Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>


	x 5	3	n 1			2	1

		lim
				2	1
3		n	n

x5 3

При	l x 1,	то есть при	x 5	3	3,

сходится.

При	l x 1 степенной ряд расходится.
При	l x 1 имеем	x 5 3
			3

x 5 33 числовой ряд

или

3	3	, степенной ряд

x 5 33 . При

			n2	1 x 5 3n		1 n n2 1
u	n	x		3n		1 n n2 1
n 1	n	n 1			n 1
n 1		n 1			n 1

расходится согласно достаточному признаку расходимости числового ряда (общий член ряда стремится к бесконечности).

При x 5 33 числовой ряд

			n2	1 x 5 3n		n2 1
u	n	x		3n		n2 1
n 1	n	n 1			n 1
n 1		n 1			n 1

тоже расходится согласно достаточному признаку расходимости числового ряда (общий член ряда стремится к плюс бесконечности).

Значит, областью сходимости данного степенного ряда является интервал 5 33, 5 33 .

9. Разложить в ряд Тейлора функцию f x 3x				в окрестности
точки x0 1.
Решение. Найдем	сначала общий	вид ее	n -й	производной
и значение ее в точке	x0 1. Так как	f x 3x ,	то	f x 3x ln 3,

x 3

и т. д.

Поэтому для любого натурального числа

верно, что

x 3

Можно доказать методом математиче-

ской индукции. Отсюда,

x0 f

3ln

По формуле (1.11) разложение функции

f x

в ряд Тейлора

в окрестности точки x0 1 имеет вид

3ln

3ln 3

f x ~

x 1 n 3

x 1

n 0

3ln2 3

x 1 2

Найдем область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости

степенного ряда найдем по формуле Даламбера:

3ln

n 1 !

lim n 1 .

R lim

lim

n 1

3ln

3ln 3 n

an 1

Так как R , то областью сходимости степенного ряда является множество всех действительных чисел: x , .

По формуле (1.12) для любого действительного числа x имеем

R x

3c lnn 3

c 1 n 1

3L lnn 3

M n 1

1 !

здесь c x, x0 ,

если

x x0 ,

c x0 , x ,

если

x x0 ,

L max x0 , x и M max

x0 1

x 1

, то функция

f x

раскла-

дывается в ряд Тейлора для любого действительного числа x, то есть для любого x , верно

3ln

x 1 n 3

3ln 3

x 1

n 0

3ln

x 1

10. Разложить в ряд Маклорена функцию y ln 1 x2 .

Решение. Так как

ln 1 x x

, x 1, 1 ,

то, подставив x2

вместо x в разложение функции, получим

y ln 1 x2 x2

В последнем разложении

x2 1, 1 ,

значит, x 1, 1 . Таким

образом,

y ln 1 x2 x2

при x 1, 1 .

11. Разложить в ряд Маклорена функцию y 2xsh 2x 3ch 2x.

Решение. Так как

sh x x

2n 1

, x ,

ch x 1

, x , ,

то, подставив 2x вместо x в разложения функций, получим

32x

2n 1

sh 2x 2x

2n 1 !

ch 2x 1

4x2

16x4

2n 2n

, x , .

Из предпоследнего разложения имеем

xsh 2x 2x2

8x4

32x6

2n 1 2n

2n 1 2n 2

x , .

Значит,

2xsh 2x 4x2

16x4

64x6

2n 2n

2n 2 2n 2

x , ,

3ch 2x 3

12x2

48x4

2n 2n

, x ,

y 2xsh 2x 3ch 2x

		12		16	48		2n	2n
3	4		x2			x4		,

		2!		3!	4!

x , .

12.	Вычислить приближенно при
cos 40	с абсолютной погрешностью

Решение. Воспользуемся формулой функций в ряд Маклорена:

помощи степенного ряда

10	6
	.

