Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

D в виде системы

неравенств

0 x 1,

x y x2 2. Построим линии

x 0, x 1, y x и y x2 2 (см. рис. 1.6).

y

y 2

y x

2

2 (x 2 y )

D2

y 1

M 1, 1

D1

y=x

O

x=1

x

Рис. 1.6

Область D является простой относительно оси Ox . Рассмотрим область D

относительно оси Oy . Через точку M (1, 1) ,

в которой стыкуются участки верхней

границы области D ,

проведем прямую,

параллельную оси Ox . Эта прямая делит

область D на две области D1 и D2 , которые запишем в виде систем неравенств

0 y 1;

0 x y и

1 y 2; 0 x

2 y.

Тогда

согласно формуле (1.6)

получим:

1

x2 2

1

y

2

2 y

dx

f (x, y)dy dy f (x, y)dx dy

f (x, y)dx .

0

x

0

0

1

0

4. Вычислить

(x 2 y)dxdy ,

где

область

интегрирования ограничена

D

параболами y x x2 ,

y 1 x2 и осью Oy . (см. рис. 1.7).

Решение. Параболы пересекаются в точке

A(1;0). Область интегрирования

является

правильной

в

направлении оси

Oy

и

определяется неравенствами:

0 x 1;

x x2 y 1 x2 . Следовательно:

1

1 x2

(x2 2 y)dxdy dx (x 2 y)dy .

D

0

x x2

y

y 1 x2

D

x, y

y x x2

O

A(1,0)

x

Рис. 1.7

В результате:

1

1 x2

1

x 1 x2 1 x2 x x x2 x x2 2 dx

x 2 y dxdy xy y2

| dx

D

0

x x2

0

1

1

2x3 4x2 x 1 dx

x 1 x2

1 x2 2 x(x x2 ) (x x2 )2 dx

0

0

2x4

4x3

x2

1

2

x |

.

4

3

2

0

3

5. Вычислить

x 2 y dxdy

по

области

D ,

ограниченной

линиями

D

y x,

y 4x и y

4

.

x

Решение. Находим точки пересечения этих линий (см. рис. 1.8):

y x

4

2

4

x 4 x

; x

2; x

2; y 2; y

2; M 2; 2 ; M

2; 2 ;

y

x

1

2

1

2

1

x

y 4x

4

4

2

x

2

1 ; x

4

4x

4x

1; x

1; y

4; y

4;

y

x

1

2

1

2

x

y

y 4x

области D1 и

D2 ,

которые

N 2;2

y x

соответственно

определяются

0 x 1;

M 2;2

системами неравенств

D2

y 4 x

4

D1

x y 4x и 1 x 2 ; x y

.

x

O

Вычислим

двойной

интеграл по области D1

:

x 1

x 2

x

1

4 x

1

4 x

I1 x 2 y dxdy dx x 2 y dy xy y2 | dx

D1

0

x

0

x

1

1

x

3

1

4x2 16x2 x2 x2 dx 18 x2 dx 18

|

6 .

0

0

3

0

2

4 x

2

2

4 x

2

16

2

2

I2 x 2 y dxdy dx

x 2 y dy xy y

| dx 4

x

x

dx

x2

D

1

x

1

x

1

2

2

2

16

2

3 2

22

4 16 x

2x dx 4x

x |

.

x

3

3

1

1

I I

I

6

22

40

.

1

2

3

3

D

y2 9x , xy 1,

xy 5 (рис. 1.9).

Решение.

xy 5

Расставить

пределы

y

интегрирования

в

исходном

y2 9x

y2 4x

интеграле

не

просто,

но

подходящая

замена переменных

D

позволяет свести этот интеграл к

xy 1

интегралу

по

прямоугольнику.

Введем новые переменные u и v

x

при помощи

равенств

y2

ux ,

Рис. 1.9

xy v . Выразим переменные x и y .

Выразим переменные x и y через u и v :

1

4

2

2

1

1

u

v

u

v

J u,v

3

3

3

3

1

3

3

.

2

1

1

2

1

u

v

1

u

v

3u

3

3

3

3

3

3

Откуда, с учетом того, что x 0 на области D , а значит, u

y 2

0 , имеем

x

J u,v

1

. Таким образом, исходный интеграл в плоскости Ou имеет вид:

3u

v2

1

1

v

3

3 uv

dudv

dudv ,

u

3u

3

G

G

u

граница области G описывается линиями

u 4

(т.к. одна

из формул

преобразования имеет вид

y2 ux ,

то

линии

y2 4x в

плоскости

Oxy соответствует линия u 4 в плоскости

Ouv ),

u 9 , v 1, v 5 (рис. 1.9а).

Поэтому область G имеет вид 4 u 9 ;

v

1 5 , а

преобразованный

интеграл

4

вычисляется намного проще:

1

v

1

9

du

5

1

9

v

2

5

3

I

dudv

vdv

ln u |

| 2ln

.

G

3

2

3

G u

4 u

1

3

4

2

1

1

u

9

4

Рис. 1.9а

7. Вычислить r sin drd ,

если область D – круговой сектор,

D

ограниченный линиями r a ,

и .

