Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

знака сравнения числовых рядов сходится и числовой ряд ∑sin

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

1.2. Задачи для самостоятельного решения

Заданы общие члены ды в развернутом виде.

1)un = 2nn+1 .

2)un = lnn2n .

3)un = (nn+31)! .

4)un = (−1)n−1 nn+21 .

un числовых рядов. Написать числовые ря-

5)	un =	3n − 2		π
		n2 + 2	sin		2	+ πn .

	un =	2 −(−1)n
6)				.
		n!

7) un =		(n −1)(n +1)				.

		n2

Написать числовые ряды в свернутом виде.

	cos π						cos		π			cos π				cos		π		12) 1+ 4			+		7		+10				+
	cos π						cos			6		cos π				cos	12			12) 1+ 4			+				+10				+
8)			3		+					6	+			9	+		12		+			4			9		16
																						4			9		16
		3						6					9			12					1	1			1				1
		3						6					9			12					1	1			1				1
9) 1+ 4 +16 + 64 +																				13)	2	− 4 + 8						−			+
9) 1+ 4 +16 + 64 +																				13)	2	− 4 + 8						−	16		+
10)	1	+		8		+		27	+		64		+							14)	−	1	+		1			−		1			+		1	−
10)	3	+		5		+		7	+		9		+							14)	−	32	+		72			−	112				+	152		−
	3			5				7			9											32			72				112					152
	3			7				11			15												4					10				16
11)		+		2		+		6 +			24		+							15)	−2 +					+		27 +				52			+
11)		+		2		+		6 +			24		+							15)	−2 +			10		+		27 +				52			+

Установить, сходятся или расходятся числовые ряды, а если они сходятся, то найти их сумму.

	+∞	3								+∞	(−1)n.
16)	∑	3			.				19)	∑
16)	∑				.				19)	∑
	n=1	4n								n=1
	+∞	1								+∞
17)	∑					.			20)	∑5n.
17)	∑	2n				.			20)	∑5n.
	n=1	3	n				n			n=1
	+∞	2	n	+			n			+∞		3		n
18)	∑	2		+			3	.		+∞		3
18)	∑			5		n		.	21)	∑	−	2	.
	n=1			5						n=1		2

	+∞	1
22)	n∑=1				.
				n(n +1)
	+∞	1
23)	n∑=1					.
				(3n −1)(3n +5)
	+∞	1					.
24)	n∑=1
			(2n +1)(2n +7)

	+∞	1					+∞
25)	∑			.		27)	∑1.
25)	∑	(4n +1)(4n +5)		.		27)	∑1.
	n=1	(4n +1)(4n +5)					n=1
	+∞	1					+∞
	+∞					28)	∑ 0.
						28)	∑ 0.
26)	n∑=0		(4n +1)(4n +9)		.		n=1

Установить, сходятся или расходятся числовые ряды.

29)

+∞

3n +5 .

31)

+∞

+ 2n −1 .

∑

n=1

4n −1

n=1

5n2 + 2

+∞

(−1)

n 3n

− n + 4

+∞

2 n

30)

∑

32)

∑

1−

+ 2n −1

n=1

Ответы

1)13 + 52 + 13 +174 + + 2nn+1 +

2)ln22 + ln39 + ln164 + + lnn2n +

3) 2 +

+ +

(n +1)!

4) 2 −

−

+ +

(−1)n−1 n +1

5) un = −

3n − 2

−

− +

sin

+ πn

+ 2

6) 3 +

+ +

2 −(−1)n

7) 0 +

+ +

(n −1)(n +1)

+∞ cos

+∞

8) ∑

9) ∑

n=0

n=1

+∞ n3

10) n∑=1 2n +1 .

11)	+∞	4n −1		.
11)	∑	n!		.
	n=1	n!
12)	+∞	3n − 2		.
12)	∑	n2		.
	n=1	n2
	+∞	(−1)n−1			1
13)	∑				1		.
13)	∑						.
	n=1				2n
	+∞	(−1)n		1
14)	∑			1				.
14)	∑		(4n −1)2					.
	n=1		(4n −1)2
	+∞	6n −8
15)	n∑=1					.
15)	n∑=1	n(4n −3)				.

16)	Сходится, 1.				24)	Сходится,	71				.
17)	Сходится,	1 .							630
							1
		8
					25)	Сходится,	20 .
		13
								7
18)	Сходится,	6 .			26)	Сходится,				.
							180
19)	Расходится.
					27)	Расходится.
20)	Расходится.
					28)	Сходится, 0.
21)	Расходится.				29)	Расходится.
22)	Сходится, 1.				30)	Расходится.
					31)	Расходится.
		7
23)	Сходится,			.	32)	Расходится.
			60

1.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Сходимость или расходимость числовых рядов устанавливается с помощью признаков сходимости числовых рядов.

