Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Примеры

1. Найти изображение функции

t; t [0;1] f (t) 1; t (1; 2] ,

0; t [0; 2]

используя преобразование Лапласа. Решение. Согласно формуле (3.1.) имеем

te pt

e pt

e p

F ( p) te

pt dt e

pt dt

e 2 p

e p

e 2 p

1 e p pe 2 p

2. Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа, найти изображения следующих оригиналов:

а) f (t) 2 t3 t sin 2t;

б) f (t) cos2 t sht e2t .

Решение.

а) По таблице находим

1	1	;	t3	3!	6	; t sin 2t	4 p	.
	p			p4	p4		p2 4 2

Следовательно, по свойству линейности преобразования Лапласа, получим

2 t3 t sin 2t 2 1 t3 t sin 2t	2	6	4 p	.
	p	p4	p2 4 2

130

б) Используя известную тригонометрическую формулу понижения степени, имеем

											cos2 t						1 cos 2t										1					1				cos 2t.
											cos2 t																									cos 2t.
																		2						2							2
Так как sht									et e t					, то shte2t											et			e t										e2t							1		e3t			1	et .
Так как sht														, то shte2t														2										e2t							2		e3t	2			et .
										2																		2																	2			2
Тогда
							cos2t shte2t												1		1	cos 2t											1				e3t							1		et
							cos2t shte2t											2			2	cos 2t											2				e3t							2		et
																		2			2												2											2
	1		1				p					1		1						1	1								1					1											p					1			1
	1		1				p					1		1						1	1								1					1											p					1			1	.
						2																																					2											.
	2 p 2				p	2	4					2 p 3								2 p				1 2																		p	2		4			p 3					p 1
	2 p 2				p		4					2 p 3								2 p				1 2							p											p			4			p 3					p 1
3. Найти изображение оригиналов, используя теорему смещения:
		а) f (t) te t cos3t;																																		б)					f (t) e2t							sin2 t.
Решение. а) Так как t cos 3t																									p2 9															, то по теореме смеще-
Решение. а) Так как t cos 3t																							p2					9 2												, то по теореме смеще-
ния α 1 , будем иметь
					te			t cos3t								p 1 2 9																				p2 2 p 8													.
					te			t cos3t							p 1 2						9 2									p2 2 p 10 2																			.
б)					e2t sin					2 t e2t						1 cos 2t								1		e2t									1				e2t cos 2t
б)					e2t sin					2 t e2t																e2t													e2t cos 2t
																		2						2									2
					1					1						p 2												1																			p 2
																																																				.
				2 p 2							2		p 2 2 4											2 p 2																	2 p2 4 p 8											.

131

4. Найти изображение функции, заданной следующим графиком.

1

	0,5



			2	4	6	8
		0	2	4	6	8
–0,5
	–1

Решение. Согласно графику функции (обозначим ее через f (t)), имеем

0,	t 2
	2 t 3
1,	2 t 3
f (t)		.
1,	3 t	4
	t 4
0,	t 4

Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа:

						3	4
		F ( p) e pt f (t)dt e pt dt e pt dt
					0	2	3
			1		e 3 p e 2 p e 4 p e 3 p
			p		e 3 p e 2 p e 4 p e 3 p
			p
e	2 p	1 2e p		e 2 p		e p 1 e 2 p 2		e p	e 2 p 2
e									.
									.
	p						p		p

132

5. Найти изображение функции, используя теорему о дифференцировании изображения:

												f (t) t				2	sht.
												f (t) t					sht.
Решение. По таблице изображений имеем sht																													1		.

																											p2			1
								1			''
Отсюда t2sht								1			.

