Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

б) Так как sin4n ≤1,

то sin4n +5 ≤ 6, значит,

sin4n +5

≤ 3

по-

sin4n +5

этому

≤

= v .

Так

как

числовой

ряд

3 n8

+∞

= 3

∑v

= ∑

∑

сходится (числовой ряд

∑

является

n=1 n

n=1

3 n8

n=1

3 n8

n=1

3 n8

обобщенным гармоническим рядом с p =

>1 ), то по признаку срав-

+∞ 3 sin

4n +

нения числовых рядов числовой ряд ∑

тоже сходится.

3 n8

n=1

5. Исследовать сходимость числовых рядов:

+∞

2n +1

+∞

3n + 2

а) ∑

;

б) ∑

+ n −1

n=1

n=1 n3

Решение. Для решения данных примеров применим признак Даламбера.

а) Так как un =

2n +1

, то un+1 =

2n+1 +1

, значит,

(n +1)!

lim un+1 =

lim

(2n+1 +1)n!

= lim

2n+1 +1

n→+∞ un n→+∞ (n +1)! (2

+1)

n→+∞ n +1

2 +

lim

= 0 <1,

n→+∞ n +1

поэтому числовой ряд

+∞

2n +1

сходится.

∑

n=1

б) Так как un =

3n + 2

, то un+1 =

3n+1 + 2

, значит,

(n +1)3 + n

lim un+1 =

n3 + n −1

lim

+ 2)(n

+ n −1)=

lim

+ n −1

+ 2

n+1

n→+∞

((n +1)

+ n)(3 +

(n +1)

+ n

1+ n2 − n3

3 +

lim

= lim

= 3

1 ,

n→+∞

+∞

+ 2

поэтому числовой ряд

∑

расходится.

n=1 n3 + n −1

+∞

6. Исследовать сходимость числового ряда

∑

(2n2 + n − 2)n

n=1

Решение. Применим радикальный признак сходимости Коши

числовых рядов. Так как un =

, то

(2n2 + n − 2)n

lim

n un

= lim

= 0 <1,

+ n − 2

n→+∞

n→+∞ 2n2

+∞

поэтому числовой ряд

∑

сходится.

(2n2 + n − 2)n

n=1

7. Исследовать сходимость числовых рядов:

+∞

а) ∑

;

б)

∑

n=2 n4 ln n

n=2 n

3 ln4 n

Решение. Для решения данных примеров применим интегральный признак сходимости Коши числовых рядов.

а) Функция

f (x)

является непрерывной и монотонно

4 ln x

убывающей на промежутке [2,+∞). Так как

+∞

dx =

lim

dx =

∫

2 x4 ln x

B→+∞ 2 x

4 ln x

dln x

t = ln x,

= lim ∫

B→+∞ 2

4 ln x

x1 = 2 t1 = ln 2,

x2 = B t2 = ln B

lnB

= lim

∫

lim

∫ t−

4 dt = 4 lim t 4

B→+∞ ln2

4 t

B→+∞ ln2

3 B→+∞

ln2

= +∞,

lim

(ln B)4 −

(ln 2)4

3 B→+∞

+∞

то и числовой ряд n∑=2

тоже расходится.

ln n

б) Функция

f (x)=

является непрерывной и монотонно

x3 ln4 x

убывающей на промежутке [2, +∞). Так как

+∞

dx =

lim

d ln x

∫

2 x

3 ln4 x

B→+∞

x3 ln4 x

B→+∞

3 ln4 x

t = ln x,

= lim

lnB

∫

3 t4

x1 = 2 t1 = ln 2,

x2 = B t2 = ln B

B→+∞ ln2

lim

lnB

−4

−1

lnB

∫

3 dt = −3 lim t

B→+∞ ln2

B→+∞

ln2

= −3 lim

(ln B)

−

−(ln 2)

−

= −3

lim

−

3 ln 2

B→+∞

B→+∞ 3 ln B

+∞	1
то и числовой ряд ∑		тоже сходится.

n = 2 n3 ln4n

1.4. Задачи для самостоятельного решения

Установить сходятся или расходятся следующие числовые ряды.

