Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра инженерной математики

И. В. Прусова Н. А. Кондратьева

Н. К. Прихач

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебно-методическое пособие

Минск

БНТУ

2017

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра инженерной математики

И. В. Прусова Н. А. Кондратьева Н. К. Прихач

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

РЯДЫ, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Учебно-методическое пособие к решению задач для студентов

механико-технологического факультета

Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области металлургического оборудования и технологий

Минск

БНТУ

2017

1

УДК 517(075.8) ББК 22.16я7

П85

Под редакцией М. А. Князева

Р е ц е н з е н т ы :

Д. Г. Медведев, Ю. А. Курочкин

Прусова, И. В.

Высшая математика. Ряды, теория функций комплексного переП85 менного, операционное исчисление : учебно-методическое пособие к решению задач для студентов механико-технологического факультета / И. В. Прусова, Н. А. Кондратьева, Н. К. Прихач;

под ред. М. А. Князева. – Минск : БНТУ, 2017. – 154 с. ISBN 978-985-550-812-1.

Издание содержит теоретические сведения, подробные решения типовых примеров и задач, задания для самостоятельной работы по разделам «Ряды», «Теория функций комплексного переменного», «Операционное исчисление».

2

1.РЯДЫ

1.1.Числовые ряды и их сумма. Основные свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.

Примеры числовых рядов

Пусть задана бесконечная последовательность (un )+∞n=1 действительных чисел. Тогда следующее выражение

+∞

∑un (1.1)

n=1

называется числовым рядом.

Элементы числовой последовательности (un )+∞n=1 называются членами числового ряда (1.1), а число un – общим (n-м) членом числового ряда (1.1). Сумма Sn первых n членов числового ряда (1.1)

называется n-й частичной суммой числового ряда.

Если из числового ряда (1.1) отбросить первые n членов, то

рый называется n-м остатком числового ряда (1.1).

Числовой ряд по определению сходится (называется сходящимся), если сходится последовательность его частичных сумм, в противном случае числовой ряд расходится.

Если числовой ряд (1.1) сходится, то его суммой S называется предел его частичных сумм и обозначается S = nlim→+∞ Sn.

Замечание. В общем случае члены числового ряда могут начинаться с произвольного целого номера n0. Тогда будем иметь чис-

тельных или комплексных чисел.

Замечание. Если из числового ряда удалить конечное число членов, то сходимость числового ряда не изменится.

3

Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда).

Если числовой ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть nlim→+∞un = 0.

Следствие (достаточный признак расходимости числового ря-

да). Если общий член числового ряда (1.1) не сходится к нулю, то есть nlim→+∞un ≠ 0, то числовой ряд (1.1) расходится.

Примером расходящегося числового ряда, который удовлетворяет необходимому признаку сходимости, является гармонический

ряд +∞∑ 1 .

n=1 n

Бесконечной геометрической прогрессией называется числовой ряд вида

n=1

в котором числа b и q не равны нулю: число b называется первым

членом бесконечной геометрической прогрессии, а число q – знаменателем бесконечной геометрической прогрессии.

то бесконечная геометрическая прогрессия (1.2) сходится в том и только в том случае, когда q <1, и при этом

4

вой ряд в развернутом виде.

Решение. Придавая последовательно значения 1, 2, 3, 4 и т . д.

этому развернутый вид числового ряда записывается следующим образом:

в свернутом виде.

Решение. Заданный числовой ряд можно переписать в виде

Видно, что общий член числовой последовательности 2, 4, 8, 16,… имеет вид vn = 2n. Числовую последовательность 1, 5, 23, 119, …

числовой последовательности имеет вид wn = (n +1)!−1. Значит, общий член исходного числового ряда задается формулой

5

sin 21n

un = (n +1)!−1 , а сам числовой ряд записывается в (свернутом) ви-

15 + 512 + 513 + + 51n +

Видно, что числовой ряд является бесконечной геометрической про-

а если сходится, то найти его сумму.

Решение. Запишем числовой ряд в развернутом виде:

6

бесконечными геометрическими прогрессиями со знаменателями по

номеров в бесконечных суммах начинается не с 1, а с0).

7

Тогда исходный числовой ряд сходится и имеем

а если он сходится, то найти его сумму.

Решение. Частичная сумма данного числового ряда имеет вид

и преобразуем ее:

Sn = k∑n=1 k (k1+ 2) = 113 + 214 + 315 + 416 + 517 + +

+ (n − 4)(1 n − 2) + (n −3)(1 n −1) + (n −12)n + (n −1)(1 n +1) + n(n1+ 2) =

+ (n − 4)(2 n − 2) + (n −3)(2 n −1) + (n −22)n + (n −1)(2 n +1) + n(n2+ 2) =

8

то согласно достаточному признаку расходимости числового ряда

9