+∞

Числовой ряд ∑un называется знакопостоянным, если, начи-

n=1

ная с некоторого номера n, все его члены являются числами одного знака.

+∞

Знакопостоянный числовой ряд ∑un называется знакоположи-

n=1

тельным, если, начиная с некоторого номера n, все его члены являются положительными числами.

+∞

Знакопостоянный числовой ряд ∑un называется знакоотрица-

n=1

тельным, если, начиная с некоторого номера n, все его члены яв-

ляются отрицательными числами.

Так как при умножении знакоотрицательного числового ряда на (−1) получается знакоположительный числовой ряд, то исследование

на сходимость знакоотрицательных числовых рядов сводится к исследованию на сходимость знакоположительных числовых рядов.

+∞

и ∑ vn

n=1

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два знакоположи-

+∞		+∞
тельных числовых ряда ∑un	и	∑ vn.	Если, начиная с некоторого
n=1		n=1

номера n, выполняется неравенство un ≤ vn , то из сходимости чис-

+∞			+∞
лового ряда ∑ vn	следует сходимость числового ряда ∑un ,			а зна-
n=1			n=1
		+∞
чит из расходимости числового ряда		∑un	следует расходимость
		n=1

+∞

числового ряда ∑ vn.

n=1

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть даны два зна-

	+∞		+∞
коположительных числовых ряда ∑un и			∑ vn , и пусть существует
	n=1		n=1
конечный или бесконечный предел		lim	un	= A . Если 0 < A < +∞,
		n→ +∞ vn
+∞	+∞
то числовые ряды ∑un и	∑ vn либо одновременно сходятся, либо
n=1	n=1
одновременно расходятся.
		+∞		+∞
Следствие. Если числовые ряды		∑un		и ∑ vn	знакоположи-
		n=1		n=1

тельные и последовательности (un )+∞n=1 и (vn )+∞n=1 эквивалентные, то

+∞

числовые ряды ∑un либо одновременно сходятся, либо

n=1

одновременно расходятся (напомним, что эквивалентными последовательностями (un )+∞n=1 и (vn )+∞n=1 называются последовательности,

для которых выполняется равенство lim un =1).

n→+∞ vn

+∞

Теорема (признак Даламбера). Пусть числовой ряд ∑un зна-

n=1

коположительный. Если существует конечный или бесконечный

предел lim	un+1 = l, то числовой ряд сходится при l <1 и расхо-
n→ +∞	un
дится при l >1.

Замечание. Если в признаке Даламбера l =1, то числовой ряд может как сходиться, так и расходиться.

Теорема (радикальный признак Коши). Пусть числовой ряд

+∞

∑un знакоположительный. Если существует конечный или беско-

n=1

нечный предел lim n un = l, то числовой ряд сходится при l <1 и

n→ +∞

расходится при l >1.

Замечание. Если в радикальном признаке Коши l =1, то, как и в

признаке Даламбера, числовой ряд может как сходиться, так и расходиться.

Теорема (интегральный признак Коши). Если члены знакопо-

+∞

ложительного числового ряда ∑un могут быть представлены как

n=1

числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1,+ ∞) функции f (x) так, что

u1 = f (1), u2 = f (2), , un = f (n),		,
+∞		+∞	f (x)dx либо
то числовой ряд ∑un	и несобственный интеграл	∫	f (x)dx либо
n=1		1

одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Числовой ряд

+∞	1
∑		,	(1.3)

n=1 n p

где p > 0 и p ≠1, называется обобщенным гармоническим рядом.

По интегральному признаку Коши обобщенный гармонический ряд сходится при p >1 и расходится при p ≤1.

Числовой ряд (1.3) расходится и при p ≤ 0, согласно достаточному признаку расходимости числового ряда.

Примеры

1. Исследовать сходимость числовых рядов:

+∞	1	+∞	1	+∞	1
а) ∑		; б) ∑		; в) ∑		.
а) ∑		; б) ∑		; в) ∑		.
n=1 n5		n=1	7 n4	n=1	4 n9

Решение. Данные числовые ряды являются обобщенными гар-

+∞

моническими. Так как в а)

p = 5 >1, то числовой ряд ∑

сходит-

n=1 n5

+∞

ся; так как в б)

p =

≤1,

то числовой ряд ∑

расходится; так

n=1

+∞

как в в) p =

то числовой ряд

∑

сходится.

4 n9

n=1

2. Исследовать сходимость числовых рядов:

+∞

+ 2 +

+ 7

а) ∑

;

б)

∑

;

в) ∑

n=1 n3 +5

n=1 6 n5

n=1

3 n7 +3 + n + n3 −1

+∞

Решение. Исследование сходимости числовых рядов ∑un ,

n=1

в которых общий член является частным двух иррациональных выражений, осуществляется с использованием предельного признака

сравнения с числовым рядом вида +∞ 1 , предварительно предста-

n∑=1 n p

вив числитель и знаменатель un в виде произведения двух множи-

телей: первый имеет вид n p , а второй стремится к конечному числу не равному 0.

