Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

2 i

z 1 i

z 1

32 8

в) В области,

ограниченной окружностью

3, имеем точки

z1 1; z2 2 , в которых знаменатель обращается в ноль. Построим окружности 1 и 2 с центрами в точках z 1; z 2 достаточно малых радиусов, таких, чтобы окружности не пересекались и целиком лежали в круге z 3 (рис. 2.7).

	3
-2	1
	1

Рис. 2.7

В трехсвязной области, ограниченной окружности		z		3,	1 и

2 подынтегральная функция всюду аналитична. По теореме Коши для многосвязной области

z	1	2

sh z z 2 2	sh z z 1

		i	sh z

	2		z 2 2
1				z 1

110

2 i

z 1 ch z sh z

2 i

z 1 2

z 1

z 2

sh2

2 i

sh sh2 2 ch2 .

2 i

ch2

6. Разложить функцию f z	1	в ряд Лорана в

	z 1 z 3
окрестности особой точки z0 1.

Решение. Обозначим t z 1 и применим формулу суммы геометрической прогрессии:

										1						1						1					1
					z 1 z 3										t t			2				2						t
					z 1 z 3										t t			2				2						t
																								t 1
																								t 1				2
																												2
																						t 2				n
								1							t2							t 2
											1 t						...										...
											1 t			22			...						n!				...
								2t						22		2!							n!

	1	1	t								t2					tn 1											1				z 1 n 1
												...									...											.
			23 2!						2! 3!			...				2n 1 n!					...				2 z 1							.
	2 2		23 2!						2! 3!							2n 1 n!									2 z 1						n 0	2n 1 n!
7.	Разложить						функцию							f z							1		:			а) в			кольце			0	z	1;
																					1

																				z2 z
б) в кольце 1				z		.														z2 z
б) в кольце 1				z		.						f z в виде суммы элементарных дробей:
Решение. Представим												f z в виде суммы элементарных дробей:
									f z					1							1						1		1	.		(2.20)
									f z										z z 1											.		(2.20)
													z2 z						z z 1								z z 1

111

а) Преобразуем (2.20) следующим образом:

f z	1				1				1				1 z z							2		...		1				n		z	n		1
f z													1 z z									...		1						z
	z		1 z						z																								z
	z		1 z						z																								z
б) Если			z	1,		то			1	z				1, поэтому
б) Если			z	1,		то			1	z				1, поэтому
				f x			1						1			1							1									1	1

							z					z 1					z			z 1					1	z						z		z
																										z
						1	1				... 1								n			1					1					1
		1																					...										...
		1				z		z2													zn		...				z2					z3	...
						z		z2													zn						z2					z3
											1 n					1								1					n
																1		...						1					.
																n 1		...											.
															z	n 1							n 0		z	n 2
															z								n 0		z

8. Разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0 щие функции:

		n zn.

	1
n 0

0 следую-

а)

f z

;

б)

f z

1 cos z

Решение. а) Для любого комплексного z:

ez 1

...

n 0 n!

Поэтому

n 1

...

n 0 n!

112

б) Так как

cos z

z12 1 cos z

2!1

1 z2

... 1

...,

то

2n !

... 1 4

...

2n !

z	4	... 1 n	z	2n 2		z	2n 2
								.
6!			2n !
							2n !
					n 1

9. Найти все конечные особые точки функции

f z и опреде-

лить их характер (для полюса указать порядок)

а)

f z

z 2

;

б)

f z z cos

;

в)

f z

ez 1

z z 1 2

Решение. а) Особые точки функции: z1 0

или z2 1.

z 2

z 1 2

Так как lim

z 2

lim

, то точка

z 0

является полюсом

первого

порядка. Аналогично

lim

z 2

z 1 z z 1 2

z 2

lim

. Поэтому точка

z 1 является полюсом по-

(z 1)2

z 1

рядка 2.

б) Используя разложение функции в ряд Лорана, получим

z cos

z 1

...

z2 2!

z4 4!

...

z 2!

z3 4!

z5 6!

113

Так как разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки

z0 = 0 имеет в главной части бесконечности множество членов, то
точка z = 0 является существенно особой точкой для				f	z .
в) Особой точкой функции является точка			z0	0.			Вычислим
предел функции при z 0 lim	ez 1	ez 1 ~ z	lim			z	1. Значит


z 0	z		z 0 z

точка z0 0 является устранимой особой точкой.

10. Исследовать поведение функции в окрестности бесконечно

удаленной точки:

f z

3 z2

Решение.

Сделаем подставку

Тогда функция z

предел функции f 1

примет вид

. Вычислим

3t2

устремив t к нулю:

lim

Поэтому точка z0 является

t 0 3t2

устранимой особой точкой.

11. Найти вычеты во всех особых точках функции, включая бес-

конечно удаленную особую точку:

f z

e 2z

z2 z 4i

Решение. Конечными особыми точками функции

f z являют-

ся: z1 0 – полюс второго порядка;

z2 4i – полюс первого поряд-

ка. Найдем вычет в точке z1 0:

2 z

rez f z lim

lim

z 4i

z 0 z

lim	2e 2 z z 4i 2e 2 z	1 8i	.
	z 4i 2
z 0		16

114

В точке

z2 4i

вычет равен

rez f z lim

e 2z

z 4i

z 4i z2

lim

e 2z

e 8i

cos8 i sin 8 .

z 4i z2

Так как (согласно теореме 2.7) rez f z rez f zk 0, то

1 8i

rez f

cos8 i sin 8

cos8 1

sin 8 .