2

Решение. Построим сектор OAB с центром в полюсе O (рис. 1.10). Имеем

повторный интеграл:

a

r sin drd r sin dr .

D

0

2

A

Вычислим

внутренний

интеграл,

считая sin постоянным:

a

r

2

a

a

2

r sin dr

sin |

sin .

0

2

0

2

B

a

O

r

Рис. 1.10

Вычислим внешний интеграл:

8. Вычислить

двойной

интеграл, предварительно

преобразовав его к

полярным координатам

dxdy

;

D – круговое кольцо между окружностями

x2 y2

D

x2 y2 1 и x2 y2

9 (рис. 1.11).

Решение. Построим область D . Применив формулы перехода к полярным

координатам, получим x r cos ;

y r sin ; тогда

dxdy

rdrd

drd

.

x2 y2

r 2 cos2 r 2 sin 2

D

D

D

r

y

Область D в полярной системе

координат запишем в виде системы неравенств

3

0 2 ; 1 r 3. Поэтому:

x

dxdy

2

3

dr

1

d

.

D x2 y2

0

1 r

Вычислим внутренний интеграл:

Рис. 1.11

3

dr

3

ln r | ln 3 ln1 ln 3 .

1

r

1

Вычислим внешний интеграл:

2

2

ln 3 d ln 3 | 2 ln 3 .

0

0

2

4 x2

3

6 y

1.

dx

f (x, y)dy ;

2.

dy f (x, y)dx ;

1

0

0

y

2

6 x

4

y

3.

dx

f (x, y)dy ;

4.

dy f (x, y)dx ;

0

x2

1

1 / y

2

2 x

1

1 x2

5.

dx

f (x, y)dy ;

6. dx f (x, y)dy .

0

x

1

1 x2

Вычислить повторные интегралы:

1

2

2

4 y

7.

dx (x2 y2 )dy ;

8. dy xydx ;

0

1

1

2 y

3

2 x

3

3

9.

dx

y

dy ;

10. dy (x 2 y)dx .

2

x

x

3

y2 4

11.

xydxdy , где D :

0 x 1; 0 y 2 ;

D

D

dxdy

0 x 1; 0 y 1;

12.

, где D :

(x y 1)2

D

dxdy

1 x 3; 2 y 5.

13.

, где

D :

(x 2 y)2

15.

x2 ydxdy, где D : x2 y2

16,

x y 4 0(выше прямой x y 4 0 );

D

16.

ydxdy , где D :

y x2 ,

x 2, x 2, y 4 ;

D

17.

x3dxdy , где D :

x 0,

y x,

y 6 x2 ;

D

18.

xdxdy

, где D :

0 x 2; x y x

3 ;

D

x2 y2

19.

x2

dxdy,

где D :

x 2,

y x,

y

1

;

x

D

y2

20.

xydxdy,

где D

– треугольник

АВС с вершинами A 0, 0 ,

B 1, 0 ,

D

21.

(x3 y3 )dxdy, где D :

x 2y 0, x y 0,

x 4 ;

D

22.

y2 sin 2 xdxdy, где D :

x

,

y 0, x ;

y 3cos x ;

D

2

2

23.

ydxdy , где D :

y 0,

y

x,

y x 2 .

D

Вычислить двойной интеграл по областям, ограниченным указанными

линиями, предварительно разбив заданную область на две области:

24.

xdxdy , где D :

y x2 , y 2x,

y 3x ;

D

25.

(x y)dxdy, где D :

y

1

;

y x, y 4, x 0 ;

D

x

26.

ydxdy , где D :

y

3

x,

y

4

x, x 0; y 0;

x2 y2 25 .

3

D

4

27.

( y x)dxdy, где D – область, ограниченная линиями

D

y

1

x 5; y x 3; y

1

x

7

; y x 1.;

3

3

3

28.

dxdy, где D

– параллелограмм со сторонами на

прямых

D

y x; y x 3; y 2x 1; y 2x 5 ;

29.

(x y)dxdy, где D – область ограничена прямыми x y 4; x y 12 и

D

параболой y2 2x .

Вычислить двойной интеграл:

30.

r 2 d dr , где D – область, ограниченная окружностями r 1 и

r 3 ;

D

31.

r3d dr, где

область

D

–

задана

системой

неравенств

D

; 2 r 4 ;

4

3

32.

sin 2 d dr, где

область

D

–

задана системой

неравенств

D

;1 r 3 .

6

2

Вычислить двойные интегралы, предварительно преобразовав их к

полярным координатам:

33.

dxdy

, где

D – область, ограниченная окружностью x2 y2 1;

D

x2 y2 1

34.

25 x2

y2 dxdy, где

D

–

область,

ограниченная

окружностью

D

x2

y2 16;

35.

(x2 y2 )dxdy, где D

–

область,

ограниченная

окружностью

D

x2

y2 14x ;

36.

arctg

y

dxdy, где D – четверть круга x2 y2

1; x 0; y 0

;

D

x

37.

1 x2 y2 dxdy, где

D

–

область

ограничена

лемнискатой

D

x2 y2 2 x2 y2 ; x 0 ;