Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

e e 1

e e 1

cos 2

i sin 2

cos 2ch2 i sin 2sh2.

2

2

в)

Ln 1 i ln

1 i

i arg 1 i 2 k .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа z 1 i:

arg z arctg1

.

z

2;

Значит Ln 1 i

4

2 i

2 k .

4

1

1

1

1

3

г)

Arcsin

Ln i

1

iLn

i

.

2

i

2

4

2

2

Lni ln

i arg i

2 k

i

2 k ln1 i

i

2 k .

Получаем

2

2

i

2 k

1 i i

2 k

e

1 i

2 k

i1 i e

2

2

e

2 e2 ki e

2

i sin

2 k

ie

2 k

cos

cos 2 k i sin 2 k e

2

2

.

2

2

8. Проверить, является ли функция

f z zez

дифференцируе-

часть v x, y

e

x

xsin y

y cos y .

Находим частные производные

функций u u x,

y ,

v v x, y :

u cos y ex xex

y sin yex ex cos y x cos y y sin y ;

x

v xex cos y ex cos y y sin y ex x cos y cos y y sin y ;

y

u xex sin y sin y y cos y ex

y

ex x sin y sin y y cos y ex x sin y y cos y sin y .

v sin y ex xex ex y cos y ex sin y xsin y y cos y .

x

Следовательно, u v , u

v

условия (2.6)

выполнены для

x

y

y

x

всех точек плоскости OXY , значит функция

f z zez является

дифференцируемой на всей комплексной плоскости.

Найдем f

z :

ze

z

z

e

z

z e

z

ze

z

e

z

1 z .

z e

9. Найти аналитическую функцию

f z , если известна ее мни-

мая часть v x, y x3

6x2 y 3y2 x 2y2.

Решение. Так как

v

3x2

12xy 3y2 ,

v

6x2

6xy 6 y2 , то

x

y

из равенств (2.6) получаем

u 6x2 6xy 6 y2

, u

3x2

12xy 3y2.

y

x

u x, y

6x

2

6xy 6y

2

dx 2x

3

3x

2

y 6y

2

x y ,

где y – произвольная функция.

Для определения функции y

продифференцируем по y функ-

цию u x, y

и

подставим

полученную

производную во

второе

уравнение:

u

2

3x

2

12xy 3y

2

2

y 3x

12xy y

y 3y

;

y 3y2dy y3 c.

Следовательно, u x, y 2x3

3x2 y 6y2 x y3

c, поэтому:

f z 2x3 3x2 y 6 y2 x y3 c i x3 6x2 y 3y2 x 2y3

2 x3

3y2 x 3ix2 y iy3 i x3

3y2 x 3iyx2

iy3

8 6i

i 17 19i .

1) 1 2i 2 i

.

4)

10

1 i

19 17i

1 i 3

3 2i

2

2)

1

i

2

3i

5

4i

.

5)

1 i .

3 i

1 i 2

i 6 8i

3)

.

5 i 2

2i

2

5i

1

i 1

6)

.

3 4i

1 3i

24) Дана функция

f z x2

iy2 , где

z x iy. Найти значение

функции: а) f 1 2i ;

б)

f 2 3i .

Вычислить значения следующих функций.

25)

sin 2 3i .

29)

ln 1 i .

30)

i

26)

tg

i.

1 i .

2

31)

4

i

.

sh 2 i .

27)

32)

Arctg

2 i .

Ln

i .

28)

3

Arsh 1 .

33)

34)

f z sin z.

37)

f z i 1 z2 2z.

35)

f z z z.

38)

f z

z2

.

36)

f z ez2.

tg z

2z sin z .

39)

f z z z2

Восстановить аналитическую

функцию f z по

заданной ее

действительной u x, y или мнимой v x, y части:

40)

u x, y x2

y2 x.

41)

v x, y

y

.

x2

y2

42)

u x, y x2

y2 5x y

y

.

x2

y2

14)

3

i;

1 i

i;

1 i

3;

3

3.

3

4

1 i ;

cos

i sin

i sin

6 2

6

15)

;

2

cos

.

2

12

12

12

12

4;

1 i

;

2 1 i

.

16)

2

3

3

1

19 24k

19 24k

k 0,1,2.

17)

cos

i sin

;

6 2

36

36

n

f z dz

lim

f zk zk ,

(2.7)

L

max

zk

0 k 1

где zk zk zk 1.

Полагая,

f z u x, y iv x, y , получим

f z dz u x, y iv x, y d x iy

L

L

(2.8)

u x, y dx v x, y dy i v x, y dx u x, y dy ,

L

L

t1

ниям параметра

t t0 ,

t t1,

то

f z dz z t z t dt, где

z t x t iy t .

L

t0

Если функция

f z

аналитична в односвязной области D, со-

держащей точки z0 и

z1, то

имеет

место формула Ньютона–

Лейбница:

z

z dz F z

F z

,

1

f

0

(2.9)

1

z0

где F z

– какая-либо первообразная для функции

f z , то есть

F z f

z в области D.

z

z

1

f z g z dz f z g z

z0

1 g z f z dz. (2.10)

z

z0

0

z0

гда f z dz f

d . Если путь интегрирования являет-

L

L1

ся полупрямой, выходящей из точки z0 ,

то целесообразна подстановка

z z rei .

В первом случае const,

а r – действительная перемен-

0

ная интегрирования.

Теорема Коши.

Теорема

2.2 (основная теорема Коши). Если функция

f z u iv

является аналитической в односвязной области D, то

для любого замкнутого контура L, лежащего в области D, справед-

ливо равенство

0. Функция

f z является аналитиче-

ской в замкнутой области

D, если она является аналитической

в некоторой

области

содержащей

замкнутую

область D

D ,

(то есть область D и ее границу Г).

Теорема 2.3 (теорема Коши). Если функция f z

является ана-

f z dz 0.

литической в замкнутой области D, то

Г