Высшая математика. В 7 ч. Ч. 4. Функции нескольких переменных, неопределенный интеграл

2. 18x 3y 24z 5

3 3 0;

x

3 y

3 z

3 8

.

3 4

1 8

1

3.

2ey z e 0;

x

/ 2

y 1

z e

.

4.

6 3.

0

2e

1

5.

С осью Ox :

3; с осью Oy :

3;

с осью Oz :

4 .

6.

4x

3y

z

7

0.

7. arccos

14 7 .

8. 8x 12y 5z 9 0

;

x 2

y 1

z 1

.

8

12

5

9.

x y 2z 4 0 ;

x 1

y 1

z 1

.

1

1

2

2

y 1

10. а) 5x

y

8z

2

0;

x y

z

; б)

4x

y 3z

1 0;

x

z

.

5

1

8

4

1

3

2

7

6

11.

x

y

z

.

12. arccos7 87 87 .

5

4

3

значение в любой другой точке M (x, y) некоторой окрестности точки

M 0 , т.е.

f (x0 , y0 ) f (x, y)[соответственно

f (x0 , y0 )

f (x, y) ] для всех точек

M (x, y) ,

удовлетворяющих условию

М 0 М

, где

- достаточно малое положительное

т.е.

f (x0 , yo )

0,

f (x0

, yo )

0.

x

y

Эти уравнения

эквивалентны одному: df (x0 , y0 ) 0 . Точки, в которых

некоторой окрестности точки M

0

функции и пусть

A f

xx

'' (x , y

0

), B

0

ffxx'''((xx00,,yy00),B ffxy'''((xx00,,yy00),C ffyy'''((xx00,,yy00),

AC B22.

A B

B C

Тогда

используются неравенства f (x0 , y0 ) f (x, y) или f (x0 , y0 ) f (x, y) .

Эти условия эквивалентны следующим.

1)

если d 2

f (x , y

0

)

0, то

f (x , y

0

) – максимум функции

z

f (x, y) ;

0

0

2)

если d 2

f (x , y

0

)

0, то

f (x , y

0

) – минимум функции

z

f (x, y) .

0

0

Решение. Находим частные производные первого порядка:

zx'

3

2x

y; z'y

3 2x y; z'y

6 x 2y.Решая систему

3

2x

y 0

, находим

x

0

и

y

3.

6

x

2y

2 z

2;

2 z

1;

2 z

2. Имеем:

A

2;

B

1; C

2;

4

1

3

0. Так

x2

x y

y2

как

0 и A

0, то в точке P0 (0;3) функция имеет максимум:

zmax

18

9

9 .

2. Исследовать на экстремум функцию z

2x3

xy2 5x2

y2

1.

Решение. Находим стационарные точки.

zx'

6x2

y2

10x; z'y

2xy

2y.

6x2

y2 10x 0

или

6x2

y2 10x 0

.

2xy 2y 0

2y(x 1) 0

Решение

последней

системы

дает 4

стационарные

точки:

M1(0;0); M 2 (

M1(0;0); M 2 ( 5/3;0); M3( 1;2); M 4 ( 1;

2).

Находим

частные

производные второго

порядка: zxx''

12x

10;

zxy''

2y;

z'yy'

2x

2.

Исследуем каждую

стационарную

точку.

1) В точке M1 (0;0): A 10;

B

0; C

2;

20. Так как

0 и A

0, то в

этой точке функция имеет минимум: zmin

z(0;0)

1.

2) В точке M 2

5; 0

: A

10;

B

0; C

4/3;

40/3.Так как

0 и

3

A

0, то в этой точке функция имеет максимум:

zmax

z

5

; 0

5 17 27.

3

3) В точке M3( 1;2): A

2;

B

4; C

0;

16. T.к.

0,

то в этой

точке экстремума нет.

4) В точке M 4 ( 1; 2): A

2;

B

4; C

0;

16. T.к.

0, то в этой

точке экстремума нет.

3. Исследовать на экстремум функцию z x4

y4 .

Решение.

Вычислим

частные производные

первого

порядка функции

z : zx'

4x3 , z'y

4y3

. Решая систему уравнений

4x3

0

,

находим стационарную

4y3

0

точку

M 0 (0; 0)

данной

функции. T.к. A

zx'' (M 0 )

0, B

zxy'' (M 0 ) 0, C

xy'' (M 0 ) 0, C z'yy'

(M 0 ) 0,

то

AC

B2 0. Следовательно,

нельзя ответить на вопрос о

существовании экстремума в точке M 0 (0;0). В данном случае стационарная точка

M 0 (0; 0) является точкой локального минимума, поскольку

z

0 для любой

точки M (x, y) из окрестности точки M 0 (0;0) zmin

z(0;0)

0.

