Высшая математика. В 7 ч. Ч. 4. Функции нескольких переменных, неопределенный интеграл

z E

R , то говорят, что на множестве D задана функция

f (или отображение)

двух

переменных, определенная на множестве D со

значениями в R и

образованную множеством

точек M (x, y, z) пространства, координаты которых

удовлетворяют уравнению z

f (x, y).

обозначают

D

, во втором – открытой.

Значение функции z f (x, y) в точке

M 0 (x0 , y0 )обозначают z0 f (x0 , y0 )или

z0 f (M 0 ) и называют значением

Линии

уровня

функции

z

f (x, y) называется

множество точек

(x, y)плоскости Oxy , в которых функция

f сохраняет постоянное значение, т.е.

удовлетворяющих равенству

f (x, y) C,где C - постоянная.

Поверхностью уровня функции

u

f (x, y, z) называется множество точек

пространства, удовлетворяющих равенству

f (x, y, z)

C,где C - постоянная.

Примеры

1. Найти частное значение функции z

x3

5xy

y2 при x 3и y

2.

Решение.

Подставляя заданные

значения

аргументов,

получим:

z(3,

2)

33

5

3 (

2)

( 2)2

61.

2. Найти область определения функции z

a2

x2

y2 .

Решение.

Переменная

z принимает действительные значения при условии

a2

x2

y2

0или

x2

y2

a2 . Следовательно,

областью определения данной

функции

является

круг радиуса

a с

центром

в

начале

координат,

включая

верхняя половина сферы x2 y2

z2 a2 .

3. Найти область определения функции u

ln(2z2 6x2 3y2 6).

Решение. Данная функция зависит от трех переменных и принимает

действительные значения при 2z2

6x2 3y2

6 0,т.е. x2 /1 y2 / 2 z2 /3 1.

4. Найти линии уровня функции z

x2 y2 .

Решение. Уравнение

семейства

линий уровня

имеет вид x2

y2 C

(C 0). Придавая C

различные

действительные

значения,

получим

пересечения поверхности z x2 y2 с плоскостями z

C .

5. Найти поверхности уровня функции u x2 z2

y2 .

Решение.

Уравнение

семейства

поверхностей

уровня

имеет

вид

x2

z2

y2

C . Если C

0, то получает конус

x2

z2

y2

0;

если С

0, то

семейство

однополостных

гиперболоидов;

если

С

0 ,

то

семейство

двуполостных гиперболоидов.

1.2. Задачи для самостоятельной работы

Найти области определения функций:

1.

z

x2

y2

1 ;

2.

z

1/

1

x2

y2 ;

3.

z

arcsin(x

y);

4.

z

cos(x2

y2

;

5.

z

ln(

x

y) ;

6.

z

y

x ;

7.

z

xy ;

8.

z

x2

y2

1

ln(25

x2

y2 );

9. u

arcsin(z /

x2

y2 );

10. u

1/ ln(1

x2

y2

z2 ) ;

11. u

x

y

z ;

Найти линии уровня функций:

12.

z

2x

y ;

13.

z

x / y ;

14. z

ln

y / x ;

15.

z

x / y ;

16.

z

exy ;

17.

z

1/(4x2

y2 );

Найти поверхности уровня функций:

18. u

x y

3z ;

19. u

x2

y2

z2 ;

20.

u

x2

y2

z2 ;

21. u

x2

y2

z ;

22. u

1/(x2

4y2

9z2 );

23. u

z /

x2

y2 ;

Ответы

1.

x2

y2

1 – часть плоскости вне единичного круга с центром в начале

координат.

2.

Часть плоскости внутри круга x2

y2

1.

3.

Полоса между параллельными прямыми x

y

1и x

y

1.

4.

Концентрические кольца 0

x2

y2

/ 2, 3

/ 2

x2

y2

5

/ 2,....

5.

y

x – полуплоскость, лежащая выше биссектрисы y

x .

6.

Полуплоскость x

0.

9. Часть пространства вне конуса x2 y2

z2

0.

10. Часть пространства внутри шара x2

y2

z2

1,за исключением начала

координат.

11.

Часть пространства над плоскостью x

y

z

0,включая эту плоскость.

12.

Семейство параллельных прямых 2x

y

C .

13.

Семейство прямых y

Cx.

14.

Семейство прямых y

e2C x, или y

C x(C

0) .

1

1

координатных осей Ox и Oy (при C

0) .

17.

Семейство эллипсов

x2

y2

1 (при C

0).

1/ 4C

1/C

18.

Семейство плоскостей x

y

3z

C .

