Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

		n
f x, y, z dl lim f xi , yi , zi li .
( AB )	0	i 1

На кривой АВ, целиком лежащей на плоскости Oxy, функция f от координаты z не зависит, поэтому по определению имеем

		n
f x, y dl lim f xi , yi li .
( AB )	0	i 1

Основные свойства криволинейного интеграла первого рода следующие:

1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл

первого рода не изменит своего значения: f M dl f M dl ;

( AB ) ( BA)

2.	f1 M f2 M dl f1 M dl f2 M dl ;
	( AB )	( AB )	( AB )
3.	cf M dl c f M dl ;
	( AB )	( AB )

4.Криволинейный интеграл первого рода вдоль замкнутого контура не зависит от выбора начальной точки на этом контуре;

5.Если путь интегрирования L разбит на части L1 , L2 , ..., Ln , то:

f M dl		f M	f M ... f M .
L	L1	L2	Ln

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к

вычислению определённого интеграла.

Если

пространственная кривая задана

параметрическими уравнениями

x x t , y y t , z z t ,

t0 t T , то

x t

y t

z t

dt .

(3.2)

f x, y, z dl f x t , y t , z t

( AB )

Если кривая АВ лежит в плоскости Oxy, то

y t dt .

(3.3)

f x, y dl f x t , y t

( AB )

Если кривая задана явно в виде y y x , a x b , то

		b	1 y x				dx .	(3.4)
		f x, y dl f x, y x	1 y x				dx .	(3.4)
						2
						2
	( AB )	a
Если кривая задана в полярных координатах r r , , то

	f x, y dl f r cos , r sin		r	2			2	(3.5)
	f x, y dl f r cos , r sin		r		r d .			(3.5)
( AB )

Если кривая задана уравнением x y , c y d , то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

	d	1 x y		dy .	(3.6)
	f x, y dl f x y , y	1 x y		dy .	(3.6)
			2
			2
( AB )	c

Приложения криволинейных интегралов первого рода

1) Длина l дуги АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формуле:

l	dl	(3.7)
	( AB )

(геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода). Если

пространственная	кривая задана	параметрическими	уравнениями x x t ,
y y t , z z t ,	t , то
		x 2 y 2 z 2 dt .
	l	x 2 y 2 z 2 dt .	(3.8)

2) Пусть в плоскости Oxy задана гладкая кривая L, на которой определена и
непрерывна функция двух переменных z f x, y 0 .			Тогда можно построить

цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, параллельной

оси Oz и заключённой между L и поверхностью z f x, y .	Площадь этой
цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле
S f x, y dl .	(3.9)
L

3) Пусть кривая L – материальная, т.е. имеет массу. Пусть l – некоторая

дуга L, содержащая точку M, а m – масса этой дуги. Тогда отношение m

называется средней плотностью дуги в точке M. Если f x, y, z рассматривать

как линейную плотность дуги в текущей её точке M x, y, z , то	dm l есть
масса бесконечно малой дуги dl (элементарная масса) и интеграл
m dl	(3.10)
L

представляет собой массу линии (физический смысл криволинейного интеграла первого рода).

4) Статистические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно равны

M x x x, y, z dl

M y

y x, y, z dl

M z z x, y, z dl ,

(3.11)

где x, y, z – плотность распределения кривой L.

5) Координаты центра тяжести (центра масс) кривой L находятся по

формулам:

;

M y

; z

(3.12)

6) Моменты инерции относительно начала координат О, осей координат Ox,

Oy, Oz и координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz материальной дуги LAB ,

имеющей линейную плотность x, y, z , вычисляются соответственно по формулам:

J0 x2 y2 z2 dl ;		J x y2 z2 dl ;		J y x2 z2 dl ;
LAB		LAB			LAB
J z x2 y2 dl ;	J xy	z2 dl ;	J xz y2 dl ;		J yz x2 dl . (3.13)
LAB		LAB	LAB		LAB
Моменты инерции связаны следующими соотношениями:
2J0 J x J y J z ; J0 J xy	J yz J xz . Если дуга LAB			лежит в плоскости Oxy, то
рассматриваются только моменты J0 , J x , J y			(при условии, что z 0 ).