разложения элементарных

cos x 1		x2				x4			2n
cos x 1
			2!		4!
Так как 40	2				радиан, значит,
Так как 40			9		радиан, значит,
			9
cos 40 cos				2	1		2 2	2 4
cos 40 cos			9		1		2! 92	4!	94
			9				2! 92	4!	94

, .

Полученный числовой ряд является числовым рядом лейбницев-

ского типа.						Так			как			u		1 ,			u	2, 436939 10 1		,
ского типа.						Так			как			u		1 ,			u	2, 436939 10 1		,
												0					2
	u		9,8978 10 3 ,							u	1,608 10 4					,		u	1, 4 10 6	и
	u		9,8978 10 3 ,							u	1,608 10 4					,		u	1, 4 10 6	и
	4									6								8
	u			7,6 10 9	, то
	u			7,6 10 9	, то
	10
		cos 40 0 cos				2	u		u		u		u		u	0,7660445 0,766044.
		cos 40 0 cos					u		u		u		u		u	0,7660445 0,766044.
						9		0	2		4			6	8
						9

13.Вычислить приближенно при помощи степенного ряда e1/10

сабсолютной погрешностью 10 6.

Решение. Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена:

ex 1 x		x2	n	, x , .
ex 1 x				, x , .
	2!
Отсюда
e1/10 1		1	1		1
e1/10 1	10		2! 102		n! 10n
	10		2! 102		n! 10n

1-ый способ. Остаток после n -го члена предыдущего числового ряда имеет вид

R	10				1													1												1
R	10			n	1 !10			n 1						n 2 !10										n 2				n 3 !10					n 3
n								n 1																n 2									n 3

Так как n 1 ! 2n , то
	Rn 10				1												1												1

					2n 10n 1							2n 1 10n 2														2n 2			10n 3
					2n 10n 1							2n 1 10n 2														2n 2			10n 3
			1		1								1														1
									2n 1 10n 1														2n 2				10n 2

		10 2n 10n
						1	1						1											1

														20n 1							20n 2
					10 20n									20n 1							20n 2
													1

										1					20		n					2				1		.
															20
										10				1			1					19			20n
														1		20
Так как R			10 1,32 10 5										и R									10 6,6 10 7										, то
	3																		4
	e1/10 S				1		1						1									1							1		1,105171
	e1/10 S				1																										1,105171
				3	10						2! 102									3! 103								4! 104
					10						2! 102									3! 103								4! 104

с абсолютной погрешностью 10 6.

2-ой способ. Воспользуемся формулой остатка ряда Тейлора в

форме Лагранжа Rn 10		ec				1		f x ex .
форме Лагранжа Rn 10			cn 1 , здесь	c	0,		,	f x ex .
		n 1 !				10
Оценим	сверху величину		остатка	Rn 10 .				Так как
ec e1/10	31/10 2, то


				Rn 10						2		1

								n
								n			1 ! 10
Так как R3 10 8,33 10					5				и	R4 10
Так как R3 10 8,33 10									и	R4 10
e1/10 S		1		1			1				1
e1/10 S	3	1	10			2! 102					3! 103
	3

с абсолютной погрешностью 10 6.

n 1
	.


1,7 10		7		,	то

1			1,105171

	4! 104

14. Вычислить приближенно при помощи степенного ряда

1/4

3 1 t3 dt с абсолютной погрешностью 10 8.

Решение. Воспользуемся формулой разложения элементарных функций в ряд Маклорена. Имеем

									1 1										1			1			1
													1										1			2
													1										1			2
3		1					x		3 3							x2		3				3			3			x3
3	1 x						x		3 3									3				3			3
	1 x					3			2!															3!
						3			2!															3!
			1	1								1
							1							n 1
							1							n 1
			3	3								3									xn			, x 1, 1 .
											n!										xn			, x 1, 1 .
											n!
Отсюда
										1		1									1 1			1
								3						1										1			2
								3						1										1			2
3 1 x3 1							x			3		3					x6				3 3			3					x9
3 1 x3 1																	x6												x9
						3							2!											2!
		1 1									1
					1										n 1
					1										n 1
		3 3									3									x3n				, x 1, 1 .
									2!											x3n				, x 1, 1 .
									2!