19.

Семейство сфер x2

y2

z2

C .

20.

Семейство двуполостных гиперболоидов

x2

y2

z2 C

(при C 0) ;

семейство

однополостных гиперболоидов

x2 y2

z2

C

(при C

0); конус

x2 y y

z2

0 (при C

0) .

21.

x2

y2 z

C .

22.

x2

4y2

9z2

C .

23.

z2

C 2 (x2

y2 ) .

неравенству

0

(x

x0 )2 (y y0 )2

, называется проколотой

-

окрестностью точки M 0

(x0 , y0 ) и обозначаются O (M 0 ) .

Пусть функция z

f (x, y) определена в некоторой окрестности точки

функции z

f (x, y) (по Коши) при x

x0

и y

x0 (или M (x, y)

M 0 (x0 , y0 )),

если для любого

0существует

0 такое, что для всех x

x0

и y

y0 и

удовлетворяющих неравенству (x

x )2

(y

y

0

)2

выполняется неравенство

0

f (x, y)

z0

:

Z0

lim f (x, y)

0

0

M (x, y) O (M 0 )

f (M )

O (z0 ).

x

x0

y

y0

Повторными пределами функции

z f (x, y)

(или

f M )

в точке

M 0 (x0 , y0 )

называются следующие пределы lim lim f

x, y

и lim lim f x, y .

x x0 y y0

y y0 x x0

Функции z f (x, y) (или f (M )) называется непрерывной в точке M 0 (x0 , y0 ),

если она:

1)

определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

2)

имеет предел

lim f (M ),

M M0

3)

этот предел

равен

значению

функции

z

в точке

M 0 , т.е.

lim f (M )

f (M 0 ) или

lim f (x, y)

f (x0 , y0 ).

M M0

x

x0

y

y0

функция z

f (x, y)называется непрерывной в точке M 0 (x0, y0 ) , если в этой точке

бесконечно

малым приращениям аргументов

x

x x0 и

y y y0

соответствует бесконечно малое приращение z

f (x, y)

f (x0 , y0 )функции z .

1. Найти предел lim

x 2

y 2

.

x 2

x

0

y 2

y

0

Решение. Будем приближаться в 0(0;0)по прямой y kx,где k – некоторое

число. Тогда lim

x2

y y

lim

x2

k

2 x

2

lim

1

k 2

1

k

2

. Функция

z

x2

y 2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

x2

y y

x

0

x

y

x 0

x

k

x

x 0

k

k

y

0

2. Вычислить lim

xy

.

3

xy 9

xу 00

lim

xy

lim

xy(3

xy

9)

lim

xy(3

xy

9)

3

xy 9

(3

xy

9)(3

xy 9)

9

(xy

9)

y

y

y

0

y

0

x

0

x

0

x

0

= lim(3

xy

9)

6.

x

0

y

0

3. Найти повторные пределы функции

f (x, y)

x2

y 2

в точке 0(0;0).

x2

y 2

Решение. Имеем lim lim

x2

y 2

lim

y 2

1.

y 2

y

0 x

0 x2

y 0 y 2

lim lim

x2

y 2

lim

x2

1.

y 2

x 0 y

0 x2

x 0 x2

4. Показать, что функция z x2 2xy

непрерывна на всей плоскости Oxy .

Решение. Определим приращение функции

z :

z (x

x)2 2(x

x)(y

y) (x2

2xy) x2 2x x ( x)2 2xy

2x y

2y x 2 x y x2 2xy 2x x

( x)2 2x y 2y x 2 x y.

т. к. lim

0

z 0в любой точке

M (x, y) ,

то на всей плоскости Oxy функция

x

y

0

непрерывна.

5. Исследовать на непрерывность функцию z

xy

2

.

x2

y

Решение.

Заданная функция z терпит разрыв в

точках, где y x2 .

Следовательно,

функция z непрерывна в любой точке плоскости Oxy , исключая

точки, расположенные на параболе y

x2 .

6. Исследовать на непрерывность функцию z

1/(9x2 4y 2 ) .

Решение.

Для функции z точки разрыва образуют множество точек

плоскости Oxy , определяемое равенством 9x2

4y2

0 , т.е. точки прямых

y

3x / 2 .

1.4. Задачи для самостоятельного решения

Найти предел функции.

1.lim sin(xy)/ y ;

2. lim(x3

y)/(x2

y2 );

x

1

x

1

y

0

y

2

3. lim( x2 y2 )/(x4

y4 ) ;

4. lim 1/(x 4 y 4 ) ;

x

0

x

0

y

0

y

0