Высшая математика. В 7 ч. Ч. 7. Элементы теории поля

Примеры

1. Вычислить

поток

векторного

поля a 8xi 11yj 17zk

через

часть

плоскости

x 2 y 3z 1,

расположенную в 1-м октанте. Нормаль составляет

острый угол с осью Oz.

Решение. Заданная

плоскость

x 2 y 3z 1

имеет вектор

нормали

и

пересекает

оси

координат в

точках A 1; 0; 0 ,

1

; 0

n (1; 2; 3)

B 0;

2

,

1

Проекцией

треугольника

АВС на

плоскость xOy является

треу-

C 0; 0;

3

.

гольник

АВО

(точка

О –

начало

координат),

ограниченный

прямыми

x 0, y 0,

y

1

1 x . Поверхностный интеграл будем вычислять как двойной

2

2

a n0dS

8xdydz 11ydxdz 17zdxdy

(8x 1 11y 2 17z 3)dxdy

ABC

ABC

ABO

(8x 22 y 51z)dxdy

8x 22 y

51

1

(1 x

3

2 y) dxdy

ABO

ABO

( 9x 12 y 17)dxdy..

ABO

Расставим пределы интегрирования и вычислим двойной интеграл:

1

1

1 x

2

(17 9x) 12 y dy

( 9x 12 y 17)dxdy dx2

ABO

0

0

1

1

1

1

2

2 x

dx

dx (17 9x) y 6 y2

( 3x2 10x 7)

0

0

0

a y2zi 3x2zj 7zk

через внешнюю сторону поверхности x2 y2 z2 2ay,

гдеa = const.

x2 y2 z2 2ay

x2 ( y a)2 z2 a2 .

7

4

a3

28

a3.

an0dS

diva dxdydz 7dxdydz 7 V

3

3

S

V

V

Здесь учтено, что объем сферы равен 4 a3 .

3

3. Вычислить работу, совершаемую силой F yxi 2xj при перемещении

тела из начала координат в точку

A 1; 3 по кривой L, если L представляет

собой а) прямую; б) параболу.

Решение. Прямая, проходящая через точки

0; 0

и

1; 3 , описывается

уравнением

y 3x . Работа силы

F yxi 2xj

по отрезку этой прямой есть

криволинейный интеграл

y 3x

1

3x2

x3

x2

1

y

A

yxdx 2xdy

3

6x

dx

3

3

6

2

1 3 4.

L

0 x 1

0

0

Проходящей через точки 0; 0

и 1; 3 параболе соответствует уравнение

y 3x2 . Вычислим работу силы по участку этой параболы:

y 3x2

1

3x3

12x2 dx

x

4

x

3

1

3 4

19 .

A yxdx 2xdy

y 6x

3

12

L

0

4

3

4

4

0

x

1

0

4. Найти работу силы F ( yx 1)i x2 y j

по дуге LАВ эллипса x cost,

y 2sin t из точки A 1; 0 в точку B 0;

2 .

Решение. Перемещению из точки

A 1; 0

в точку

B 0; 2

соответствует

A (xy 1)dx x2 ydy

x cost, x sin t

y 2sin t, y 2cost

LAB

0 t 2

2

2sin2 t cost sin t 4sin t cos3 t dt I1 I2

I3,

0

2

2

3

t

2

I1 2

sin2 t cost dt

costdt

dsin t

2

sin

2 t d sin t 2 sin

2 ,

0

2

0

0 2

3

0

3

I2

sin tdt cost

1,

0

2

2

4

t

2

I3 4

cos3 t sin t dt

sin tdt d cost

4

cos3 t d cost 4 cos

1.

0

0

4

0

Итак, работа силы по дуге эллипса

A I I

2

I

3

2 1 1 4 .

1

3

3

5. Исходя из определения,

найти циркуляцию силы

F z2i x2 j y2k

по контуру L пересечения сферы x2 y2 z2 25

и цилиндра x2 y2

9, z 0 ,

обходимого против часовой стрелки.

дим ее параметрически:

x2

y2

z2 25,

z2

16,

z 4,

2

2

2

2

y

9,

y

9,

x 3cost,

x

x

y 3sin t,

z

0;

z

0;

0 t 2 .

