Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Вычислить интегралы по заданному контуру новную теорему о вычетах.

используя ос-

56)

57)

58)

59)

60)

	-2z	2	, l:				z 2			1.
			, l:				z 2			1.
								1

		, l:		z					.
		, l:		z					.
						2
						2.
		, l:			z	2.
z z
z z
	4

, l: z 4 1.

, l: z i 3.

Ответы

1) а) 2;

б) 0;

в) 22 1 i .

2)74 3i.

3)158 i 56 .

4)212 4i.

5)15 1235 i.

6)4 i .

7)0.

8)9 .

9)3 3i.

10)sh .

11)1 i . 3

12)1 cos1 i sin1 1 .

13)1 cos 2ch i sin 2sh2 . 4 4

14)i.

15)2i e.

16)i.

17)0.

18)4i .

19)22i 21.

120

											n 1			2	2n 1							2n 1
														2
20)		1																			z							.
20)		1																			z							.
	n 1													2n !
21)		z	3	z					2				z			1								1				...
			3						2

													2			3!							4! z
22)		2									1							1							z2			...
22)		z4					2! z2																					...
		z4					2! z2									4!								6!
23)	1										1					1								z		...
23)		z2					2! z																			...
		z2					2! z								3!							4!
					e	3								1
24)					e									1					.
24)											z 1 n								.
	n 0 n!										z 1 n
25)	1					1						.
25)	1											.
					z	1
		4				1														1					z 2 n .
26)		4				1														1
26)																	3n 2
		3 z								2				n 0			3n 2
27)														1

								z i 1 i
													z i							n
																											.
																											.
			n 0			1 i n 2 n 1 !

n 1

28) а)

;

n 1

3 n 0 3

n 1

б)

n 0

z 2

29)

n 1 z 2 n

n 0

3n 1

2n 2

30)

z 1

z 1 n

n 2

n 1

31)

n 1

n 0 4

n 1

32)

9 n 1

3n 5

z 1 n .

n 0

n 2

33)Полюсы первого порядка: z1 2; z2 3; z2 3.

34)Полюсы первого порядка: z 2; устранимая особая точка: z .

35)Полюс четвертого порядка: z 1.

36)Существует особая точка: z 2.

37) Полюс четвертого порядка z 0; полюс первого порядка z 1.

38)Устранимая особая точка.

39)Существенно особая точка.

40)Полюс третьего порядка.

41)Существенно особая точка.

121

									f z							ch				1				3
42)	rez								f z											2					.
	z		1		2															2
					2
43)	rez							f z								1			;		rez				f z							1		.
43)	rez							f z											;		rez				f z									.
	z 1															9					z 1											9
44)	rez f z														i		;			rez					f z								i	.
44)	rez f z																;			rez					f z									.
	z i									4										z i												4
45)	rez f z 2;																rez f z										3		;				rez f z										1		.
	z 0																	z 1							2								z 1										2
46)	rez f z 0;																		rez				f z					4			.
46)	rez f z 0;																		rez				f z								.
	z 0																z
																				4
47)	rez f z										1		;						rez				f z										e 2		.
47)	rez f z												;						rez				f z												.
	z 0									8									z 2													8
48)	rez f z										1			.
48)	rez f z													.
	z 0									6
	rez f z														1					rez f z										2sin						2	3
																	;													2sin							2		.
49)																																					2
49)
	z 0									6										z 3														27
50)	rez f z									1												i			; rez f								z					61 23i						;
50)	rez f z																								; rez f								z											;
	z i									125										250						z 2											25
	rez f z											1813											358			i.
	rez f z																									i.
	z 3									250												125
51) 0.																																											31
52) e			1				.																													57)										i .
			1																																	57)										i .
																																									2		8
53)				1					.																															2i		16 2					2 4 .
																																				58)
		120
		120
54) 1.
54) 1.																																									i
	3																																			59)					i
55)	3					.																																			4 .
55)	2			2		.																																			4 .
56)		2 i						.																												60) 2 1 e 1 i.
56)				3				.

