Высшая математика. В 7 ч. Ч. 4. Функции нескольких переменных, неопределенный интеграл

5.

lim (x

1)2

4y2

/(x 12

y2 ) ;

6.

lim tg(xy)/ x ;

x

1

x

0

y

0

y

3

Найти точки разрыва функции:

7.

z

1/((x

1)2

(y

2)2 );

8.

z

1/ (x

3)2

(y

4)2 ;

9.

z

(x2

y2

2x

3y)/(x

y) ;

10.

z

ln |1

(x

1)2

(y 2)2 |;

11.

u

1/(x2

y2

z) ;

12. u

sin(1/ xyz);

13.

u

1/(x2

y2

z2 );

14.

u

1/(R2

(x a)2 (y

b)2 (z

c)2 ) ;

15. Непрерывна ли функция f (x, y)

(x2 y2 )/(x2 y2 ) :

а) в круге радиусом R

2 с центром в начале координат?

б) в круге радиусом R

2 с центром в точке C( 3; 4)?

в) в круге радиусом R

5с центром в точке C(2; 3)?

16. Непрерывна ли функция

f (x, y)

(xy)/(x2

y2 ) в области:

а) содержащей начало координат?

б) не содержащей начало координат?

Ответы

1.

-1.

2. -1/5.

3. не существует.

4.

+ .

5. + .

6. 3.

7.

N (1,

2) .

8.

N( 3;4) .

9. Точки, лежащие на прямой x

y 0.

10.

Точки, лежащие на окружности (x

1)2

(y

2)2

1.

11.

Точки, лежащие на параболоиде вращения x2

y2

z .

12.

Точки, лежащие на координатных плоскостях.

13.

Точки, лежащие на конусе x2

y2

z2

0.

Частным приращением функции z

f

x1 , , xn

, соответствующим приращению

xi переменной xi называется разность

i z f x1 , , xi

xi , , xn

f x1 , , xi , , xn .

В случае если функция z – функция двух переменных z

f

x, y , то

x z f x

x, y

f x, y .

x z - частное приращение функции z

f

x, y

по переменной x , а

y z f x, y

y

f x, y ,

y z - частное приращение функции z

f

x, y

по переменной y .

Частной производной функции

z

f

x1 , , xn

по

переменной

xi

называется

предел отношения частного приращения функции z

f

x1 , , xn

по переменной

xi к приращению самого аргумента функции

xi , при условии,

что последнее

приращение стремится к нулю, то есть

lim

f x1, , xi

xi , , xn

f

x1, , xi , , xn

.

x

xi

o

i

Частные производные обозначаются одним из следующих образов:

zx ,

z

, f x ,

xi

i

i

f

.

xi

Процесс нахождения частных производных функции z

f

x1 , , xn

называется

дифференцированием функции.

x, y , то

В случае если функция z – функция двух переменных z

f

zx

f

lim

f

x

x, y

f

x, y

x

x

x

o

и

f x, y

x, y

z y

f

lim

y

f

,

y

y

y

o

где zx и z y - частные производные функции z

f

x, y

по переменным x и y

Частная производная от частной производной функции z

f

x1 , , xn

называется

частной производной второго порядка функции z

f x1 , , xn .

Вводятся следующие обозначения:

zx x

2 z

(zi

)x

z

,

x j xi

x j

j

i

j

j

xi

zx x

2 z

(zx )x

z

.

x

2

x

i i

j

i

x

i

i

i

Аналогично

определяются

частные

производные

s -ого

порядка

функции

z

f x1 , , xn .

x1 , , xn

В случае если частная производная высшего порядка функции

z

f

получена дифференцированием функции z

f

x1 , , xn

по разным переменным,

то она называется смешанной.

Если при

нахождении смешанной

производной

s -ого

порядка

функции

z

f x1 , , xn

все промежуточные производные являлись непрерывными в точке

x1 , , xn ,

то

ее

вычисление

не

зависит

от

того в

каком порядке

брались

производные

по

ее переменным.

В

этом

случае,

запись

s z

,

где

k

k

x 1 x

n

1

n

k1

kn

s ,

обозначает,

что

s -ая

смешанная

производная

функции

z

f x1 , , xn

получена k1

раз дифференцированием по переменной

x1 ,

k2

раз

дифференцированием по переменной x2 , …, kn

раз

дифференцированием

по

переменной xn , при этом порядок дифференцирования не имеет значения.

В случае функции двух переменных z

f x, y имеем

zx x

2 z

(zx )x

z

,

x2

x

x

zy x

2 z

(zx )y

z

,

y x

y

x

zx y

2 z

(zy )x

z

,

x y

x

y

zy y

2 z

(zy )y

z

.

y2

y

y

3˚. Дифференциал функции

Полным приращением функции

z

f

x1 , , xn , при приращениях ее аргументов

x1 , …, xn

на

x1 , …,

xn соответственно называется разность

z f x1

x1 , , xn xn

f x1 , , xn .

Если полное приращение функции z

f x1 , , xn

можно представить в виде

z A1 x1

An xn

o x ,

где A1

A1

x1 , , xn

, …, An

An x1 , , xn

и

o x

–

такая

функция, что

lim

o

x

0

,

то

функция

z

f

x1 , , xn

называется

x 2

x 2

x1 0, , xn 0

1

n

приращения)

A1 x1 An xn

называется

дифференциалом

функции

z f x1 , , xn

и обозначается

xn .

