Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. В 7 ч. Ч. 4. Функции нескольких переменных, неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

;

(x2

1)(x2

11.

x2dx

;

13.

2x3

dx ;

2x3

2x2

15.

1)3 dx

;

17.

x2 dx

;

2)2 (x

4)2

19.

;

(x2

3)(x2

21.

5x3

dx ;

5x2

23.

;

6x3

7x2

25.

3x4

;

x2 (x2

1)3

27.

dx ;

4)3 (x

29.

3x3

;

x2 (x2

13)

10.		x5dx						;
10.	(x	1)2 (x2			1)			;
12.		x4	1				dx ;
12.	x3	x2		x	1		dx ;
14.		x	4			dx ;
14.	(x	2)(x2			1)	dx ;
16.	5x3	9x2			22x 8
16.		x3						dx ;
		x3		4x
18.		dx		;

	x3 (x		1)2

20.x44dx1;


	x3	x	1
22.				dx ;
22.	x(x2		1)	dx ;
24.		xdx				;

	x4	3x2 2
26.			dx							;

	x3	4x2			5x 2
28.	x3		2x		2				dx ;
28.	(x	1)2 (x2					1)		dx ;
	(x	1)2 (x2					1)
30.		x3	3					dx .
30.	(x	1)(x2			1)2			dx .

											Ответы
		(x			1)	2						ln				(x	1)3
1.	3ln	(x			1)	2		C ;			2.					(x	1)3	C ;
1.	3ln		x 2			x 2		C ;			2.			(x		2)2 (x 2)		C ;
			x 2			x 2								(x		2)2 (x 2)
3.	1 ln			x	1		1	arctg	x	C ;	4.		1		ln	(x	2)2	1	arctg	x	1	C ;
				x	1				x


				x2									24			x2	2x 4 4 3
	3			x2	2	3 2			2				24			x2	2x 4 4 3				3

5. 3ln										x2 2x 5																		2arctg						x 1						C ;						6.		x 2										2		arctg		x	C ;
																x																			2												4(x2				2)						8					2


7.			1		ln					x2				1							1		arctgx									1			arctg				x					C ;
7.	16				ln					x2				9							8		arctgx							24					arctg			3						C ;
	16									x2				9							8									24								3
8.							1											2ln					x				1		3ln					x			2			C ;						9.	1 ln		x			1				1 arctgx						C ;


									1)2
		2(x																																													4		x			1			2
		2(x																																													4		x			1			2
10.				(x 2)2																			1											9					31					ln	x	1		1	ln	x 1									C ;
				(x 2)2																			1											9					31									1
							2												4(x						1)2						4(x					1)			8									8
							2												4(x						1)2						4(x					1)			8									8	1)2												1
11.				1 ln						1				x							1 arctgx									C ;																12. (x									ln					x		arctgx C ;
														x																																														x


			4							1				x							2																												2											x2	1
			4							1				x							2																												2											x2	1
13.				x2							2x							2					2ln(x2									2x					2)					2arctg(x						1)	C ;
13.			2								2x							x					2ln(x2									2x					2)					2arctg(x						1)	C ;
			2															x
14.			1		(9arctgx																ln				x2				1					C ;
14.			2		(9arctgx																ln			(x 2)2										C ;
			2																					(x 2)2
15.				x					1				arctg2x														1		1 ln						x		1 8						x2			x		1	C ;
15.				x							3		arctg2x												3				1 ln						x		1 8						x2			x		1	C ;
											3														3				3
16.			5x							2ln							x					3ln				x			2			4ln				x			2					C ;
16.			5x							2ln							x					3ln				x			2			4ln				x			2					C ;
									1														4										(x				4)
17.									1														4						2ln				(x				4)					C ;
17.						(x						2)								(x					4)				2ln				(x				2)					C ;
						(x						2)								(x					4)								(x				2)
18.							1							2									1							3ln					x						C ;
							1							2									1												x
						2x2											x					(x					1)							x			1
						2x2											x					(x					1)							x			1
19.				1				ln			x			3								1			ln			x		1					1		ln(x2							4x		5)			7			arctg(x 2)										C ;
				1																		1													1														7
			52																		20														65													130
			52																		20														65													130					1							161


20.				x					1		ln				x			1							1		arctgx								C ;											21. 5x			ln				x 2		(x					4) 6		C ;
									1						x			1							1																												x 2		(x					4) 6
									4						x			1							2																																			7
									4						x			1							2																																			7
																																																						(x					1)3