+∞

а) Общий член числового ряда

∑

имеет вид un

n3 +5

n=1 n3 +5

Преобразуем его:

un =

Рассмотрим числовой

n3 +5

+∞

ряд ∑ v

= ∑

, который является обобщенным гармоническим

n=1

n=1 n3

рядом с

p = 3 >1. Значит, он сходится. Используя предельный при-

знак сравнения, имеем

lim

=1 (0,+ ∞), поэтому

n→+∞ vn

n→+∞

+∞

1+ n3

и числовой ряд

n∑=1

сходится.

n3 +5

+∞

б) Общий член числового ряда ∑

имеет вид un =

n=1

6 n5 +1

Преобразуем его: un =

. Рассмотрим числовой

6 n5 +1

5/6

+∞

ряд ∑ v

= ∑

, который является обобщенным гармоническим

n=1

n=1 n5/6

рядом с

p = 5

≤1.

Значит,

он

расходится.

Используя предельный

признак сравнения, имеем	lim un	= lim			1		=1 (0, +∞), по-
признак сравнения, имеем	lim un	= lim					=1 (0, +∞), по-
	n→+∞ vn	n→+∞	6	1	+	1
			6	1	+	n5
						n5

+∞

этому и числовой ряд n∑=1

расходится.

n3 +5

+∞

+ 7

в) Общий член

числового

ряда

∑

3 n7 +3 + n + n3 −1

n=1

вид un =

n4 + 2

+ 4

+ 7

. Преобразуем его:

3 n7 +3 + n + n3

−1

n4/3 3 1+

+ n3/4 4 1+

3 n4

+ 4 n3 + 7

un =

+ 2

3 n7 +3 + n +

n3 −1

7/3

+ n + n

3/2

−

4/3

3 1

+ n

3/4 − 4/3

7/3

1 − 7/3

3/2 − 7/3

3 1+

+ n

1−

4/3

+ n

−7/12

4 1+

7/3

3 1+

+ n

−4/3

+ n

−5/6

1−

3 1

4 1+

12 n7

n 3

1−

имеет

+∞		+∞	1
Рассмотрим числовой ряд ∑ v		= ∑		, который расходится, так
Рассмотрим числовой ряд ∑ v		= ∑		, который расходится, так
n=1	n	n=1 n

как является гармоническим рядом. Используя предельный признак сравнения, имеем

3 1+

4 1+

lim un =

lim

12 n7

=1 (0, +∞),

n→+∞ vn

n→+∞

3 1+

1−

3 n4

+∞

+ 2 +

+ 7

поэтому и числовой ряд

∑

расходится.

3 n7 +3 + n + n3 −1

n=1

3. Исследовать сходимость числовых рядов:

+∞

а) ∑sin

;

б)

∑arctg

4 n

n=1

Решение. Для решения данных примеров применим предельный

признак сравнения числовых рядов.

а) Так

как

→ 0,

то

sin

, а

значит,

5 n3

n→+∞

5 n3

n→+∞ 5 n3

и sin2

= v .

Так

как

числовой

ряд

n→+∞

+∞

∑v

= ∑

является

обобщенным

гармоническим

рядом

n=1 n

n=1

5 n6

с p = 65 >1, то он сходится. Значит, по следствию из предельного при-

б) Так

как

→ 0,

то

arctg

, а значит,

4 n n→+∞

4 n n→+∞ 4 n

и arctg3

3 =

= v .

Так

как

числовой

ряд

4 n3

4 n n→+∞

4 n

+∞

∑v

= ∑

является

обобщенным

гармоническим

рядом

n=1 n

n=1

4 n3

с p = 34 ≤1, то он расходится. Значит, по следствию из предельного признака сравнения числовых рядов расходится и числовой ряд

+∞

∑arctg

4 n

n=1

4. Исследовать сходимость числовых рядов:

+∞

+∞ 3

sin4n +5

а)

∑

;

б)

∑

n=1 5 n3 (cos2n + 2)

n=1

3 n8

Решение. Для решения данных примеров применим признак

сравнения числовых рядов.

а)

Так

как

cos2n ≤1,

то

cos2n + 2 ≤ 3,

значит,

(cos2n + 2)≤ 35

поэтому

≥

= vn.

5 n3 (cos2n + 2)

35 n3

+∞

Так как числовой ряд

∑v

= ∑

является обобщенным гар-

n=1

моническим рядом с p = 3

≤1 , то он расходится. Значит, по при-

+∞

знаку сравнения числовых рядов числовой ряд ∑

(cos2n + 2)

5 n3

n=1

тоже расходится.

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]