Вычислим криволинейный интеграл по окружности, учитывая выражения

3sin t, y

3cost, z

0 :

для производных x

2

2

2

z2dx x2dy y2dz

3sint 16 3cost 9cos2 t dt 48

sin tdt 27

cos3 tdt

L

0

0

0

02

2

2

1 sin2 t d sin t sin t

02 sin

3

t

2

48cost

cos3 t dt 0

0.

0

0

3

0

rot F

i

j

k

2 y i 2z j 2x k .

x

y

z

z2

x2

y2

z2dx x2dy y2dz rotF n0dS 2x(k k )dS

2xdxdy

L

S

S

S

x cos , y sin

2

3

3

dxdy d d

2

cos d 2d 2(sin

02 ) 2d 0.

0 2 , 0 3

0

0

0

Как и следовало ожидать, результат совпадает с полученным ранее.

7. Используя формулу Грина, вычислить интеграл I

y2dx (x y)2 dy

LABC

тами P(x, y) y2, Q(x, y) (x y)2 . Вычислим:

Q

P

2(x y) 2 y 2x ,

x

y

тогда по формуле Грина

I

2

2

2

2

2

2

dx

2

x

3

2

16

.

2xdxdy 2 xdx dy 2 x( y

2 x

)dx 2 x

3

0

3

АВС

0

2 x

0

0

В данной задаче контур L образован двумя параболами y x2

и y x ,

которые пересекаются в точках

O 0; 0

и

A 1; 1 . Следовательно,

искомый

интеграл есть сумма двух интегралов:

S y dx y dx y dx I1 I2,

L

L1

L2

I1 ydx

y x

2

1

2

dx

1

x

3

1

1

,

x

3

0

3

L1

0

I2 ydx

y

x

0

xdx

2

x

3 2

0

2

.

3

1

3

L2

1

9.

Исходя из определения, вычислить циркуляцию

векторного поля

a yi 2 j k по линии L пересечения конуса x2 y2 z2

0 с плоскостью

z 1, обходимой в положительном направлении орта k .

10.

Исходя из определения, найти циркуляцию силы F yi x2 j (x y)k

11.

Используя теорему Стокса, вычислить циркуляцию векторного поля

a yi 2 j k по линии L пересечения конуса

x2 y2 z2 0 с плоскостью

z 1, обходимой в положительном направлении орта k .

12.

Используя теорему Стокса, найти циркуляцию силы

2

F

yi x

j (x y)k

по кривой L пересечения цилиндра x2 y2

4 с плоскостью

z x y .

13.

Используя формулу Грина,

вычислить интеграл

( x2 y)dx xy2dy ,

L

где L – окружность x2 y2 R2 .

14.

Используя формулу Грина, вычислить интеграл (x y)dx (x y)dy ,

L

где L – эллипс

x2

y2

1.

16

36

15.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

y x2 2x

и прямой y x .

16.

Найти площадь эллипса

x

2

y2

1 с помощью формулы Грина.

a

2

b2

17.

Показать,

что выражение

du (x e y )dx xe ydy

является полным

дифференциалом некоторой функции u(x, y) , и найти эту функцию.

18.

Найти

функцию u(x, y)

по ее

полному

дифференциалу

du 4(x2 y2 )(xdx ydy) .

19.

Показать, что поле a (2xy z)i (x2 2 y) j xk

является потенци-

альным и не является соленоидальным. Найти потенциал поля.

20.

Выяснить, является ли векторное поле a x2 zi y2 j xz2k

гармони-

Ответы

1) 28 .

2) 13 .

3)

12

R5 .

4) 4 R3 .

5)

77 .

6)

4 .

7)

31 .

8) 2 ab2 .

3

96

5

3

3

2

3

9) .

10) 4 .

11) . 12)

4 . 13)

1 R4 .

14)

48 .

15)

9 .

16) ab .

2

2

17) u

x2

xe y

C .

18) u x4 y4 4x2 y2 C .

19) u x2 y y2 xz C .

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.

Скалярное и векторное поля. Оператор Гамильтона...........................................

3

2.

Задачи для самостоятельного решения...............................................................

12

3.

Поток, работа и циркуляция векторного поля.

Теорема Остроградского-Гаусса. Теоремы Стокса и Грина.

Виды векторных полей.............................................................................................

14

4.

Задачи для самостоятельного решения...............................................................

26