1161

22. 5x ln	x 2	(x	4)	6	C ;	23.		3	ln	3x 1	2	ln	2x 3	1	ln	x	C ;
	x 2	(x	4)	6				3			2			1
	(x		7				11				33			3
			7				11				33			3
			1)3

24.	ln			x2		2				C ;								25.	57	arctgx	57x4		103x2		32	C ;
24.	ln			x2		1				C ;								25.	8	arctgx		8x(x2 1)2				C ;
				x2		1													8			8x(x2 1)2
		1					x			2										13		3		x	4
26.		1				ln	x			2		C ;						27.		13		3	2ln	x	4	C ;
26.		x 1				ln						C ;						27.	2(x 4)2			x 4	2ln	x 2		C ;
		x 1							x 1										2(x 4)2			x 4		x 2
28.				1						1 ln(x2			1)		3 arctgx		C ;
28.			2(x			1)				1 ln(x2			1)		3 arctgx		C ;
			2(x			1)				2					2
29.	1				3 ln			x2			4x		13		4 arctgx	x	2	C ;
	1															x	2

			x	2											3		3
			x	2											3		3
30.			x	2						1 ln		x	1	1 ln(x2 1)			2arctgx		C .
			x	2
		2(x2
						1)				2				4
						1)				2				4

2.9. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок и формул тригонометрии

Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок. Условимся через R(u, v) обозначать рациональную функцию относительно u, v, т.е. выражение, которое получено из любых величин u, v с помощью четырёх арифметических действий.

Рассмотрим интегралы вида R(sin x, cosx)dx , где R – рациональная функция аргументов sin x и cosx . Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций, т.е. рационализируются с помощью универсальной

тригонометрической подстановки t

. В результате этой подстановки имеем:

2tg

tg2

t 2

2dt

sin x

;

cosx

t 2

; x 2arctgt ;

;

2 x

1 t 2

2 x

1 t 2

1 tg

R(sin x; cosx)dx

;

t 2

2dt

t 2

Универсальная подстановка t tg 2x во многих случаях приводит к сложным

вычислением, так как при её применении sin x и cosx выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих t 2 .

В некоторых случаях нахождение интегралов вида

R(sin x; cosx)dx можно

осуществить с помощью других подстановок. Укажем эти случаи:

1. Если

R(sin x, cosx)

- чётная функция

относительно sin x ,

cosx , т.е.

sin x,

cosx) R(sin x, cosx), то интегралы рационализируются подстановкой

tgx . При этом используются формулы: sin2 x

tg2 x

;

cos2 x

1 tg2 x

tg2 x

Если

R(sin x, cosx)

нечётная

функция

относительно

sin x ;

т.е.

sin x, cosx)

R(sin x, cosx) ,

то

интегралы

R(sin x; cosx)dx

рационализируются с помощью подстановки t

cosx .

Если

R(sin x, cosx)

нечётная

функция

относительно

cosx ,

т.е.

R(sin x,

cosx)

R(sin x, cosx) ,

то

интегралы

R(sin x; cosx)dx

рационализируются с помощью подстановки t

sin x .

4.Интегралы R(tgx)dx приводятся к рациональному виду с помощью подстановки t tgx .

5.Интегралы R(ctgx)dx приводятся к рациональному виду с помощью подстановки t ctgx .

					Примеры
1.		Найти		интеграл	с помощью тригонометрической подстановки:
		dx		.

	4sin2 x	7cos2	x
	Решение. Так как выполняется условие R( sin x, cosx) R(sin x, cosx), то
применяем подстановку t					tgx

tgx

arctgt,

t 2

4sin2 x

7cos2 x

sin

t 2

cos

2 4t 2

t 2

d (2t)

C ,

где t

tgx .

4t 2

7 2 (2t)2

7 2

4 7

2. Вычислить интеграл

cos5 xdx .

sin6 x

Решение. Так как выполняется условие R(sin x,

cosx)

R(sin x, cosx) , то

применив подстановку t

sin x , имеем

sin x,

cosxdx

cos xdx

sin6 x

cos2 x

1 t 2

t 2

t 6

2t 4

t 2

C ,

где t

sin x .

