Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Из

начальных

условий

имеем

3 y 0 c ,

0 c

2 y

0 2c2 ,

2 y

а значит,

Подставим найденные коэффи-

циенты в функцию y x

и запишем ее первые три производные:

y x 3 2x x2 c x3 c x4

c x5

c x6

y x 2 2x 3c3x2 4c4 x3 5c5x4 6c6 x5 ,

y x 2 6c3x 12c4 x2 20c5x3 30c6 x4 ,

y x 6c3

24c4 x 60c5 x2

120c6 x3

Подставим функцию

y x

и ее найденные производные в диф-

ференциальное

уравнение

y xy y x2 y 1 x.

Получим

6c	24c	x 60c	x2 120c x3
3	4	5	6

x 2 6c3 x 12c4 x2 20c5 x3 30c6 x4

2 2x 3c3x2 4c4 x3 5c5 x4 6c6 x5

x2 3 2x x2 c3x3 c4 x4 c5 x5 c6 x6

Раскроем скобки

6c3 24c4 x 60c5 x2 120c6 x3

2x 6c3 x2 12c4 x3 20c5 x4 30c6 x5

2 2x 3c3x2 4c4 x3 5c5 x4 6c6 x53x2 2x3 x4 c3x5 c4 x6 c5x7 c6 x8

1 x.

Так как в левой части равенства известны коэффициенты только до третьей степени всех степенных рядов, то представим левую часть равенства степенным рядом до третьей степени:

			6c 2 24c				2 2 x				60c			6c			3c 3 x						2
			6c 2 24c				2 2 x				60c			6c			3c 3 x
			3		4						5					3			3
				120c		12c		4c		2 x			3				1 x,
				120c		12c		4c		2 x							1 x,
			6				4		4
6c	2		24c x 60c				3c		3 x	2	120c					8c			2 x			3			1 x.
6c	2		24c x 60c				3c		3 x		120c					8c			2 x						1 x.
3			4		5		3								6			4
Отсюда получаем систему уравнений
					x0 : 6c 2 1,
								3
									1,
					x: 24c4				1,

					x2 : 60c5 3c3 3 0,

					x3: 120c6 8c4 2 0.
Решив				систему,	получим				c			1			,	c				1	,		c			1	и
										3	6					4			24					5	24
											6								24						24
c		7		. Таким образом,
c				. Таким образом,
6	360
	360

y x 3 2x x2 16 x3 241 x4 241 x5 3607 x6

1.8. Задачи для самостоятельного решения

Найти область сходимости и сумму функциональных рядов.

		x 4	n										1
1)			.			4)									.
								x2					6	n
														n
	n 1 x 7						n 1
		2x	1		n				n
		2x	1					2	n
2)				.		5)					.
2)				.
	n 0 3x		4
	n 0 3x		4						n
		2 x2 n .					n 1 x
								xn
3)								xn
	n 0					6)						.
	n 0					6)		4		n		.
							n 0	4

Найти область сходимости функциональных рядов.

							nx
7)							nx
7)	n 1 3 .
n 1
					x n
8)													.
8)		9 x2 n									2		.
n 1		9 x2 n									2
								x n
9)																.
9)					1											.
					1
n 1		x2						n2			n 1
n 1		x2						n2			n 1
					4
							1
10)							1								.


	n 1 6 nx n 1											n 2
					3			n
			2
			2		n
11)					n				.
11)				4nx					.
	n 1			4nx
							2
12)							2							.

			n 1 x								2 n
	n 1		n 1 x								2 n
					1
13)					1							.

			3n 2 xn 1
	n 1		3n 2 xn 1

14)	lnn x.
	n 1
								nx
15)			1 n				3			.
15)			1 n							.
						n 1
	n 1


16)
	n 1

17)
	n 1

18)
	n 1

19)
	n 1

20)
	n 1

21)
	n 1

22)
	n 1

23)
	n 1

24)

n 1

sin	x		.
	2	n


arcsin			n	x	.

				3n

cos n3 x . n2 3 n

x2 4 nn x2n.

1				.

x3 3n
	n3
			.
			.
n4 x
3
3		n			.


3 n5 x2
3 n5 x2

4n3

n n 2x3 .

1 . n4 x n

Найти область сходимости степенных рядов.

			xn
25)					.
		4n 3
	n 1
		4	n
26)				xn .

	n 1 n!