(1.1)

dz

A1 x1 An

dz A1dx1 Andxn .

(1.2)

Достаточным условием дифференцируемости функции z

f x1 , , xn является

следующие равенства

A

A x , , x

z

, …,

A

A x , , x

z

, а значит

n

n

1

1 1

x1

n

n 1

xn

dz

z

dx

z

dx

.

(1.3)

n

1

xn

x1

В случае непрерывности частных производных функции z

f x, y , ее

дифференциал равен

dz

z

dx

z

dy .

x

y

именно,

для

дифференцируемой

функции

при

маленьких

приращениях

аргументов

x1 ,

…,

xn

приращение

функции

приближенно

равно ее

дифференциалу, то есть

f x1, , xn

df x1, , xn .

Если расписать подробно, получим

f x1

x1, , xn

xn

f x1, , xn

f x

x1, , xn x1

f x

x1, , xn

xn .

1

n

Для функции двух переменных z

f

x, y

данная формула примет следующий

вид

x, y

f x, y

x, y

x, y

y1.

(1.4)

f x

y

fx

x

f y

4˚. Дифференциал высшего порядка

Дифференциалом 2

порядка функции

z

f

x1 , , xn

называется дифференциал

от дифференциала первого порядка функции

z

f x1 , , xn

,

считая

дифференциалы независимых переменных константами.

f x1 , , xn

Дифференциалом

s -го порядка функции

z

называется

дифференциал

от

дифференциала

s

1-го порядка

функции

z

f x1 , , xn ,

s

ds z

dx

dx

n

z .

1

xn

x1

Для функции двух переменных

z

f x, y , при выполнении соответствующих

условий,

второй дифференциал равен

d2 z

2 z

dx2

2

2 z

dxdy

2 z

dy 2 .

x2

y x

y 2

Для функции трех переменных u

f

x, y, z , при тех же условиях, имеем

d2 z

2 z

dx2

2

2 z

dxdy

2

2 z

dxdz

2 z

dy 2

2

2 z

dydz

2 z

dz2 . (1.5)

y 2

x2

y x

z x

z y

z 2

5˚. Дифференцирование сложных функций

Пусть функция

z

f x1 , , xn

дифференцируема в точке

x1 , , xn , а функции

x1

g1 t1 , ,tm , …,

xn

gn t1 , ,tm

имеют частную производную по t j

в точке

t1 , ,tm

, тогда сложная функция z

f

g1 t1 , ,tm , , gn

t1 , ,tm

имеет частную

производную по t j в точке

t1 , ,tm

и верна следующая формула

z

z

x1

z

xn

.

t j

x1

t j

xn

t j

Частными, являются следующие случаи:

1) Пусть функция z

f x1 , , xn

дифференцируема в точке

x1 , , xn

, а функции

x1

g1 t

, …,

xn

gn t

дифференцируемы в точке

t , тогда сложная функция

z

f

g1

t , , gn t

дифференцируема

в точке

t

и

имеет место

следующая

формула

dz

z

dx

z

dx

n

dt

1

.

x

dt

x

n

dt

1

2) Пусть функция z

f

x

дифференцируема в точке x , а функция x

g t1 , ,tm

имеет частную производную по

t j

в точке t1 , ,tm

,

тогда сложная функция

z

f

g t1 , ,tm

имеет частную производную по

t j

в точке

t1 , ,tm

и верна

следующая формула

dz

z

x

.

dx

t j

t j

Для функции двух переменных вышесказанное имеет следующую форму.

Пусть функция z

f x, y

дифференцируема в точке

x, y ,

а функции x

g u,v

и

y

h u,v

имеют

частную

производную

по

u (по v )

в точке

u,v , тогда

сложная функция z

f

g u,v ,h u,v

имеет частную производную по u (по v ) в

точке

u,v и верны следующие формулы

z

z

x

z

y

;

u

x

u

y

u

z

z

x

z

y

.

v

x

v

y

v

Частным является следующий случай:

Пусть функция z

f x, y дифференцируема в точке x, y , а функции

x g t и

y h t дифференцируемы

в точке

t , тогда сложная функция z f

g t ,h t

дифференцируема в точке t

и имеет место следующая формула

dz

z dx

z

dy .

(1.6)

dt

x dt

y dt

В случае, если y

h x , то

dz

z

z

dy .

dx

x

y dx

Пусть

дифференцируемая

функция

y

f x1 , , xn

задана

неявно

F x1 , , xn , y

0, тогда

yx

Fxi

.

(1.7)

i

Fy

Если функция одной переменной y

f

x

задается неявно F x, y 0, то формула

(1.7) имеет вид

y

Fx

.

(1.8)

F

y

Для функции z

z x, y заданной неявно F x, y, z

0 имеем

F

и

Fy

.

(1.9)

zx

x

zy

F

F

z

z

Производной функции u f x, y, z

ax ;ay ;az

называется

по направлению a

предел

u

lim

f x axt, y a y t, z az t f x, y, z

.

2

2

2

a

t 0

ax

a y

az t

В случае если функция u

f x, y, z дифференцируема, то

u

u

cos

u

cos

u

cos

,

a

x

y

z

cos ,cos ,cos

– вектор единичной длины,

сонаправленный с

где вектор b

ax ,ay ,az

, т. е. cos

ax

cos

a y

, cos

az

2

2

2

вектором a

,

и

a

ax

ay

az –

a

a

a