Высшая математика. В 7 ч. Ч. 3. Элементы математического анализа

ISBN 978-985-525-111-9 (Ч. 3)

© БНТУ, 2009

ISBN 978-985-479-903-2

последовательности с

номерами

п > N(s) выполняется неравенство |ап - а\ < в .

ПриГ этом пишется lima

П = а или а

У! —»■а .

Решение. Последовательность

f

п '

является

б. м. п., т. к. lim

п

\П

+ 1J

п1 + 1

(см. пример

1), последовательность

п%

является ограниченном,

так как

cos—

V

3 у

cos-пп < l V n e N . Таким образом, последовательность

п

cos-пп

есть про­

3

кп2 +1

3 у

изведение

б. м. п.

на

ограниченную

последовательность,

поэтому

у

п

п%

lim—----- cos— = 0.

п

+1

3

» тт „

2 + 4 + 6 + ... + 2п

3. Наити lim—

-------------------------------п .

п + 2

Решение. В числителе сумма п членов арифметической профессии, поэтому

2 + 2п

/

\

s = ai + а„ п = ------—

п = Ц + п) ■п

..

2 + 4 + 6 + ... + 2и

(l + п)п

л. п2 + п - п 2- 2 п

lim--------------------------п = lim-— —-----п ~ lim—

п + 2

п + 2

/7 + 2

= lim— — = lim—

= -1,

“>0°

п + 2

п_>0° -1 + 2

и

(и + 3)!

(п + 3)(и + 2){п +1)!

а =

2{п + \)\-{п + 2)(« +1)!

2{п + 1)!-(/7 + 2)!

(п + 3)(и + 2){п +1)!

и + 3

(п + 2){п +1)!

_ ? _ _ Л

-1

Vп + 2 у

и + 2

lim a

= lim —^ +-~— = lim —-——

■lim(« + 3) = -1 ■(oo)= -oo,

П—+ОЭ

M

n —>oo 2

11_/

/

)1->00

___

J

n —Vr-n

n + 2

n + 2

T. K.

б. М. П.

Решение. Умножим

и разделим

ап на \п2 4- п\jn3 - гг + (\/«3- и2") ) и вос­

пользуемся формулой (а - b){a2+ ab + Ь2)= а 3- Ъ 3.

п

3

( 3

- п

2 \

Пшш - \1п

- п2

= lim

- \п

)

2

1,3

2

3 (

3

2

п

‘ +

п\1п

- п “ + л/\п" - п

= lim-

/7

и2 + n2J l - -

+ п \

\ V

п )

V

п

-

lim-

1

1

,+H +iVf l

njVj

1+1+1

з

5-3"

.

5

2

6. Найти lim --------= lim------— = 5, т. к. — - б. м. n.

з» _ 2

1

2

3

I -

3"

7. Найти lim

n

n

n

\ n

Решение. an = — (l + 2 + 3 + • ■• + (n - 1)); l + 2 + 3 + • • ■+ (n - 1) - арифметиче-

n2

ская прогрессия, поэтому:

1 + 2 + 3 + ----h (и -

1) =

—0 [n - 1) = ~ (n -

n - n

1) :

2

2

1 - 1

1

1

п - п

п —п ,.

у, 1 - 0

1

lima,, = lim— --------- = lim------— = lim---- —= ------= —

/?—>co

n—>co

n

2

л_>м

2n~

n~*x

222

8. Найти lim(

1

1

+

••• +

1-2 2-3

n{n + 1)

Решение. Представим

n{n + l)

1

1

, тогда

П

n + 1

liman = lim

+

1

1

\л

2J

3

V3

4у

/7—>CC

/7—>oow

2

1

1

1

1

1

1

1

\

= 1+ 0 = 1

lim 1----- 1----------1----------Ь • • • H---

= lim

V 2 2 3 3 4

n n + 1

n +1

1.2. Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы:

1)

2) lim п

- п

3) limwпг + п - п ) \

4) lim

п cos п

п-усо

П

+ 1

n —yjn

П—»С0

'

'

и—»сс

п + 1

“V + — sinffz2);

6) lim(4 " -

V°

/V i

л

5) lim

2 Y5

" -З );

7) lim

2” -1

V?7

«у

W

8) Нтл/Зтт/и + 2 - л/и -

3n

1

;

л1п + 1 + л/ п~ +п

1); 9) lim

+ —cos2«

10) lim

9n + 2

и

у

л/и2 - 5

Ответы

1

о R

1

1)0; 2) + со;

3 ) - ;

4)0;

5)0;

6)6;

7 ) » ;

8 ) ^ - ;

9 ) - ;

10)1.

1.3. Предел функции

Пусть функция /(х ) определена в некоторой окрестности точки

х0, за ис­

ключением, быть может, самой точки х0.

Число Ъ называется пределом функции f{ x ) в точке х0 при х -> х0, если для

любого сколь угодно малого числа

в > 0 найдется такое число б(в), что для всех

х, удовлетворяющих

условию

0 < |х - х01< 5,

выполняется

неравенство

\f{ x ) - b \< z и записывается это так: lim f( x ) = b или f i x ) —> b при X -» JC0 .

При помощи логических символов это определение можно записать:

lim f i x ) = b о

Vs > 0, 35(s): Ух

0 < |х - х 0|< 5

=>

|/(х ) -/?] < 8.

(1-1)

Если в выражении (1.1) рассматривать только х < х0(х > х0), то имеем поня­

тия левого (правого) предела функции

в точке

х0, который

обозначается

или / ( * o - 0 ) f e / ( x ) ) или

f ( X0+ 0)-

С помощью логических символов определение предела функции

fi x ) при

х -* +оо записывается так:

lim /(х ) = b <=>Vs > 0, 3N{E), Vx > N {&)==> \f{x)-b\ < в.

(1.2)

X—>+00

Определение и обозначение предела при х —» -оо аналогичны.

Если в выражениях (1.1) и (1.2) Ъ -

0, то /(х ) называется бесконечно малой

функцией (б. м. ф.) и записывается это так: lim/(х )= 0 .

Функция f i x ) называется бесконечно большой функцией (б. б. ф.) в точке

х0, если VM е R+, 3§(m ):V x

0 < |х - х 0|< 5

\f{ x J > M и записывается это так:

lim/(х )-о о , при этом,

если

/(х )> 0

(/(х )< 0 ) V xe(x0 - 5 ,х 0 +5)

и

х ^ х 0, то

.V—>Л'0

•V—>А‘П

V—Ип

'