		4n 3
27)		3		xn .
27)			3n 2	xn .
	n 1 2		3n 2
	n 1 2		3n ! x
					n
28)						.

		n 2 n! 2
	n 1	n 2 n! 2

		4	n	2
			n			n

29)		n 1 !			x		.
29)					x		.
	n 1

		x 3		n
37)
			n 2
	n 1 n 1 6

		n 1		n	2		n
				n		x	n
						x
30)						n
	n 1		n			n
	n 1		n			3

		x 5		n
38)
		n	n
	n 1

		x 3 n										n! x 1 n
31)					.						39)											.
31)		n 2			.						39)			2n !								.
	n 1	n 2										n 1		2n !
		2n x 2 n											xn 3
32)								.			40)												.
													3n3
				n
				n								n 1		n 1
	n 1		3
			x 1 n												2		n2				x			2n
33)									.		41)		1		2						x
	n 1	n 1 3n					2					n 1			n								3n
		n 1 4 x 3 n .											x 2 2n
34)		n 1 4 x 3 n .									42)		n2							.
	n 1											n 1	n2
		3n 1 x 4 n											x 3 3n
35)										.	43)		n3 43n							.
35)				n! 3n						.	43)									.
	n 1			n! 3n								n 1
		x 4 n
36)		4n 2			.
	n 1	4n 2
Разложить в ряд Тейлора функции f x													в окрестности точки x0 .
44)	f x			1		, x0 2.					47)	f x		sin x ,											x0		.
44)	f x			x	2	, x0 2.						f x		e3 2x ,													2
				x	2																					x 2.
	f x ln x,										48)															x 2.
45)							x0 3.																			0
45)							x0 3.					f x				1										1.
											49)					1			,				x
											49)								,				x
																x		2						0
																x		2
46)	x0		,	x0	1.						50)	f x ln 3 x ,															x0 1.
		2									50)	f x ln 3 x ,															x0 1.

Разложить в ряд Маклорена функции f x .

51)	f x ch 2x.
52)	f x x2 cos 2x.
	1
53)	f x		.
		3 x

54)f x ln 11 xx .

55)f x 31 x3 .

Вычислить приближенно при помощи степенных рядов.

56) 419 с абсолютной погрешностью 10 4 . 57) 9527 с абсолютной погрешностью 10 5 .

58)ln1,1 с абсолютной погрешностью 10 5 .

59)arctg0,05 с абсолютной погрешностью 10 8 .

60)e 1/4 с абсолютной погрешностью 10 4 .

	1	x cos xdx с абсолютной погрешностью 10 9 .
61)	4	x cos xdx с абсолютной погрешностью 10 9 .
	0
	1/3
	1/3	1 x4 dx с абсолютной погрешностью 10 7 .
62)		1 x4 dx с абсолютной погрешностью 10 7 .
	0
	1/2	arctg x		dx с абсолютной погрешностью 10 5 .
63)		arctg x
63)
	0		x
	0
64)	Найти первые пять членов разложения в степенной ряд ре-
шения	дифференциального уравнения				y x y 2		с начальным
условием y 0 1.
65)	Найти первые пять членов разложения в степенной ряд ре-
шения	дифференциального уравнения				y y3 x2		с начальным
условием y 0 1.
66)	Найти первые восемь членов разложения в степенной ряд
решения			дифференциального уравнения			y xy 2x2 3x 1
с начальными условиями y 0 2 , y 0 1 и						y 0 4 .

Ответы

		3						1		x 4 .
1)	x		,				,	1
1)	x		,				,
		2						11
	x , 5												3x 4
2)												,	3x 4				.
2)												,	x				.
													x			5

													1
3)	x 3, 1									,			1		.

											x2 1
	x ,
4)	x ,			7
5)	x , 2									,			2	.

												x 2
6)	x 4, 4 ,					4			.

					4 x

7)x ,0 .

8)x 1, 1 .

				1
9) x 1,					.
9) x 1,					.
				2
10)	x 0, .
		1
11)	x		, .
11)	x		, .
		2

12)	x ,1	.
13)	x , 1	.
14)	x 0, e .
15)	x ,0 .
16)	x , .
17)	x , .
18)	x , .
19)	x , 2	.
20)	x , .

,		1	.

	x2	7
	x2	7

21)Ни при каком значении x.

22)x , .

23)Ни при каком значении x.

24)x , .

25)x 1, 1 .

26)x , .

		8				8
27)	x			,				.
27)	x			,				.
		81				81
28)	x 0.
29)	x 0.
		3			3
30)	x		,				.
30)	x		,				.
		e			e

31)x 4, 2 .

32)x 1 , 7 .

2 2

33)x 2, 4 .

34)	x 2, 4 .
35)	x , .
36)	x 8,0 .
37)	x 9, 3 .
38)	x , .

44) f x 14 412 x 2 x 2,6 .

39)	x , .
40)	1, 1 .
41)	x e	3, e	3 .

42)1, 3 .

43)1,7 .