1) +∞∑ 2n − 4 . n=1 3n + 2

2) +∞ 4n2 −3n +1 . n∑=2 2n2 −3n +1

3) +∞ n3 − 2 .

n∑=2 n2 −1

4) +∞∑ 2n +5 − 2n +1 . n=1 3n +11 − 3n +5

5) +∞ 1

n∑=1 n5 .

6)+∞∑ 1 . n=1 4n3

7)+∞∑ 1 . n=1 3n4

+∞ 1

8)n∑=1 n2 + 2 .

+∞		3n − 2
9)	∑			.
			+ n +1
n=1 n2
10)	+∞ n2 + n −1				.
	∑		1+ n5
	n=1


	+∞								1
11)	n∑=1															.
11)	n∑=1	(n +1)(n + 2)														.
	+∞		2				+3
	+∞		2			n	+3
12)	∑												.
12)	∑												.
	n=1 n					n +5
	+∞				1
13)	∑				1								.

			3n + 4 n
	n=1		3n + 4 n
	+∞							1
14)	∑														.

			3 n3 − 2n +1
	n=1		3 n3 − 2n +1
	+∞		4							+ 6				+ 4
	+∞		4	n						+ 6		n +1		+ 4
15)	∑																.

						n3 n − 2
	n=1					n3 n − 2
	+∞				1
16)	∑sin				1					.
16)	∑sin									.
	n=1					3 n
	+∞			4	1
17)	∑ tg											.

						4 n
	n=1					4 n
	+∞								3				1
18)	∑arcsin								3				1		.
												5
													n2
	n=1												n2
	+∞							2			1
19)	∑ arctg							2			1		.
19)	∑ arctg									n3			.
	n=1									n3
20)	+∞			n +5
20)	∑ ln											3	.
	n=2			n +								3

	+∞		n3							+1
21)	∑ ln													.
21)	∑ ln							3						.
	n=2							3		+ 2
	n=2		n							+ 2
	+∞											+ 6
	+∞								n			+ 6
22)	∑ ln														.


	n=2								n +5
	n=2								n +5
	+∞			3
	+∞			3							n + 2
23)	∑ ln3										n + 2					.


	n=2			3							n +3
	n=2										n +3
				3
	+∞			3								n	2	+1
24)	∑ ln2											n		+1			.
24)	∑ ln2																.
	n=2			3							n		2	+ 2
	n=2										n			+ 2
	+∞	1
25)	∑					.
25)	∑					.
	n=2 ln n
	+∞	1
26)	∑	1								.
26)	∑									.
	n=2 ln ln n
27)	+∞ cos3 n +3													.
27)	∑				n									.
	n=1				n
	+∞							1
28)	∑																.

		3 n					sin n							+1
	n=1	3 n					sin n							+1
	+∞											1
29)	∑																	.

			n5 (sin5 n + 4)
	n=1		n5 (sin5 n + 4)
	+∞ n
	+∞ n		cosn n +1
30)	∑														.

			3 n4							+1
	n=1		3 n4							+1
	+∞	1
31)	∑									.
31)	∑									.
	n=2 nln n
	+∞	1
32)	∑	1										.
32)	∑											.
	n=2 n3 ln n
	+∞			1
33)	∑			1									.
33)	∑												.
	n=2 n4 ln5 n


34)	+∞			2n		.
34)	∑					.
	n=1 n5
35)	+∞ n2					.
35)	∑					.
	n=1			4n
	+∞				n!
36)	∑					.
36)	∑				n	.
	n=1			3
37)	+∞			5n+1			.
37)	∑				n!		.
	n=1				n!
38)	+∞ n3 +1								.
38)	∑				n!				.
	n=1				n!
	+∞				(n −1)!
39)	∑												.
39)	∑					− n				+1			.
	n=1 n2					− n				+1
	+∞						4n
40)	n∑=2				4							.
40)	n∑=2				(3n − 4)!							.
	+∞						1
41)	∑													.
41)	∑			(n		+1)				3n−1				.
	n=1			(n		+1)				3n−1
42)	+∞			2n2 − n +									1	.
42)	∑						2n							.
	n=1						2n
	+∞					4		n
43)	∑					4								.
43)	∑													.
	n=1 n5 − n3 +1
	+∞				24n
44)	n∑=1							.
44)	n∑=1		(2n)!					.
	+∞				2n −1
45)	∑										.

					n 5n
	n=1				n 5n
	+∞										3n−2
46)	∑															.
46)	∑			(n		+1)				4n−1 (					3n − 2)	.
	n=1			(n		+1)				4n−1 (					3n − 2)
	+∞ 2 6 10 (4n − 2)
47)	n∑=1																.
47)	n∑=1	2 7 12 (5n −3)															.

