Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

В этом случае граница области D представляет собой сложный кон-

контуру Г точки области D остаются слева – положительное направление обхода (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Теорема 2.4 (теорема Коши для многосвязной области). Если

ниченной кусочно-гладким замкнутым контуром L, и на самом контуре, то справедлива интегральная формула Коши:

100

где z0 D; z L.

2.7. Ряды Лорана. Изолированные особые точки

Рядом Лорана называется ряд вида

где z0 – фиксированная точка комплексной плоскости C;

Cn (коэффициент ряда Лорана) – заданные комплексные числа.

Ряд Лорана представляет собой сумму двух рядов: ряда

101

ли в этой точке сходятся оба ряда, при этом сумма ряда (2.13) равна сумме двух слагаемых: суммы ряда (2.14) и суммы ряда (2.15).

f z в ряд Лорана в этом круге представляет собой разложение f z в ряд, который называется рядом Тейлора. В этом разложении отсутствуют слагаемые, содержащие отрицательные степени z z0 :

0 z z0 R, а точка z0 является особой точкой функции f z . При этом, в самой точке z0 функция может быть не определена.

102

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой

Главной частью ряда Лорана в окрестности изолированной особой точки (конечной или бесконечной) называется сумма всех тех и только тех членов ряда Лорана, которые стремятся к бесконечности при стремлении z к особой точке z0 (то есть ряд (2.14)

в случае z0 ).

Правильной частью ряда Лорана называется сумма всех остальных членов ряда (то есть ряд (2.15) в случае z0 ).

Таким образом:

1) в окрестности особой точки z0 :

если при z z0 предела не существует (конечного или бесконечного). Изолированная особая точка (конечная или бесконечная)

является устранимой особой точкой для функции f z тогда

103

2) для бесконечно удаленной особой точки:

Изолированная особая точка является полюсом функции f z тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции f z в окрестности этой точки содержит конечное (отличные от

нуля) число ненулевых членов: 1) для z0 :

104

2.8. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Основная теорема теории вычетов

где Г – некоторый замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции и содержащий внутри себя единственную особую точку z0 . Вычет в устранимой особой точке равен нулю. В полюсе

или существенно особой точке вычет равен коэффициенту C 1

105

внутри области, за исключением конечного числа особых точек

z1, z2 ,..., zn , то

n

2 i res f (z).

k 1

Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке равен ко-

Теорема 2.7. Если функция f z имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек z1, z2 ,..., zn , то

сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю:

зок прямой, соединяющий точки 0 и

2 i.

Решение. Так как L – отрезок прямой y 2x (рис. 2.5), то

xd x iy xd x i x

2LL

Рис. 2.5

106

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

iz2 z i x iy 2 x iy i x2 2ixy y2

x iy ix2 2xy iy2 x iy

x 2xy i x2 y2 y .

107

Рис. 2.6

i

4. Вычислить zcos zdz.

0

Решение. Функция z cos z является аналитической на всей плоскости z, поэтому интеграл от нее не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки z1 0 и z1 i. На основании формулы интегрирования по частям (2.10) и формулы Ньютона–Лейбница (2.9), получаем

108

5. Вычислить интегралы по замкнутой кривой (обход кривой совершается против часовой стрелки):

2

z 2 i f 1 2 i z2 3 z 1 2 i 2 4 i.

z 1 2

б) Подынтегральная функция аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением точек z1 1; z2 1. Точка z1 не лежит ни

внутри области интегрирования, ни на ее границе. Точка z2 принадлежит области интегрирования. Согласно формуле (2.12), имеем

1 z 1 3

z

109