1 x 2 2					,
					n
3
4

	f x ln 3	1	x 3	1	x 3 2	n 1
45)						,
		3		32 2

x 0,6 .

46) f x 1		3	x 1	3 1	x 1 2	3 1 1	x 1 3
		2		22 2		23 2

	3 1 1		3 2 n 2 3 2 n 1				,	x 0, 2 .

	f x 1	1		2	1		4
47)			x			x
		2
				2	4!		2

x , .

48)f x 1e 2e x 2 22e2 x 2 2 x , .

49)f x 1 2 x 1 3 x 1 2

x 2,0 .

50)	f x ln 4	1	x 1	1	x 1 2
		4		42 2

x 3,5 .

n	2n
	,

n 1

51)	f x
52)	f x

x ,

1		2	2		2		2	4		4		2n
				x					x

		2!					4!

x	2		2	2		4		2	4		6
					x					x

			2!					4!

, x , .

2n 2 ,

53)	f x	1		x				x2							n
53)	f x
	3		32			33
54)	f x 2x				2		x3				2		x5
54)	f x 2x						x3						x5
			3							5
									1			1
														1
														1
55)	f x 1		1	x3					3			3			x6
55)	f x 1			x3											x6
x 1, 1 .			3									2!
x 1, 1 .
56)	2,08779.					58) 0,09531.
57)	2,0064272.					59) 0,04995840.

, x 3,3 .

,x 1, 1 .

11 1 1 n 1

60)	0,7788.	62)	0,3337442.
61)	0,653901440.	63)	0,48722.

64)	y 1 x			x2		2			x3				7		x4
64)	y 1 x								x3						x4
	2				3						12
65)	y 1 x	3	x2			5		x3				35			x4
65)	y 1 x		x2					x3							x4
	2				2						8
66)	y 2 x 2x2				1		x3						1	x4		1	x5	1	x6		1	x7
66)	y 2 x 2x2						x3							x4			x5		x6			x7
					6						24					60		60		1260
										1.9. Ряды Фурье
Пусть задана функция													f x ,			определенная при всех действи-
тельных значениях независимой переменной																				x	и являющейся 2l-

периодической функцией ( l 0 ). Поставим в соответствие функции f x функцию S f x , определенную следующим образам:

S f

где

cos

b sin

n 1

t dt,

l l

f t

cos

ntdt ,

n 1, 2, 3,

nx l

 

(1.22)

(1.23)

			l
b		1	f t sin ntdt , n 1, 2, 3,

n		l l		l
Функция S f x
	называется рядом Фурье (тригонометрическим
рядом) функции f x . Также говорят, что функция					f x разложе-
на в ряд Фурье или представлена в виде ряда Фурье.
Тот факт, что функции				f x ставится в соответствие ее ряд

Фурье, обозначается

f x ~ S f x .

Теорема (теорема Дирихле). Пусть 2l-периодическая функция

fx на отрезке l, l удовлетворяет двум условиям:

1)f x кусочно-непрерывна, то есть непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2)f x кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем отрезке

либо этот отрезок можно разбить на конечное число промежутков так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции f x

ряд Фурье S f x схо-

дится на этом отрезке и при этом:

а) в точках непрерывности интервала l, l функции f x сумма ряда Фурье S f x совпадает с самой функцией S f x f x ;

б) в каждой точке x0 интервала l, l , которая является разры-

вом функции f x , сумма ряда Фурье равна среднему арифметиче-

скому пределов функции			f	x		в этой точке x0			слева и справа:
		S f x0			f x0 0 f			x0 0		;
		S f x0				2				;
						2
в) на концах отрезка l, l						(в точках		x l	и x l ) сумма ряда
Фурье равна
S		l S		l			f l 0 f l 0				.
S	f	l S	f	l							.
	f		f					2
								2

Замечание. Из вышесказанного следует, что значение функции f x и ее ряда Фурье не обязательно совпадают во всех точках от-

резка l, l .

Если функция f x четная, то ее ряд Фурье имеет следующий вид:

где

	2	l
a	2	f t dt
a		f t dt
0	l
	l	0

		x		a0		cos nx
S	f			a0	a		,
S					a		,
				2	n	l
				2		l
					n 1
		a	1	l	f t cos ntdt ,		n 1, 2, 3,
и			1
и
		n	l l			l
			l l			l

(1.24)

(1.25)

Если функция f x нечетная, то ее ряд Фурье имеет следующий вид:

				x		sin nx ,
		S	f	x	b	sin nx ,		(1.26)
			f		n		l
							l
					n 1
где
b	1	l	t cos		ntdt ,		n 1, 2,3,
	1	f						(1.27)
		f						(1.27)
n	l l				l
	l l				l

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]