	+∞ 5 8 11 (3n + 2)
48)	n∑=1												.
48)	n∑=1		3 5 7 (2n +1)										.
	+∞			1
49)	∑					.
49)	∑					.
	n=2 lnnn
	+∞			4	n
50)	∑			4					.
50)	∑		(n +1)n						.
	n=1		(n +1)n
51)	+∞	n n
51)	∑			.
	n=1			5
52)	+∞			3n + 4 n
52)	∑			2n −1					.
	n=1			2n −1
53)	+∞			4n −3 n
53)	∑			5n − 2					.
	n=1			5n − 2
	+∞			3n2 +5							n2
54)	+∞			3n2 +5
54)	∑				2					.
				2n	2	+		3
	n=1			2n		+		3
	+∞						n	1
55)	∑ arcsin						n	1				.

									3 n
	n=1								3 n

	+∞	1
56)	∑				.
56)	∑				.
	n=1 nn−1
	+∞	1
57)	∑			.
57)	∑			.
	n=1 nn
	+∞				2	n2
58)	∑	1	+		n	.
	n=1				n
	+∞				5	−n2
59)	∑	1	+		n	.
	n=1				n
	+∞				3	n2
60)	∑	1	−		n	.
	n=1				n
	+∞				7	−n2
61)	∑	1	−		n	.
	n=1				n
	+∞				6		n5
62)	∑	1	−		n	.
	n=1				n
	+∞	3	+ 2(−1)n
63)	∑							.
63)	∑	5 −3(				−1)n−1		.
	n=1	5 −3(				−1)n−1

			Ответы
1)	Расходится.	12)	Расходится.	23)	Расходится.	34)	Расходится.
2)	Расходится.	13)	Расходится.	24)	Сходится.	35)	Сходится.
3)	Расходится.	14)	Расходится.	25)	Расходится.	36)	Расходится.
4)	Расходится.	15)	Сходится.	26)	Расходится.	37)	Сходится.
5)	Сходится.	16)	Расходится.	27)	Расходится.	38)	Сходится.
6)	Расходится.	17)	Расходится.	28)	Расходится.	39)	Расходится.
7)	Сходится.	18)	Сходится.	29)	Сходится.	40)	Сходится.
8)	Сходится.	19)	Сходится.	30)	Сходится.	41)	Сходится.
9)	Расходится.	20)	Расходится.	31)	Расходится.	42)	Сходится.
10) Сходится.		21)	Сходится.	32)	Расходится.	43)	Расходится.
11) Сходится.		22)	Расходится.	33)	Сходится.	44)	Сходится.

45) Сходится.	50)	Сходится.	55) Сходится.	60)	Сходится.
46) Сходится.	51)	Расходится.	56) Сходится.	61)	Расходится.
47) Сходится.	52)	Расходится.	57) Сходится.	62)	Сходится.

48)Расходится. 53) Сходится. 58) Расходится. 63) Расходится.

49)Сходится. 54) Расходится. 59) Сходится.

1.5.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница

сходимости знакочередующихся рядов

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

+∞

Числовой ряд ∑un называется знакопеременным, если он содержит

n=1

как бесконечное число положительных, так и бесконечное число отрицательных членов.

+∞

Теорема. Пусть задан знакопеременный числовой ряд ∑un.

n=1

Тогда, если сходится числовой ряд, составленный из модулей чле-

	+∞
нов данного числового ряда, то есть сходится числовой ряд	∑	un	,
+∞	n=1
+∞
то сходится и сам знакопеременный числовой ряд ∑un.
n=1
+∞
В данном случае знакопеременный числовой ряд ∑un	называ-
n=1
	+∞
ется абсолютно сходящимся. Знакопеременный числовой ряд ∑un
	n=1

называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд,

		+∞
составленный из модулей данного числового ряда ∑un ,			то есть
		n=1
+∞
сходится числовой ряд ∑	un	.
n=1

Значит, из абсолютной сходимости числового ряда следует его сходимость.