122

3.ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1.Краткие теоретические сведения

Операционное исчисление позволяет решать различные математические задачи: нахождение интегралов, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и уравнений в частных производных и т. п. В основе методов операционного исчисления лежит идея интегральных преобразований (преобразование Лапласа), позволяющих свести обыкновенные дифференциальные и интегральные уравнения к алгебраическим (операторным) уравнениям, а дифференциальные уравнения в частных производных – к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Оригиналы и изображения функций по Лапласу.

Определение 1. Будем действительную функцию действительно-

го аргумента		f (t) называть оригиналом,		если она удовлетворяет
трем требованиям.
1.	f (t) 0,	при t 0.
2.	f (t) Mes0t , при t 0,		где M 0,	s 0 – некоторые дей-
				0
ствительные постоянные; s0			называют показателем роста функции
f (t). В этом случае говорят, что функция				f (t) возрастает не быст-
рее показательной функции.
3. На любом конечном отрезке a, b				положительной полуоси

Ot функция f (t) удовлетворяет условиям Дирихле, то есть:

1)ограничена;

2)либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода;

3)имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или ори-

гиналами.

Простейшим оригиналом является функция Хевисайда, определяемая следующим образом:

1, при t 0, η(t)

0, при t 0.

123

Определение 2. Изображением по Лапласу

ся функция комплексного переменного	p s
ношением

функции f (t) называет-i , определяемая соот-

			pt
F ( p)		f (t)e	pt	.
F ( p)		f (t)e		.
	0

(3.1)

Выражение «функция f (t) имеет своим изображением F( p)» будем записывать

F( p) L f (t) или F( p) f (t).

Интеграл в формуле (3.1) называют интегралом Лапласа для

функции f (t), переход от оригинала f (t)	к изображению F( p) –
преобразованием Лапласа.
Свойства преобразования Лапласа.
Свойство линейности
Если F( p) f (t), (t) ( p), a, b любые постоянные, то
af (t) b (t) aF( p) b ( p).
Свойство подобия
Если f (t) F( p), то для любого ω 0	f (ωt)	1		p
			F		.
			F		.
		ω		ω

Теорема смещения
Если	f (t) F( p)	и	α –	комплексное число,	то
e t f (t) F( p α) или e t f (t) F( p ).
Теорема запаздывания
Если	f (t) F( p) при значениях, и			t a, то для всякого	a 0
f (t a) e pa F( p) .
Теорема о дифференцировании оригинала
Если	f (t) F( p) и f ' (t),		f '' (t),..., f (n) (t) – оригиналы, то
	f ' (t) pF( p) f (0),		f '' (t) p2F( p) pf (0) f ' (0),...

124

f (n) (t) pn F( p) pn 1 f (0) pn 2

f ' (0) ... f (n 1) (0).

Теорема о дифференцировании изображения

Если

f (t) F( p),

то

( p)

( p) ( t)

f (t),...

(n)

( p) ( t)

f (t).

( t) f (t), F

Теорема об интегрировании оригинала

F ( p)

Если

f (t) F( p),

то f ( )d

Теорема об интегрировании изображения

Если

f (t) F( p)

и интеграл

F(q)dq

является сходящимся, то

f (t)

F (q)dq,

где

F (q)dq

lim

F (q)dq.

Re P p

Таблица изображений основных функций

№

f (t)

F( p)

№

f (t)

F( p)

sin bt

p a 2 b2

p a

cosbt

p a 2 b2

p a

2 pb

t sin bt

pn 1

tneat

p2 b2

t cosbt

b2 2

p a n 1

sin bt

shbt

p2 b2

cosbt

chbt

p2 b2

125

Свёртка функций. Теорема умножения (Бореля) и интеграл Дюамеля.

Пусть две функции

Сверткой этих функций мая в виде интеграла

(t) и g(t) непрерывны для значений t 0. называется новая функция от t, определяе-

t
f * g f (τ)g(t τ)dτ.	(3.2)
0

Операция свертывания функций обладает свойством коммутативности:

	t	t
f * g g * f ,	то есть f (τ)g(t τ)dτ g(τ) f (t τ)dτ .
	0	0
Теорема 3.1 (теорема Бореля). Если		f (t) F( p), g(t) G( p),

то произведение изображений F(t)G( p) является изображением свертки оригиналов:

F( p)G( p) f (t)* g(t).

