

f t sin ntdt, n 1, 2, 3,

По определению только периодическую функцию можно пред-

ставить в

виде

ряда

Фурье. Однако непериодическую

функцию

f x тоже можно представить в виде ряда Фурье на любом конеч-

ном промежутке. Рассмотрим некоторые случаи.

f x

Пусть

требуется

непериодическую функцию

представить

в виде ряда Фурье на отрезке l, l . Построим функцию

f x , опре-

деленную при всех действительных значениях

x, совпадающую с

функцией

f x

на отрезке l, l , кроме, быть может, одного из кон-

цов отрезка l,

(в этой точке функция

f x должна совпадать со

своим значением

другом

конце

отрезка l,

l ),

и являющейся

2l-периодической. Тогда ряд Фурье S f x

функции

f x

считается

рядом Фурье S f

функции

f x

на отрезке l, l : так как в точ-

ках

непрерывности

интервала

выполняется

равенство

S f

x S f x f x ;

в точках разрыва

x интервала l,

l выпол-

няется равенство

x S

f x 0 f x 0

; на концах от-

резка l,

l выполняется равенство

l S

f l 0 f l 0

Вне отрезка l,

нет никакой связи между значениями функ-

ции f x

и ее рядом Фурье S f x .

Если функцию

f x нужно разложить в ряд Фурье на отрезке

0, l , то ее можно разложить в ряд Фурье либо только по косинусам, либо только по синусам. Делается это следующим образом.

Если вместо функции f x построить функцию f x ,	опреде-
ленную при всех действительных значениях x, такую,	что она

совпадает с функцией		f x на отрезке			0, l , является четной и 2l-
периодической, то ряды Фурье S			f	x	и S f	x	функций		f x

и f x	на отрезке 0,	l совпадают. Ряд Фурье					S f	x функции
f x ,	а значит, и ряд	Фурье S f x функции				f x ,		не содержит

синусов (разлагается только по косинусам), так как по построению функция f x четная.


Если вместо функции f x построить функцию f x ,					опреде-
ленную при всех действительных значениях			x,	такую,	что она
совпадает с функцией f x	на промежутке 0,		l ,	является нечет-
ной, 2l-периодической и в точке		x 0 принимает произвольное
значение, то ряды Фурье S f	x и	S f x функций f x			и f x
на отрезке 0, l совпадают.	Ряд Фурье S f x		функции		f x , а

значит, и ряд Фурье S f x функции f x , не содержит косинусов (разлагается только по синусам), так как по построению функция

f x нечетная.

Наконец, если непериодическую функцию f x

нужно предста-

вить в виде ряда Фурье на отрезке a, b , где a b,

то ее ряд Фурье

будет иметь следующий вид:

S f x

an cos

bn sin

n 1

где

f t dt,

l a

ntdt ,

f t cos

n 1, 2, 3,

l a

здесь l	b a	.
	2

Примеры

	x ,	x 0,
1. Разложить в ряд Фурье функцию	f x		на
	2x ,	x 0
отрезке , .

Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье:

													1								1		0
							a						1			f t dt					1		f		t dt f			t dt
							a									f t dt							f		t dt f			t dt
						0
																											0
																											0
															1		0
															1			t dt 2t dt
																		t dt 2t dt
																							0
																							0
				2						0																	2
										0
1			t																					1
1			t		t									t2 t										1			2		2 2					;
					t									t2 t													2		2 2					;

			2																	0						2								2
			2																	0						2								2

					1														1	0
	a				1			f		t cos ntdt									1			f t cos ntdt							f t cos ntdt
	a							f		t cos ntdt												f t cos ntdt							f t cos ntdt
		n
																												0
																												0
									1					0
									1						t cos ntdt 2t cos ntdt
															t cos ntdt 2t cos ntdt
																							0
																							0
						1					0																					1
						1								t d sin nt 2t d sin nt																		1
							n							t d sin nt 2t d sin nt																	n
							n																0								n
t		sin nt															0	sin ntdt 2t sin nt
t		sin nt										t 0						sin ntdt 2t sin nt												t 2 sin ntdt
												t																		t 0			0
												t																		t 0

0 sin 0 sin n

cos nt

t 0

2 sin n 0 sin 0

cos nt

t 0

cos 0 cos n

cos n cos 0

n n

1 1 n 2 1 n 1

3 1 1 n

;

f t sin ntdt

t sin ntdt 2t sin ntdt

t d cos nt 2t d cos nt

t cos nt

t 0

cos ntdt 2t cos nt

2 cos ntdt

t 0

0 cos 0 cos n

sin nt

2 cos n 0 cos 0

sin nt

t 0

sin 0 sin n 1

sin n sin 0

1 n

1 n .

Таким образом, ряд Фурье функции

f x имеет следующий вид:

3 1

1 n

S x

cos nx

sin nx .

n 1

2. Разложить в ряд Фурье функцию

f x x на отрезке , .

Решение. Так как функция

f x

является нечетной, то в ее раз-

ложение в ряд Фурье входят только синусы, и ряд Фурье определяется по формуле

f t sin ntdt

t sin ntdt

td cos nt

t cos nt

cos ntdt

n 0

t 0

2 1 n

1 n

sin n sin 0

Таким образом, ряд Фурье функции

f x имеет следующий вид:

S x 2 1

sin nx.

n 1

1.10. Задачи для самостоятельного решения

f x

x 0,

1) Разложить в ряд Фурье функцию

на

x ,

отрезке , и, используя значение ряда Фурье в точке

x 0,

найти значение числового ряда

n 1 2n 1 2

Разложить в ряд Фурье функции

f x

на отрезке , .