12. Вычислить с помощью вычетов

, где L:

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются z1 0 и z2 2 , причем так как

lim	sin z		lim				sin z			lim		1		1,
lim			lim							lim			2 2	1,
z 0 z z 2 2				z 0				z		z 0	z		2 2
				1				4	,
				2					,
				2
					4
и
		sin z								1
	lim	sin z								2		,
										2
		z				2
	z 2 z	z				2				02
				2

115

то точка z1 0 является устранимой особой точкой,

сом второго порядка. Значит	rez		f z 0;		rez	f
	z	0		z	2
	1				2	2
						2

а z2 2 – полю-


z lim	sin t
z lim
z		z
2

lim

cos z z sin z

Так как точка

лежит внутри окружно-

сти

то

2 i rez f z 2 i

z z

2.9. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить.

dz, где

а)

дуга окружности

1 от точки z1

до точки z2 1;

б)

отрезок прямой от точки z1 1

до точки z2 1;

в)

отрезок прямой от точки z1 1

до точки z2 2 2i.

2) Re z Im z2 dz, где l

– дуга параболы y 2x3 от точки z1 0

до точки z2 1 2i.

3) z z dz, где l

– дуга параболы y x2 от точки z

0 до точки

z2 1 i.

4)	1 2i z dz, где l – отрезок прямой		y 2x от точки
	l
z1 1 2i до z2 2 4i.
5)	z 3dz, где l – дуга параболы	x y2 , соединяющая точки 0

и 1 i.

116

2z 1 zdz,

где

– дуга окружности

от точки

до точки

z2 1.

dz,

где

–

дуга окружности

от точки

до точки

z2 e

2 i

Im zdz,

где

– дуга окружности

3 от точки z1

до

точки z2 3e2 i.

Вычислить, используя аналитичность подынтегральной функции.

9) i iz3 3 dz.

10) chzdz.

12) z 1 e zdz.

1 i

13) sin z cos zdz.

11) i z2 3iz dz.

С помощью интегральной формулы Коши вычислить следующие интегралы (все окружности обходятся против часовой стрелки).

		z
14)		z.
	z	iz



15)		.
16)	z		dz.




	z	3

17)		dz.
	z	z 1

18)			2 dz
					.
	z		z z 1		.


				z dz
19)						.
19)	z 2i	3 z	1 z2 4 2			.

Разложить функции в ряд Лорана в окрестности точки z0 0.

20)	sin2 z	.	21) z3e 1z .

	z

117

22)

1 cos z		.
z	4

23)

1 e		z
		.
z	3

Разложить в ряд Лорана функции в окрестности указанных точек.

			3z 4						26)			z 2				,	z0 2.
24)	e z 1					,		1.
24)	e z 1					,	z0	1.			z		z	2
											z	1	z	2
25)				z		,	z0	1.				1					z0 i.
									27)						,

		z			1					z		i z 1

Разложить функции в ряд Лорана в указанных кольцах.

28)		1					;		а)		2		z	3;	б) 3	z	.
		1

	z 2 z 3
	z 2 z 3
29)		2	;1		z 2				3.
		2

	z2	1
	z2	1
		z 2				2			z 1			.
30)					;
30)	z2	4z 3			;
	z2	4z 3
31)		1				; 3				z	4.
		1

	z2	7z 12
	z2	7z 12
32)		1		;1				z 1			2.
		1

	z z 3 2
	z z 3 2

Найти особые точки функций и выяснить их характер.

33)	f z		z 2
				.
		z 2 z 3 z 1
34)	f z	z2
			.
		z 1 4
35)	f z	z2
			.
		z 1 4

	1
36)	f z cos			.
			z 2
37)	f z		z2 1
					.
		z6 2z5 z4

118

Исследовать поведение функции в окрестности бесконечно удаленной особой точки.

38)

39) f

z	z 2	.
z	z z 1	.
	2

sin z

z z3 z .

40)

41) f

z	2z		5		z 1
						.
	z	2		z 8

z e z .

Найти вычеты функции во всех конечных особых точках.

42)	f z	chz 3		.

		1 2z
	f z			z
43)								.
		z 2 2 z 1
44)	f z	z 1				.
		z i 2

45)	f z	z 2			.

		z3 z5
46)	f z	tgz					.

		z2
			4	z

47) f z ez . z3 z 2

48)f z z2 sin 1z .

1 cosz

49)f z 3 z 3 .z

50) f z	z 1
		.
	z 1 z 2 2 z 3 3

Найти вычет в бесконечно удаленной особой точке.

	1
51)	f z		.
		z z3
	f z	ez
52)				.
		z2 z 1

			1
	f z z4e				.
53)				z
	f z				z 1
54)							.
			z 1 z 2i
	f z		cosz
55)						.
		z2 3z

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]