Иначе говоря, умножение изображений равносильно свертыванию оригиналов этих изображений.

Теорема 3.2 (интеграл Дюамеля). Пусть f (t) и g(t) функции-

оригиналы, причем производная g' (t) также функция-оригинал. Тогда имеет место соответствие

pF ( p)G( p) g(0) f (t) f (τ)g' (t τ)dτ.

Для нахождения оригиналов по заданным изображениям

можно использовать несколько способов.

126

Разложение на простейшие дроби

Если

	F ( p)	A( p)
	F ( p)	B( p)
		B( p)

есть дробно-рациональная функция, причем

степень числителя

A( p)

меньше степени знаменателя

B( p),

то эту

дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (3.1), либо по таблице из пункта 3.

Первая теорема разложения

Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням 1p , то есть

F( p)

...

n 1

n 0

(причем этот ряд сходится к

F( p) при

R lim

то

pn 1

оригинал имеет вид

f (t) a

... a

...

1 1!

2 2!

n n!

n 0

(причем ряд сходится при всех значениях t ).

Вторая теорема разложения

Если

изображение

есть

дробно-рациональная функция

F ( p)

A( p)

, то оригиналом является функция

B( p)

(3.3)

f (t) res F ( p)e

где сумма вычетов берется по всем полюсам pk функции F( p).

127

Следствие 1. Если

ее полюсы простые, то

	F ( p)	A( p)
	F ( p)	B( p)
		B( p)

– рациональная функция и все

а) f (t)

A( p

)

;

( p

)

б) так как res F ( p)

lim ( p pk )F ( p), то

p pk

( p p )F ( p) e pkt .

f (t) lim

k 1 p pk

Следствие 2.

Если

F ( p)

A( p)

–

правильная

рациональная

B( p)

дробь,

то

оригиналом

ее

служит

функция

rk 1

F ( p)e pt

p pk rk , где

f (t)

lim

pk – полюсы

dprk 1

k 1

r 1 ! p p

F( p) кратности rk ;

сумма берется по всем полюсам F( p) ( pk –

корни функции R( p) ).

Использование изображений функций

Дробь

A( p)

можно представить в виде произведения дробей,

B( p)

являющихся изображениями некоторых функций, после чего применяется теорема Бореля.

Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем ДУ.

Пусть требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

x n a x n 1 ... a		x1 a	x f (t) ,	(3.4)
1	n 1	n

удовлетворяющее начальным условиям:

128

x(0)

Будем предполагать,

x	'	(0) x	; ...; x	n 1
x	; x	(0) x	; ...; x
0		0

что искомая функция

(0) x(t),

x0.

все ее производные,

а также функция

f (t)

являются оригиналами. Пусть

x(t) X ( p);

f (t) F( p). По теореме дифференцирования оригиналов:

x' (t) pX ( p) x0 ; x'' (t) p2 X ( p) px0 x0' ; ...(n 1) (t) pn 1 X ( p) pn 2 x0 ... x n 2 ;

x(n) (t) pn X ( p) pn 1x0 ... x0(n 1) .

Перейдем от дифференциального уравнения (3.4) к уравнению в изображениях:

pn X ( p) pn 1x0 ... x0(n 1) a1 pn 1X ( p) pn 2 x0 ... x0(n 2)

... an 1 pX ( p) x0 an X ( p) F ( p)

или

Qn ( p)X ( p) F( p) Rn 1( p).

Находим так называемое операторное решение уравнения

X ( p) F ( p) Rn 1( p) .

Qn ( p)

Найдя оригинал x(t) по его изображению X ( p), получаем ре-

шение задачи Коши для дифференциального уравнения (3.4). Метод интегрирования системы линейных дифференциальных

уравнений сходен с методом интегрирования одного уравнения. В результате применения преобразования Лапласа получается система алгебраических уравнений для изображений.

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]