3.2. Криволинейные интегралы второго рода

Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть x x t , y y t , t t0 , T – гладкая (или кусочно-гладкая) кривая L с

выбранным направлением (такую линию	будем называть путём) и	P x, y ,
Q x, y – пара функций, непрерывных	на кривой L. Учитывая, что
дифференциалы текущих координат x и y кривой L имеют вид:
		(3.14)
dx x t dt , dy	y t dt ,	(3.14)

под криволинейным интегралом второго рода от пары функций P x, y и Q x, y ,

взятых по кривой L, понимается интеграл

	T			y t y t dt .	(3.15)
P x, y dx Q x, y dy P x t , y t x t Q x t ,				y t y t dt .	(3.15)

L	t0
Если путь L задаётся уравнением y y x ,		a x b , то
	b				(3.16)
	P x, y dx Q x, y dy P x, y x Q x, y x y x dx .				(3.16)

L	a
Аналогично, если L задаётся уравнением x x y ,			y A, B , то
	B
					(3.17)
P x, y dx Q x, y dy P x y , y x y Q x y , y dy .					(3.17)
L	A

Криволинейный интеграл второго рода обладает следующими свойствами:

1) При изменении пути интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет свой знак на обратный:

P x, y dx Q x, y dy	P x, y dx Q x, y dy .
AB	BA

2) Если путь интегрирования L состоит из двух частей L L1 L2 , то

P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy .

L		L1		L2
Если	x x t ,	y y t ,	z z t t t0 , T		есть кусочно-гладкая
пространственная кривая		L и	P x, y, z ,	Q x, y, z ,	R x, y, z – функции,

непрерывные на пространственной кривой L, то криволинейным интегралом второго рода называется интеграл:

	P x, y, z dx Q x, y,	z dy R x, y,	z dz
	AB
T			(3.18)
P x t , y t , z t x t Q x t , y t , z t y t R x t , y t , z t z t dt.

t0

Векторная форма записи. Физический смысл.

Рассмотрим криволинейные интегралы второго рода по пространственной

кривой

P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz .

Рассмотрим так называемую вектор-функцию

P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz

x, y, z , d

Физически вектор-функция

x, y, z ассоциируется с

силовым полем,

когда в каждой точке

пространства на материальную

точку

действует сила

x, y, z . Физически скалярное произведение

y, z ,d

имеет смысл

работы, которую силовое поле

x, y, z совершает,

перемещая материальную

точку по вектору d r . Поэтому,

с точки зрения физики, криволинейный интеграл

второго рода

x, y, z , d

(3.19)

есть работа, которую совершает силовое поле

x, y, z ,

перемещая

материальную точку по кривой AB.

Обозначим через , и углы,

которые вектор d r образует с осями OX,

dx2

dy2 dz 2

OY и OZ. Так как

– дифференциал длины дуги кривой, то

dx dl cos ;

dy dl cos ;

dz dl cos , и можно записать

P x, y, z dx Q x, y,	z dy R x, y,	z dz P cos Qcos R cos dl . (3.20)
AB		AB

Эта формула даёт связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

Приложения криволинейных интегралов второго рода

Если начало и конец кривой L совпадают, то получим интеграл по замкнутому контуру. Предположим, что кривая L – граница области D. Такая область называется односвязной. Обход L, при котором область D остаётся слева,

называется положительным	L , а	противоположное направление –
отрицательным L . Интегралы	Pdx Qdy и		Pdx Qdy означают интегралы
	L		L

по замкнутому контуру, взятые соответственно в положительном или отрицательном направлении обхода L (они отличаются знаками).

Предположим, что в плоскости Oxy имеется односвязная область,

ограниченная кривой Г, а в области D и на её границе Г функции P x, y и Q x, y

непрерывны вместе со своими частными производными.

Гm

A D

Рис. 3.2

Теорема 3.1. Пусть А и В – произвольные точки области D, AmB и AnB – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (см. рис. 3.2).