								2
							p	2	1
							p		1
Находим
						'					2 p												''					2 p						'
				1		'					2 p										1		''					2 p
t2sht															и
t2sht			2											2	и					2												2
			2						p			1		2						2					p					1		2
		p			1				p		2	1					p 1								p				2	1
		p			1						2						p 1												2
	p	2	1	2	2 p 2 p						2		1 2 p					p			2	1				2							2
2	p		1		2 p 2 p								1 2 p				2	p				1		8 p						10 p				2
																														10 p				2
																																			.
			p2 1 4																p2 1 3											p2 1 3					.
Окончательно t					2sht					10 p2 2					.
Окончательно t					2sht					p2 1 3					.
										p2 1 3

6. Не вычисляя интегралы, найти изображение τeτdτ.

Решение. Воспользуемся теоремой об интегрировании оригина-

τeτdτ

ла:

. Значит, τeτdτ

: p

p 1 2

1 2

p p 1 2

7. Найти изображение функции

f (t)

cos3t cost

Решение. По таблице изображений найдем изображение функции

133

cos3t cost		p		p		.
	2	9		2	1
p			p

Тогда по теореме об интегрировании изображения имеем

					cos3t cos t										q								q
	f (t)				cos3t cos t										q			dq					q					dq
	f (t)																	dq										dq
								t					p q2 9								p q	2					1
1			q2 9							1		q2 1				1							q2 9




	ln										ln								lim ln
	ln										ln								lim ln						2
2										2						2			α
2										2						2			α
						p								p									q						1			p
																																p

		1			ln		q2			9			1		q2		9				ln			q2 1
				0										ln																	.
		2		0					2				2	ln		2										2					.
		2							2				2			2										2
								q			1				q					1				q						9

8. Найти оригинал, соответствующий изображению

	4	3 p 1	e p			.
p	4	p2 4 p 29	p		3	.
p	1		p	2

Решение. Преобразуем F( p) таким образом, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:

4	4	3!	e t t3.
p 1 4		p 1 4
	3!

Прежде чем преобразовывать второе слагаемое, выделим полный квадрат в знаменателе для того, чтобы воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа:

3 p 1	3 p 2 7	3e 2t cos5t	7	e 2t sin 5t.
p2 4 p 29	p 2 2 25		5

134

При построении оригинала, соответствующего третьему слагаемому,

сначала найдем оригинал для функции	1		1	e	2t	t	2	f (t),
					2t		2
	p 2	3	2
	p 2		2

а затем применим теорему запаздывания для оригинала:

e p

f (t 1)

e2(t 1) t 1 2 t 1 .

p 2 3

f (t)

cos5t

2t sin 5t

e2(t

1) t

1 .

9. Найти оригиналы следующих изображений:

а) F ( p)

3 p 1

;

б) F ( p)

p2 4 p 29

p p 1 p2 1

Решение. а) Преобразуем дробь, выделив полный квадрат:

3 p 1

3 p 2 7

4 p 29

p2 4 p 4 25

p 2 2

2 2 25

3 p 2

p 2

p 2 2 25

2 2 25

p 2 2

Согласно свойству линейности преобразования Лапласа и таблице изображений находим оригинал:

F ( p) 3	p 2	7
	p 2 2 25	5

e 2t

	5			3e 2t cos5t	7	e 2t sin 5t
p 2 2		25		3e 2t cos5t	5	e 2t sin 5t
p 2 2		25			5
	3cos5t	7
			sin 5t .
			sin 5t .
		5

135

б) Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

1				A	B	Cp D			.
p p 1		2			p 1		2	1
	p		1	p		p

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители обеих дробей, получаем равенство:

1 A p 1 p2 1 Bp p2 1 Cp D p p 1

1 p3 ( A B C) p2 ( A C D) p A B D A.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему

p3 : p2 : p1 : p0 :

Следовательно,

A B C 0	D 1
A B C 0		2

A C D 0	C 1	2 .
		2 .
A B D 0	B 1
		2
A 1
	A 1

1	1		1	1		1	p	1	1

p p 1 p2 1		p	2		p 1	2	p2 1	2		p2 1

1 12 et 12 cos t 12 sin t.