	2x 2 ,			x 0,
2)	f x			x 0.
	2 ,			x 0.
				2	x 0,
	16
3)	16	x		,
3)	f x		2
					x 0.
	4 x 4 2 ,				x 0.
4)	f x e2x .

5)	f x sin
5)	f x sin		x .
		3
6)
6)	f x cos		x .
		2
	0,	x 0,
7)	f x	x 0.
	3,	x 0.
	4,	x 0,
8)	f x	x 0.
	0,	x 0.

				1,	x 0,
9) Разложить в ряд Фурье функцию				f x	x 0		на отрез-
				2,	x 0
ке , и, используя значение ряда Фурье в точке						x 0, найти
		1	n 1
		1
значение числового ряда		2n 1 .
	n 1
10) Разложить в ряд	Фурье функцию f x x2					на отрезке
, и, используя значение ряда Фурье в точке					x 0, найти зна-

1 n 1

чение числового ряда .

n 1 n2

Разложить в ряд Фурье функции f x

11)f x x x .

12)f x x3.

13)f x x 3 .

14)Разложить в ряд Фурье функцию

на отрезке 0, по косинусам.

на отрезке , .

6x,	x 2,
f x	x 2
6x 6 ,	x 2

15) Разложить в ряд Фурье функцию f
отрезке	0, по косинусам и, используя
в точке	x 0, найти значение числового ряда

x	4
			x

значение
	1
		2	.
n 1 n

		2



	2

ряда

	2	на

Фурье

Разложить в ряд Фурье функции f x	на отрезке 0, по
синусам.

16) f x 1.

	x,	x 2,
17)	f x
	2,	x 2.
	2x,		x 2,
18)	f x
	4x 4 ,		x 2.

	4,	x 0,
19) Разложить в ряд Фурье функцию	f x		на
	2x 4,	x 0

отрезке 2, 2 .
20) Разложить в ряд Фурье функцию												f x e x			на отрезке 3, 3 .
								Ответы
	S x			1 1 n						1								1		2
1)								cos nx		1	sin nx		,					1		.
1)		4			n2			cos nx			sin nx		,						2	.
		4			n2					n						2n			2	8
			n 1											n 1		2n			1
					1	1 n						1 n 1
2)	S x	3	2						cos nx					sin nx			.
2)	S x		2						cos nx					sin nx			.
		2					2					n
			n 1		n

																	5 n 3 n 1																					n
																																						n
						2																						3											cos nx
3) S x			5			2					4																n	3
			5								4																n
																				8 8										2				2	1							n				.
				3							n 1																			2		n		2								n
				3							n 1																					n
																															3											sin nx
																													n		3
																													n
4) S x			sh 2											2sh 2												2 1 n																	1 n 1 n
			sh 2											2sh 2																							cos nx
																																	2				cos nx											2
				2																							4				n		2												4		n	2
																					n 1						4				n														4		n
5) S x		18										2						1					n		n
		18			sin													1							n			sin nx.
					sin						3							2									2	sin nx.
											3							2				9n					2
																n 1						9n
6) S x				2		sin								2		4sin								2							1								n
				2																											1										cos nx.
			2																										2											2	cos nx.
			2								2											2							2							4n				2
																											n 1									4n
7) S x			3					6								1					sin 2n 1 x.
			3					6								1
	2															2n 1
	2															2n 1
										n 1
8) S x 2							8									1				sin 2n 1 x.
							8									1

															2n 1
										n 1
9) S x			1					6								1					sin 2n 1 x ,																					1		n 1				.


																2n 1
	2															2n 1																										2n 1 4
											n 1																												n 1
10) S x				2									1 n																										1 n 1						2	.
10) S x											4								2		cos nx,																				2					.
				3														n	2																				n		2				12
												n 1						n														n 1							n
11) S x						2			2 2n2 2 1 n
						2																															sin nx.
																																					sin nx.
						n 1															n3

sin nx .

												2	n			2				6		1					n
													n							6		1
12)	S x 2																		n	3								sin nx.
				n 1																3
				n 1
13)	S x							2							6					6		1					n	3				2	n	2			1				n
13)	S x							2							6					6		1						3					n				1					cos nx.
		3
		4						n 1																							2
																										2n				1
	S x	3						12				1 2cos n 1 n
14)		3						12																				2										cos nx.
14)																																						cos nx.
		2							n 1																	n2
						3													1														1							2
15)	S x			2								4							1		cos 2nx,												1							.
15)	S x		3									4								2	cos 2nx,													2						.
			3																	2														2					6
													n 1 n																	n 1 n
	S x	4							1								sin 2n 1 x.
16)		4							1
16)							2n
							2n							1
				n 1
	S x	1		1 n 1 n 2sin n
17)		1																											2		sin nx.
17)																															sin nx.
		n 1																		n2
	S x	2		n cos n 6sin																								n
18)		2																2										2		sin nx.
18)																														sin nx.
		n 1																	n2
					4							1								1 n														1 n
19)	S x 3				4																			cos					n x											sin				n x .
19)	S x 3																							cos					n x											sin				n x .
																				2									2								n							2
								n 1											n
											6								3 1 n																						n 1 n
20)	S x	sh 3								e							1														cos					n		x
20)	S x												3										2			2					cos							x					2		2	9
		3									e							n 1							n			9							3									n		9

n sin 3 x .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]