обычный безусловный экстремум

так

называемой функции Лагранжа

F(x, y) f (x, y)

(x, y), где - неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

F

f

0

x

x

x

F

f

0 .

y

y

y

F

x, y

0

d 2 F Fxx'' dx2

2Fxy'' dxdy

Fyy''

dy2 для испытуемой системы значений x, y, , при

условии, что dx и dy связаны уравнением

dx

dy

0

(dx2

dy

0).

x

y

Функция

f (x, y) имеет условный минимум,

если d 2 F

0, и условный максимум,

если d 2 F

0.

Примеры

1. Исследовать на экстремум функцию z

x2

6y

2y

1 при условии, что

переменные x и y связаны уравнением x2

y

4

0.

Решение. Уравнение

связи

представляет

параболу

y 4

x2 .

Заменив

в

заданной

функции

z

переменную

y

через

4

x2 ,

получим:

z(x) x2 6x 2(4 x2 ) 1

или

z(x)

3x2

6x

7.

Полученную функцию

z(x)

исследуем

на

экстремум.

dz

6x

6; 6x

6

0;

x

1-

стационарная

точка

dx

0

функции

z(x).

Находим

вторую

производную:

d 2 z

6.Так

как вторая

dx2

производная положительна,

то в найденной стационарной точке функция

z(x)

имеет минимум.

Подставив

x0

1 в уравнение связи,

получим

y0

4

1

3.

Следовательно, точка M 0 (

1; 3)

– точка условного экстремума. В этой точке

функция

z(x, y)

имеет

минимум

zmin

z(

1; 3)

1

6

6

1

10.

Определим

1)

Составим вспомогательную функцию Лагранжа. Так как по условию

f (x, y) x2

6x 2y 1и (x, y) x2

y 4, то

F(x, y, ) x2

6x 2y 1 (x2

y 4).

2)

Находим частные производные

Fx' ,Fy' ,F ' . Fx'

2x 6 2 x; Fy'

2

; F ' x2 y 4.

3)

Приравняв каждую частную производную нулю, получаем систему:

2x

6

2 x

0,

2

0,

x2

y

4

0.

Из второго уравнения

2,

тогда из первого следует x

1, а из третьего

y

3. Таким образом, M 0 (

1;3) – точка условного экстремума.

2. Найти экстремум функции z

9

8x

6y при условии, что аргументы его

удовлетворяют уравнению x2

y2

25.

Решение. Геометрически задача сводится к нахождению экстремальных значе-

ний аппликаты z плоскости z

9

8x

6y для точек ее пересечения с цилиндром

x2

y2 25. Составляем функцию Лагранжа:

F(x, y,

) 9

8x 6y

(x2 y2 25);

находим ее частные производные: Fx'

8

2

x,

Fy'

6

2 y.

Составляем систему уравнений:

8

2

x

0,

x

4

0,

6

2

y

0,

или

y

3

0, .

x2

y2

25.

x2

y2

25.

1 1, x1

4, y1

3, то функция F(x, y,

) в этой точке имеет условный минимум.

Если 2

1, x2

4, y2

3, то

d 2 F

0, поэтому в данном

случае

функция

F(x, y, )

имеет условный максимум.

Следовательно,

zmax

f ( 4;

3) 9

8( 4)

6( 3)

59, zmin f (4,3) 9 8

4 6 3

41.

Пусть требуется найти наибольшее

и наименьшее значения функции

z f (x, y) в некоторой замкнутой области

D. Эти значения функция достигает

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z

x2

2y2

2x

8y

5

в

замкнутом треугольнике

AOB , ограниченном осями

координат

и

прямой

x

y 4 0.

Решение. Найдем стационарные точки. zx'

2x

2; z'y

4y

8.

Решая систему:

2x

2

0, находим стационарную

точку M 0 (1;2).

Эта

4y

8

0

точка лежит внутри области.

Вычислим значение функции в этой точке:

z(M0 )

z(1;2)

1

8

16

5

4.

z

x2

2x 5 есть функция одной независимой

переменной

x.

Находим

наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке

0; 4 : zx'

2x

2; 2x

zx' 2x 2; 2x

2

0; x 1. M1(1; 0) – стационарная точка. z(M1)

z(1;0)

4.

Вычислим значения функции на концах отрезка OA , то есть в точках O и A :

z(O)

z(0;0) 5; z(A)

z(4;0)

13.

