Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

p 1

p 1 2

p 1

Теперь

f (t) lim

e pt

lim

t2 p 1 2

2t p 1 2

e pt

p 1 p 3 3

2 p 3

p 1 3

e t

2t2 2t 1 e 3t .

14.

Решить

дифференциальное

уравнение x''

x sin t, если

x(0) 1, x' (0) 0.

Решение. Так

как

x(t) X ( p);

x''

p2 X ( p) p x(0) x' (0)

p2 X ( p) p и

sin t

, то приходим к операторному урав-

нению

p2 X ( p) p X ( p)

X ( p) p2 1

из

которого находим изображение X ( p)

частного решения дифферен-

циального уравнения

X ( p)

1 p3

p2 1 p2 1

Методом неопределенных коэффициентов разложение этой дроби в виде суммы дробей, являющихся оригиналами элементарных функций:

	1 p3 p		Ap B	Cp D
p2 1 p2		1	p2 1	p2 1

	Ap B p2	1	Cp D p2 1
					.
	p2 1 p2 1

140

Приравниваем числители двух дробей и составляем систему уравнений для определения коэффициентов:

Ap B p2 1 Cp D p2 1 1 p3 p.

p3 : p2 : p1 : p0 :

Следовательно,

A C 1	A 0
A C 1
		1
	B	1
B D 0	B	2.
		2.
A C 1	C 1

B D 1	D 1	2
		2

X ( p)	1	1	p	1	p	1	sin t cht	1	sht.
			p2 1		p2 1
	2	p2 1		2		2		2

Решение дифференциального уравнения:

x(t) 12 sin t cht 12 sht.

dx 3x y e t ,

15. Найти решение системы ДУ dt

dy x y e 2t ,dt

Решение. Обозначим X ( p) x(t), Y ( p) y(t) изображениям:

x(0) 1;

y(0) 2.

и перейдем к

		1
pX 1	3X Y
pX 1	3X Y		p 1
			p 1	или
		1		или
		1
pY 2	X Y
pY 2	X Y	p 2
		p 2

141

( p 3) X Y		p		( p 1)
				( p 1)

	p 1


		2 p 3		.
X ( p 1)Y		2 p 3

		p 2

			( p 3)
			( p 3)

Применим метод исключения, сначала умножим второе уравнение на ( p 3) и сложим с первым. Имеем

Y ( p2 4 p 4)

2 p3

12 p2

20 p 9

2 p3

12 p2 20 p 9

p 2 p 1

p 2 3 p 1

( p 1)

Затем умножим первое уравнение на

и, складывая со

вторым, получим

X ( p2 4 p 4)

p2 3

p 2 3

Разложение дробей на простейшие дает:

X ( p)

;

p 2

p 2 2

p 2 3

Y ( p)

p 2

p 2 2

p 2 3

p 1

Находим отсюда решение системы:

x(t) e

4te

2t e

2t 1 4t

y(t) 3e 2t 3te 2t

e 2t

e t

142

3.2. Задачи для самостоятельного решения

Найти изображение функций.

	f (t) 4t	2	2t 3	1	sin 5t 3t	3	2t	.
1)	f (t) 4t		2t 3	3	sin 5t 3t		e	.
1)

2)f (t) cos3 t.

3)f (t) et cos2 t.

4)f (t) 2t2 1 5e2t sin2 t.

5)f (t) sh2t sin 3t e 2t cos3t sin 2t.

6)f (t) te t sht.

7)f (t) t2 cost sin 3t.

Явно используя преобразования Лапласа, найти изображения

функций.
t; t [0;1]	1; t [0; 2]

8) f (t) e t ; t (1; 2].	9) f (t) te2t ; t (2; 4].

0; t [0; 2]	0; t [0; 4]

Найти изображения следующих оригиналов:

			t
10)	f (t) τ sin τdτ.
		0
12)	f (t)		e2t	1	.
12)	f (t)		t		.
			t
			t
14)	f (t) cosτ sin2τdτ.
		0

11)	f (t)			sin 2t	.

				t
				t
13)	f (t) τ2sh3τdτ.
		0
15)	f (t)		1 cost			.

				t

Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа, найти изображения оригиналов.

143

	8						1
							1


	6						0,
	6
16)	4					17)



							0	2	4	6	8
							0	2	4	6	8
	2						–0,5
	2						–0,5

							–1
		0
		0	2	4	6	8
			2	4	6	8

0,5

18)

	0	2	4	6	8
–0,5	0	2	4	6	8
–0,5
–1
–1

19. Найти свертку функций и ее изображение.

а)

f (t) et ;

g(t) t2;

б)

f (t) sin 2t;

g(t) cost;

в)

f (t) t3;

g(t) ch2t;

г)

f (t) t;

g(t) t2et ;

д)

f (t) t;

g(t) t cos2t;

е)

f (t) t2

g(t) sin 4t;

ж)

f (t) sh2t

g(t) ch3t.

Найти оригиналы по заданным изображениям.

F ( p)

20)

21)

p 1 p2 4

2 p 5

F ( p)

p 2

F ( p)

22)

23)

p p2

4 p 3

p 2 p2 p3

144

24)	F

27)	F

( p)						p 2			.
( p)	p		1 p 2 p				2	4	.
	p		1 p 2 p					4

( p)		5 p		2	6 p 20
		5 p			6 p 20			.
		2	p		2	4 p 20		.
	p	2			2
	p

25)

F ( p)	p	2	8 p 4
						.
	p 2			3	p 2

С помощью первой теоремы разложения найти оригинал функции.