5t 5

3t 3

Интегрирование

тригонометрических

выражений

помощью

тригонометрических формул. Рассмотрим следующие случаи:

1. Интегралы вида sin mx cosnxdx ,					cosmx cosnxdx ,	sin mxsin nxdx
находят с помощью формул тригонометрии:
sin mx cosnx	1	sin(m	n)x	sin(m	n)x ,
	2
cosmx cosnx	1	cos(m n)x		cos(m	n)x ,
	2
sin mxsin nx	1	cos(m	n)x	cos(m	n)x .
	2
2. Интегралы вида			sinm x cosn ndx, m, n N , находят при нечётном n с
помощью подстановки t			sin x ,	при нечётном m - с		помощью подстановки

t cosx . Если же m и n – чётные положительные числа, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул тригонометрии:

sin x cosx

1 sin 2x ,

sin 2 x

cos2x) ,

cos x

cos2x) .

Интегралы вида

tgm xdx ,

ctgm xdx , где

N ,

находят с помощью

формул: tg2 x

ctg2 x

1, последовательно понижая степень

cos2 x

sin2 x

тангенса или котангенса.

Интегралы вида

tgm x

dx ,

ctgm x

dx ,

где n – целое чётное

sinn x

cosn x

положительное число и интегралы вида

, где m,

n – целые

sin 2n x

cos2m x

положительные

числа,

находят

с помощью

формул:

tg2 x

cos2 x

ctg2 x

sin2 x

Примеры

1. Вычислить

tg6 x

dx .

cos4 x

Решение. Применяя формулу

1 tg2 x , получаем

cos2 x

tg6 x

tg6 x(1

tg2 x)

tg6 x(1 tg2 x)d (tgx)

cos4 x

cos2 x

tg6 xd (tgx)

tg8 xd (tgx)

tg7 x

tg9 x

2. Вычислить

sin6

Решение. Используя формулу						1	1	ctg2 x , имеем
Решение. Используя формулу						sin2 x	1	ctg2 x , имеем
						sin2 x
dx		1	2	dx	(1 ctg2 x)2 d (ctgx)			(1 2ctg2 x ctg4 x)d (ctgx)
dx		1		dx
sin6 x		sin2 x		sin2 x
sin6 x		sin2 x		sin2 x
	2		1
ctgx	3 ctg3x		5 ctg5 x C.

2.10. Задачи для самостоятельного решения

;

2sin x

sin 2x

;

cosx

;

cos4

;

4sin x

;

tg8 x

11.

sin8 xdx ;

13.

cos2x cos3xdx ;

15.

;

(tg

5tgx)cos

17.

;

4sin x

7cosx

19.

;

3sin x

4cosx

21.

;

sin x

3cosx

1 tgxdx ;

sin 2x

;

(sin x

cosx)2

;

2sin x

cosx

;

sin3 x cos3 x

10.

cosxdx

;

sin3 x

cos3 x

12.

cosxdx

;

(1 cosx)2

14.

sin x

;

sin x

16.

sin x

cosxdx ;

3 sin 2x

18.

;

sin2 x

4sin x cosx 5cos2 x

20.

sin xdx ;

tgx

22.

sin3 xdx ;

cosx

23.											dx													;								24.					cos5 xsin2 xdx ;

				3cos2 x											4sin 2 x
25.						cos3 x											dx		;														26. cosx cos2xdx ;
25.				4sin2 x								1					dx		;														26. cosx cos2xdx ;
27.			(tg2 x								tg4 x)dx ;																					28.					sin4 xdx ;
29.									tgxdx											;												30.										dx				.
29.			1				tgx							tg2 x						;												30.							cos7 xsin x							.
																												Ответы
1.	1		ln			tg			x			1				tg		2			x			C ;					2.	1		(tgx						ln			tgx			C) ;


	4								2			8							2											2
	4								2			8							2											2
		1									tg			x																		1

3.					arctg									2					C ;										4.												C ;
3.			2		arctg							2							C ;										4.				1		tgx						C ;
5.	tg3x									tgx						C ;													6. arctg tg										x	1				C ;
5.			3							tgx						C ;													6. arctg tg										2	1				C ;
			3																																				2
	2									5tg			x					4												1

												2																								2							2
												2																								2							2
7.	3 arctg																					C ;							8.			((tg					x				ctg			x)	2ln		tg x	C) ;
7.												3										C ;							8.	2		((tg					x				ctg			x)	2ln		tg x	C) ;
												3																		2
			1													1									1
9.	x				7 ctg7 x												5 ctg5 x								3ctg3 x			ctgx				3;
10.		ln								3 tgx						1									3	arctg2tgx 1							C ;
										3 tgx						1