Тогда справедливы следующие условия:

1)	Q	P – условие Грина.
	x	y
2)	Криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования:
			P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy .
			AmB	AnB
3)	Интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю:					Pdx Qdy 0 .
						AnBmA
4)	Выражение		P x, y dx Q x, y dy		представляет	собой полный
дифференциал некоторой функции U U x,				y :	P x, y dx Q x, y dy dU .
В	случае выполнения любого из равносильных условий теоремы 3.1

криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки x0 , y0 и x1 , y1

из области D можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

x1	, y1
	P x,	y dx Q x, y dy U x, y		x1 , y1	U x1 , y1 U x0	, y0 .	(3.21)
				x1 , y1
				x0 , y0
x0	, y0			x0 , y0
x0	, y0
С другой стороны,		первообразная U U x, y			выражения P x,	y dx Q x, y dy
может быть найдена при помощи криволинейного интеграла:
		x1	, y1
		U x, y	P x, y dx Q x, y dy .
		x0	, y0

Если известен полный дифференциал функции двух переменных dU Pdx Qdy ,

где			, то её можно	найти, интегрируя dU по любой линии	между
где	Py	Qx	, то её можно	найти, интегрируя dU по любой линии	между
произвольной фиксированной точкой A x0 , y0 и переменной точкой M x,					y :
			U	P x, y dx Q x, y dy C .	(3.22)
				AM

Обычно в качестве линии интегрирования АМ берётся ломаная AN1M или AN2 M

со звеньями, параллельными осям координат (рис. 3.3).

N2 x0 , y

M x, y

A x0 , y0

x , y

Рис. 3.3

При этом криволинейный интеграл

выражается через обыкновенные

интегралы и формула (3.22) преобразуется к виду:

P x1 , y0

dx Q x, y dy C;

(3.23)

dU C

P x, y dx Q x0 , y dy C.

В этих же условиях на функции P x, y и Q x, y , а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу:

		Q	P
Pdx Qdy		Q	P	dxdy .	(3.24)
		x	y
	D	x	y

Здесь предполагается, что обход границы Г области D в криволинейном интеграле

Pdx Qdy совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе

границы область D остаётся слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.

Если формулу Грина применить к функциям P x, y y и Q x, y x , то

xdx ydy dxdy S D , т.е. при помощи криволинейного

интеграла, взятого по границе области D, можно вычислить площадь S D этой

области:

S D

xdx ydy .

(3.25)

(3.25) – геометрический смысл криволинейного интеграла второго рода.

3.3. Примеры решения задач

1. Вычислить

криволинейный

интеграл первого

рода

, если L –

x y

отрезок прямой, соединяющий точки M 0, 2 и N 4, 0 .

Решение. Составляем уравнение линии интегрирования:

x 0

y 2

2 , тогда dl 1 y x dx

dx .

4 0

0 2

Согласно (3.4) имеем:

5 ln

5 ln 4 ln 2

L x

x 2

2 2

5 ln

5 ln 2.

2. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ydl , если L – участок

параболы y2

4x от начала координат до точки A 1, 2 .

Решение. Применим формулу (3.6).

				y2	2
	2			y2
Тогда dl	2	dy	1			dy
Тогда dl	1 x y	dy	1			dy
				4

1	y2	dy	4 y2	dy .

4			4

1 t 2

Тогда

												2
												2
											3
	2	y			1	2	y2 4d y2 4 y	2	4 2					1	8	8 8		4		2 2 1 .
ydl		y	y2 4dy		1				4 2					1				4
ydl			y2 4dy						3
L	0	2		4		0			3				6				3
								4				0
								4		2						ye x dl ,
										2
	3. Вычислить			криволинейный интеграл				первого					рода								если L –
																L
участок кривой x ln 1 t 2 ,							y 2arctgt t 3 между точками t										0 и t		2		1.
																1			2

Решение. Перейдём в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем: ye x 2arctgt t 3 e ln 1 t 2 2arctgt t 3 .

Теперь выразим через t дифференциал dl :

4t 2

4t 2 1 t 2

1 dt

2 2

t 2

1 t

4t 2 1 2t 2 t 4

1 2t 2 t 4

1 t 2 2

dt dt.

1 t 2

Таким образом

2arctgt t 3

d t

ye x dl

dt 2 arctgtd arctgt

t 2 1

1 t 2

ln t 2 1

3arctg1 2

ln 2

arctg2t

3arctgt

arctg21

ln 1 1

4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода x2 y3 dl , если L –

контур треугольника АВО с вершинами A 1, 0 , B 0, 1 , O 0, 0

(рис. 3.4).

Решение. Так как x2

y3 dl x2

y3 dl , то

остаётся вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и

ОА.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]