1				1
28) F ( p)		.	29) F ( p) sin		.
	p p4 1
				p

Найти оригинал функции, используя вторую теорему разложения.

F ( p)

2 p 7

30)

31)

p 1 p2 3 p

2 p 1 p 3

F ( p)

p2 2 p 1

F ( p)

32)

33)

p3 3 p2

3 p 1

p 1

p 2

p 1

p2 p 1

34)

F ( p)

p p 1 p 2 p 3 .

35)

F ( p)

1 p 3 2

Найти решения задачи Коши.

36)

x'' x' t;

x(0) x' (0) 0.

37)

x(0)

(0)

38)

x(0)

(0)

e ;

39)

x'' x' 2x sin t;

x(0) x' (0) 0.

40)

x'' x' t cost;

x(0) x' (0) 0.

41)

11x

x(0)

(0)

42)

x(0)

(0)

145

43)	4
44)	x

x ''


8x		''	'	t	;
8x			x	3x 8e	;
'	x cht;
2x	x cht;

x(0) x' (0) x'' (0) 1.

'	(0)	0.
x(0) x

Решить систему дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях.

x y

45)

;

46)

;

2 y

47)

3x 2x y 1

;

4 y 3y 0

x y sin t

48)

;

2x sin t

49)

y e

;

2x y 2 y cost

50)

;

x y 1 et

2 y

5x e

51)

;

y -x 6y e

x y z

52)

y x z

;

z 3x y

x 0 1; y 0 1.

x 0 y 0 1.

x 0 0.

x 0 y 0 0.

x 0 0;	y 0 1.
x 0 0;	y 0 1.

x 0 y 0 z 0 1.

146

10)

11)

12)

13)

Ответы

F ( p)	2							2							3						5					1					18					.
F ( p)			3							2															2										4	.
		p	3						p	2								p			3			p	2		25			( p 1)					4
		p							p									p			3			p			25			( p 1)
F ( p)						p( p				2		7)
						p( p						7)									.
					2										2						.
		( p			2		9)( p								2				1)
		( p					9)( p												1)
F ( p)					p( p2 2 p 3)																				.
F ( p)		( p				1)( p2									2 p									5)	.
		( p				1)( p2									2 p									5)
		4 p 8 6 p3 2 p2																											2
F ( p)																																	.
F ( p)								p3 ( p						2)													p( p2				4)		.
								p3 ( p						2)													p( p2				4)
F ( p)																			12 p																	2 p2 8 p 2		.
F ( p)		( p2 4 p 13)( p2																						4 p 13)								( p2			4 p 29)( p2			.
		( p2 4 p 13)( p2																						4 p 13)								( p2			4 p 29)( p2		4 p 5)
F ( p)				2 p 2														.

		p2 ( p 2)2
F ( p)		12 p2 64																		6 p2 8
																												.
		p2 16 3																		p2 4 3								.
	1								p 1											p			e 2 2 p							e p 1
F ( p)															e					p														.
F ( p)		p2							p2						e																			.
		p2							p2															p 1						p 1
	1 e 2 p													7 4 p e8 4 p 2 p 3 e4 2 p
F ( p)																										p				2 2						.
F ( p)						p																														.
						p
F ( p)								2 p 4														.

		p p2 4 p 5 2
F ( p)		π	arctg										p				.
F ( p)	2		arctg									2					.
	2											2
F ( p) ln							p				.

					p 2
F ( p)		18 p2 6														.
F ( p)		p p2 1 3														.

147

14)

	2		p	2	3
				2
F ( p)		2					2		.
p	p	2	9			p	2	1
p	p		9			p		1


15)	F ( p) ln		1 p2
					.

				p
16)	F ( p)	2 4e 4p 2e 8p				.
				p2

17)F ( p) 1p 2e 4p e 2p e 8p .

18)F ( p) 21p2 2 pe 4p e 4p 1 2 p .

19) а) f g 2et

2t t2 2

;

2 p

б) f g

cos 2t

cost

;

p2 4 p2 1

в) f g

ch2t

;

p3 p2

г) f g 6et 2t t2et 4tet

;

p2 p 1 3

д) f g

2sin 3t

t cos3t

;

p2 p2 9 2

cos 4t

е) f g

;

p2 16

ж) f g

ch3t ch2t

2 p

p2 4 p2

20)f t et cos 2t 1 sin 2t .

148

21)	f
22)	f
23)	f

t 1 4et 3e2t e 2t . 12

t 1 2et e3t.

t 1 e t 1 t .

24)f t 16 e2t 151 e t 101 cos 2t 15 sin 2t.

25)f t 12 sh2t e 2t t2 2t .

26)f t cost sin t e2t 5te2t .

27)f t 1 t e2t cos 4t 3 sin 4t .

28)	f t		t4				t8			t12					t16				...

		4!					8!			12!			16!
29)	f t 1					t2					t4			...

					24			2880
30)	f t		3	e3t				1		et 2.
		5						10

31)	f t		5	e t					13		e3t						7	.

		4						12								3
	f t	t					2					t	2			e2t .
32)								e

		3					9						9

33)f t 16 et 23 e2t 32 e3t .

34)f t e t 1 t2 .

35)f t 171 et 1712 e t 1132 e 3t 138 te 3t .

36)x 12 t2 t 1 e t .

37)x 1 2cost.

38)x 3t et 79 et 92 e 2t .

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]