По основному свойству (5) степенных рядов имеем

																																				1			1
	1/4										1/4										1/4								3			1/4									1
	1/4										1/4										1/4								3			1/4									1
		3 1 x3 dx															dx									x					dx					3			3					x6dx ...
		3 1 x3 dx															dx									3					dx								2!					x6dx ...
	0												0								0					3						0							2!
															1 1									1
							1/4														1										2
																					1										2
													3				3							3
													3				3							3									x9dx
																							3!										x9dx
							0																3!
							0
								1			1														1
				1/4														1											n			1
				1/4														1											n			1
								3			3														3												x3ndx
																						n!															x3ndx
				0																		n!
				0
									1 1																		1/4					1 1								1									1/4
																											1/4																						1/4

				4	1/4													1																		1									2
				4	1/4													1																		1									2
x	1/4		x						3 3													x7										3 3								3						x10
	1/4		x						3 3																							3 3								3
	0		3 4		0																																3! 10
													2! 7


						1 1															1						0														1/4								0





												1														n 1
												1														n 1
						3 3															3													x3n 1
																n! 3n 1																		x3n 1
																n! 3n 1
Получаем числовой ряд																																									0
																																									0

																												1 1										1 1									1
1/4																																1											1					2
																																1											1					2
	3 1 x3 dx							1										1										3 3										3 3							3
								1										1										3 3										3 3							3
							4							3 4							44
0							4							3 4							44								2! 7 47													3! 10 410
										1						1														1
																				1												n			1
																				1												n			1
										3						3														3
																			n! 3n 1 43n 1
																			n! 3n 1 43n 1

Данный

с номера

числовой ряд

1.	Так как u2

является

6, 46 10

знакочередующимся,

7		и u3 2, 4 10	9

начиная

то

1/4	3	1 x3 dx u	u	u		0, 250324552 0, 25032455.
	3	1 x3 dx u	u	u	2	0, 250324552 0, 25032455.
		0	1		2
0

15. Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y y x2 y 3 с начальными условиями y 1 1 и y 1 1.

Решение. Применим способ последовательного дифференцирования.

Решение дифференциального уравнения ищем в виде

y x y 1

x 1 2

x 1 3

x 1 4

Продифференцируем два раза дифференциальное уравнение:

y y

y 3 ,

(1.20)

2xy x

y y

2xy

y y

2 y

2xy

0, (1.21)

y y

2 y y

2 y 4xy

3y y

находим y

1 :

Из дифференциального уравнения y y

y 1 y 1 12 y 1 3,

y 1 1 1 3 ,

y 1 4.

Из (1.20) находим	y		1 :
Из (1.20) находим	y		1 :
y 1 y 1 y 1				2	2	1 y 1 1	y 1 0	,	y 1 15.
						2
Из (1.21) находим	y	4		1 :
Из (1.21) находим	y			1 :

y 4 1 y 1 3y 1 y 1 2y 1 4 1 y 1 12 y 1 0, y 4 1 174 .

Таким образом,

y x 1 x 1 2!4 x 1 2 153! x 1 3 1744! x 1 4

или

y x 1 x 1 2 x 1 2 52 x 1 3 294 x 1 4

16. Найти первые семь членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y xy y x2 y 1 x с начальными условиями y 0 3, y 0 2 и y 0 2.

Решение. Применим способ неопределенных коэффициентов. Решение дифференциального уравнения ищем в виде

y x c0 c1x c2 x2 c3x3 c4 x4 c5x5 c6 x6

Продифференцируем функцию y x два раза:

y x c1 2c2 x 3c3x2 4c4 x3 5c5x4 6c6 x5 , y x 2c2 6c3x 12c4 x2 20c5x3 30c6x4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]