На отрезке OB x

0и 0

y

4. При x

0 имеем z

2y2

8y

5. Находим

наименьшее и наибольшее значение этой функции

z от переменной

y

на от-

резке

0;4 .

z'y

4y

8, 4y

8

0, y

2, M 2 (0;2) – стационарная точка. z(M 2 )

z(0; 2)

3.

Вычислим значения функции z на концах отрезка OB,

то есть в точках O и B :

z(O)

z(0; 0)

5, z(B)

z(0; 4)

5.

Исследуем

теперь

отрезок

AB. Уравнение

прямой

AB : y

4 x. Подставив это выражение для

y в заданную функцию z,

получим

z

x2

2(4 x)2 2x 8(4 x) 5

или

z

3x2 10x 5. Определим

наибольшее

и

наименьшее

значения этой

функции

на

отрезке

0;4 .

zx'

6x

10, 6x

10

0, x

5/3, M3(5/3; 7/3)

–

стационарная

точка.

z(M3)

z(5/3; 7/3)

10/3.

Значения функции в точках A и

B найдены ранее.

Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение

заданная функция z

в заданной замкнутой области достигает в точке

A(0;4),

а

наименьшее

значение

–

в

стационарной

точке

M 0 (1;2).

Таким

образом,

zнаиб

z(4; 0)

13 и zнаим

z(1; 2)

4.

1. z x3 y3 6xy ;

2. z 4x 4y x2 y2 ;

3.

z x2

xy y2

9x 6y 20;

4.

z 3x 6y x2

xy y2 ;

5.

z x3

8y3

6xy 1;

6.

z x3

y3

3xy ;

7.

z x3

3xy2

15x 12y ;

8.

z (x 1)2

4y2 ;

9.

z

e x2

y2 (3x2

y2 ) ;

10.

z

(1

2x

2y)/

1 x2 y2 ;

Найти условный экстремум функции:

11.

z

8

2x

4y при x2

2y2 12;

12.

z

x2

y2

при x

2y

6

0;

13.

z

x2

y2

xy 5x 4y

10 при x

y

4;

14.

z

x2

y2

при x / 4

y /3

1;

15.

z

xy при 2x

3y

5

0 ;

16.

u

x2

y2

z2

при x2

y

z2 0 и 2x

y

z

0 .

Найти наименьшее и наибольшее значения функции.

19.

z

x2

y2

xy x

y в замкнутом треугольнике, ограниченном осями

координат и прямой x

y 3 0 .

20.

z

x2

4xy

y2

6xy

2y в замкнутом треугольнике, ограниченном осями

координат и прямой 2x

3y

6

0 .

21.

z

x2

y2

4xy

4 в квадрате, ограниченном осями координат и прямыми x

4

и y

4 .

22.

z x2

y2

6x

4y

2

в

прямоугольнике с вершинами

A(1;

3);

B(1; 2); C(4; 2); D(4;

3).

23.

z

2x2

2y2

в круге x2

y2

9.

24.

z

sin x sin y sin(x y) в области 0 x

/ 2; 0

y

/ 2.

25.

z

cosx cos y cos(x y) в области 0 x

; 0 y

.

30.

Дан

треугольник

с вершинами

A(4;

2),B(3; 6),C( 1; 1).

B плоскости

треугольника

ABC найти точку, для которой сумма квадратов расстояний до его

вершин будет наименьшей.

Ответы

1.

zmin

z(2; 2)

8.

2.

zmax

z(2;

2)

8.

3.

zmin

z(

4; 1)

1.

4.

zmax

z(0; 3)

9 .

5.

zmin

z(1; 1/ 2)

0.

6. zmin

z(1; 1)

1.

7.

zmin

z(2; 1) 28.

8. zmax

z( 2; 1)

28.

9.

zmax

z(

1; 0)

z(1; 0)

3e

1;

zmin z(0; 0)

0.

10.

zmax

z(2;

2)

3.

11.

zmin

z(2; 2)

4;

zmax

z(

2; 2)

20 .

12.

zmin

z( 2; 4)

12.

13.

zmin

z(5/ 2; 3/ 2)

15/14 .

14.

zmin

z(36/ 25; 48/ 25)

144/ 25.

15.

zmax

z(5/ 4; 5/6)

25/ 24.

16.

umin

u(0; 0; 0)

0 ;

umax

u(2; 5; 1)

30.

17.

(z

x2

y2

при xy / 2

s) катеты равны.

18.

(u

xyz при 2(xy

yz

zx)

s), куб со стороной

s / 6 .

19.

zнаим

1;

zнаиб

6.

20. zнаим

9;

zнаиб 0.