					6 tg2 x																		3
					6 tg2 x										tgx				1				3						3
11.			35				x				1 sin 2x												7		sin 4x		1		sin3	2x							1			sin8x					C ;
11.		128					x				1 sin 2x												128		sin 4x		24		sin3	2x					1024					sin8x					C ;
		128									4												128				24								1024
12.			1 ctg					x				1 ctg							3x					C	;				13.			1		sin 5x							1 sin x					C ;
12.			1 ctg									1 ctg							2					C	;				13.		10			sin 5x							1 sin x					C ;
			2						2			6							2												10									2
14.			1 ctg					x				1 ctg							3x					C	;				15.			1 ln				tgx				5				C ;
								x											3x																	tgx				5
																			2																		tgx
			2						2			6							2												5						tgx

16.	1 ln	sin x	cosx	2	C ;

	4	sin x	cosx	2

18.	arctg tgx							2					C ;
	1													1					x
20.	1		(sin x				cosx)							1		ln	tg		x
20.	2		(sin x				cosx)					2			2	ln	tg	2
	2											2			2			2
			2					2tg			x	1

21.					arctg					2					C ;
21.			15		arctg					15					C ;
23.			1			arctg		2tgx					C ;
23.	2		3			arctg		3					C ;
	2		3					3
25.			1 sin x						3	ln			2sin x			1		C ;
									3				2sin x			1
								16					2sin x			1
			4					16					2sin x			1
27.	1		tg	3		x	C ;
27.	3		tg			x	C ;
	3
29.		x				2	arctg1						2tgx			C ;
29.		x				3	arctg1					3				C ;
						3						3

		tg		x			5
		tg					5
17.	ln	2						C ;
17.	ln	tg		x			3	C ;
				x

		2
	1		tg			x	1
						x	1
					2		2
19.	5 ln							C ;
19.	5 ln		tg			x	1	C ;
					2		2

C ;

22.	cos2 x			3cosx	8ln		cosx		3	C ;
22.	cos2 x			3cosx	8ln		cosx		3	C ;
		2
		2
24.	1sin3		x	2 sin5	x	1 sin7		x	C ;
	3			5		7
26.	1 sin 3x			1 sin x		C ;
	6			2
28.	3 x		1 sin 2x		1	sin 4x		C ;
28.	3 x		1 sin 2x		32	sin 4x		C ;
	8		4		32
30.	2	tg5 x		2 tgx		C .
	5

2.11. Интегрирование иррациональных функций

				m1
Рассмотрим интегралы вида	R x,	ax	b	n1 ,...,	ax	b
Рассмотрим интегралы вида	R x,	cx	d	n1 ,...,	cx	d
		cx	d		cx	d

nr dx , где R –

рациональная функция:				m1 , n1 ,...,mr , nr - целые ненулевые числа. С помощью
подстановки	ax	b	t	, где	k(n1 ,...,nr ) , k(n1 ,...,nr ) - наименьшее общее

	cx	d

кратное чисел		n1 ,...,nr , указанный интеграл преобразуется в интеграл от
рациональной функции.

Рассмотрим два частных случая.


1.	Если			c	0,
R x, ax	b	m1	,..., ax		b
		n1

d	1,	то	данный	интеграл	имеет	вид
dx	и	преобразуется в		интеграл от	рациональной

функции с помощью подстановки ax

, где

k(n1 ,...,nr ) .

c 0, a d

1, то интеграл имеет вид

Если b

x, x

,...,x

приводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки x

t ,

где

k(n1 ,...,nr ) .

Примеры

Найти интегралы:

Решение. Так как имеет вид

dx ,

k(2, 3)

6 , т.е.

то

x 2 ,...,x 3

применим подстановку x

t 6 . Тогда

6t dt

6 t dt

6 (t

4) 4 dt

3 x 4 x

dx 6t 5dt

(t 2

4)t 3

t 2

6 t

2arctg

12arctg

C ,

где

x .

t 2

dx .

3 1

Решение. Интеграл имеет вид

x, (1

x)2 , (1

x)3

dx , поэтому применим

подстановку 1

t 6 , так как k(2, 3)

6 ,

6. Тогда имеем:

t 6

6t 5dt

1 x

6t 5dt 6 t 3 (t12

2t 6

t 3

1)dt

dx 6t 5dt

t 2

6 (t15

2t 9

t 6

t 3 )dt 6

t16

t10

t 4

t 7

6 t10

3 t 4

6 t 7

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]