10.Найти оригинал, соответствующий изображению

p4 13 p2 36

136

Решение. Очевидно,

		p	2					p			p						p	cos 2t;			p	cos3t.
		p						p			p		;				p				p
	4			2			2			2			;			2				2
p	4	13 p		2	36	p	2	4	p	2	9				p	2	4		p	2	9
p		13 p			36	p		4	p		9				p		4		p		9
	Следовательно,
						p2						p					p	cos 3t cos 2t
					p4 13 p2 36												9	cos 3t cos 2t
					p4 13 p2 36					p2 4 p2							9
		t					t τ dτ					1	t	cos 2t τ cos					5τ 2t dτ =
		cos3τ cos2										1
		cos3τ cos2
		0										2	0

15 3sin 3t 2sin 2t .

11.Найти свертку функций и ее изображение:

f (t) sh2t, g(t) e t .

Решение. Вычислим свертку функций, пользуясь определением:

			t						t		2τ	e		2τ						t	e3τ e τ dτ
sh2t e t sh2τ e t τ dτ										e		e				e t τdτ
sh2t e t sh2τ e t τ dτ												2				e t τdτ
		0						0				2								0
		0						0												0
	e t e3τ					t	e t e3t 1								t				e2t			e 2t	2
	e t e3τ					t	e t e3t 1												e2t			e 2t	2
				e	τ							e				1								e	t .
				e	τ							e				1								e	t .
	2							3											6			6	3
	2	3				0	2	3											6			6	3
Следовательно,					sh2t e t				e2t				e 2t				2	e t.
Следовательно,					sh2t e t													e t.
								6				6					3

Теперь по таблице изображений находим изображение свертки:

sh2t e t	1	1	1	1	2	1
	6	p 2	2	p 2	3	p 1

137

1	p 2 p 1 3 p 2 p 1 4 p										2	4
											2
6					p		4 p			1
6					p	2	4 p			1
						2
		1			12					2		.
		6	p	2	4 p 1			p	2	4 p 1		.
		6	p		4 p 1			p		4 p 1

12.Найти оригинал по изображению F ( p) ln 1 1p .

Решение. Разложим F( p) в ряд

Лорана

по степеням

p в

окрестностях точки

p .

ln 1 z z

Известно

разложение

...

( 1)n 1

... ,

схо-

дящееся для

1 .

Положим z

, тогда будем иметь

1 .

F ( p) ln 1

... ( 1)n 1

... для

2 p2

npn

Отсюда

1 t

( 1)n 1

tn 1

f (t) 1

...

n 1 !

...

( 1)n 1

...

t .

... ( 1)n

...

138

13. С помощью второй теоремы о разложении найти оригиналы следующих функций:

а)

F ( p)	2 p 1	;
	p 3 p 1 p 2

б) F ( p)	1	.

	p 1 p 3 3

Решение. а) Все корни знаменателя простые, обозначим

p1 3,

p2 1,

p3 2,

A( p) 2 p 1,

B( p) p 3 p 1 p 2 .

Найдем B' ( p) p 1 p 2 p 3 p 2 p 3 p 1 .

		A(3)				7			,		A(1)							1	,		A( 2)								1	.
									,										,											.
	'			(3)		10				'		(1)						2		'		(						5
		B		(3)							B	(1)								B		(		2)
Следовательно, F ( p) f (t)															7			e3t			1	et			1		e 2t .
Следовательно, F ( p) f (t)																		e3t				et					e 2t .
															10					2					5
б)	Корень p1 1						кратности									r1		1,		корень								p2 3 кратности
r2 3.	Воспользуемся формулой
			f (t) lim							p 1								1								e pt

													p 1 p											3 3
						p 1							p 1 p											3 3
			1				d	2												1										.
			1	lim			d			p		3 3								1								e pt
				lim			dp			p		3 3					p 1 p 3											e pt
			2 p 3				dp										p 1 p 3
			2 p 3						2																3
Найдем
					d					e pt				t p 1						1
																							e pt ,
																				2			e pt ,
																p 1				2
					dp p 1											p 1

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]