Если же знакопеременный числовой ряд абсолютно не сходится, то он может как сходиться, так и расходиться.

+∞

Знакопеременный числовой ряд ∑un называется условно схо-

n=1

дящимся, если он сходится, но числовой ряд, составленный из его

+∞

модулей, расходится, то есть расходится числовой ряд ∑ un .

n=1

Исследовать сходимость знакопеременного числового ряда –

определить, сходится он абсолютно, условно или расходится.

+∞

Для проверки абсолютной сходимости числового ряда ∑un мож-

n=1

но использовать признак сходимости Даламбера и радикальный признак сходимости Коши. Только в этих случаях при вычислении преде-

лов вместо общего члена un числового ряда надо брать его абсолютное значение un . По признаку Даламбера вычисляется предел

lim	un+1		= l: если l <1, то числовой ряд абсолютно сходится; если


		un
n→+∞
l >1,	то числовой ряд расходится; если l =1, то числовой ряд может

как абсолютно сходиться, так и условно сходиться и расходиться.

По радикальному признаку Коши вычисляется предел lim n un = l:

n→+∞

если l <1, то числовой ряд абсолютно сходится; если l >1, то числовой ряд расходится; если l =1, то числовой ряд может как абсолютно сходиться, так и условно сходиться и расходиться.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. В частных случаях, когда знакопере-

менный числовой ряд является знакочередующимся, в большинстве задач удается установить и его условную сходимость.

Знакопеременный числовой ряд называется знакочередующимся, если его соседние члены (начиная с некоторого номера) имеют противоположные знаки. В частности, знакочередующийся числовой ряд может иметь один из следующих видов :

+∞	(−1)n−1 u		= u −u		+u	−u		+ +(−1)n−1 u		+	(1.4)
∑		n		2			4		n
n=1			1		3

или

+∞

(−1)n u

= −u

−u

− +(−1)n u

+ ,

(1.5)

∑

n=1

где (un )+∞n=1 – числовая последовательность положительных чисел.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости.

Теорема (признак Лейбница). Если общий член знакочередующегося ряда (1.4) (или (1.5)) стремится к нулю и последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает (с неко-

торого номера), то есть u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ≥ un ≥ , то знакочередую-

щийся ряд (1.4) (или (1.5)) сходится, а его сумма S удовлетворяет неравенству 0 < S < u1 (или −u1 < S < 0 ).

Числовые ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются числовыми рядами лейбницевского типа (или рядами Лейбница).

Чтобы приближенно вычислить сумму сходящегося знакочередующегося ряда с заданной абсолютной погрешностью ε, надо за-

менить его сумму S такой его частичной суммой Sn ( S ≈ Sn ), что-

бы un+1 ≤ ε.

Примеры

1. Исследовать сходимость числового ряда (абсолютно сходится,

+∞	(−1)n	2n +3
условно сходится или расходится) ∑			.

n=1		6n + 7

Решение. Данный числовой ряд является знакочередующимся.

Его общий член задается формулой un = (−1)n	2n +3	. Так как
	6n + 7

lim

2n +3

lim

+ n

≠ 0,

n→+∞

n→+∞ 6n + 7

n→+∞

+ n

то числовой ряд расходится (согласно достаточному признаку расходимости числового ряда).

2. Исследовать сходимость числового ряда (абсолютно сходится,

+∞

cos3n

условно сходится или расходится)

∑

3 n4

n=1

+∞

cos3n

Решение. Данный числовой ряд ∑un

= ∑

является зна-

n=1

3 n4 +3

копеременным.

Исследуем

его

на

абсолютную сходимость.

+∞

cos3n

∑

= ∑

. Так как

3 n4

n=1

cos3n

≤

= v

3 n4 +3

3 n4 +

+∞

то из сходимости числового ряда

∑v

∑

следует сходи-

n=1

3 n4

+∞

мость числового ряда

∑

(по признаку сравнения числовых ря-

n=1

дов).

Применим предельный признак сравнения числовых рядов

+∞

к рядам ∑ v

∑ w

= ∑

. Так как

n=1

n=1 3 n4

=1 (0, +∞)

lim

= lim

lim

n4 +1

n→+∞ wn

n→+∞ 3 n4 +1

n→+∞

+ n4

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]