Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. В 2 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

18.

			Y	24		30		36	42	48	54	nx
		X		24		30		36	42	48	54	nx
		X
	15			2		2		2				6

	20					2		2	8			12

	25								15	10		25

	30									4	2	6

	35										1	1

		ny		2		4		4	23	14	3	50

19.

			Y		20		26	32	38	44	50	nx
		X			20		26	32	38	44	50	nx
		X
		11			2		2	3				7

		15			1		2	4				7

		19					2	14	7			23

		23							5	2	1	8

		27							2	2	1	5

		ny			3		6	21	14	4	2	50

20.

	Y	6	12	18	24	30	nx
X		6	12	18	24	30	nx
X
40				1	4	1	6

50			1	5	10	5	21

60		6	2	18	2	2	30

70		6	14	2			20

80		12	3				15

90		6					6

ny		30	20	26	16	8	100

21.

	Y	6	12	18	24	30	36	nx
X		6	12	18	24	30	36	nx
X
30				1	1	2	1	5

40				2	4	12	7	25

50			6	15	20	2		43

60			7	2	1			10

70		3	9					12

80		5						5

ny		8	22	20	26	16	8	100

22.

	Y	4	8	12	16	20	24	nx
X		4	8	12	16	20	24	nx
X
30							1	1

38						2	1	3

46					2	19	10	31

54				5	15	2	2	24

62			5	4	5			14

70		4	8	3	6			12

78		5	1					16

ny		9	14	12	28	23	14	100

23.

	Y	8	16	24	32	40	48	nx
X		8	16	24	32	40	48	nx
X
40						1	1	2

50					1	3		4

60				2	8	20		30

70			6	15	3			24

80		5	7	3	6			21

90		3	5	5				13

100		4	2					6

ny		12	20	25	18	24	1	100

24.

		Y	0	8	16	24	32	nx
	X		0	8	16	24	32	nx
	X
	50					2	1	3

	60					3	4	7

	70				2	8	8	18

	80				3	50	4	57

	90			2	6			8

	100		3	4				7

	ny		3	6	11	63	17	100
25.
25.

		Y	12	18	24	30	36	nx
	X		12	18	24	30	36	nx
	X
	35						8	8

	45				5	7	7	19

	55				40	8	4	52

	65			2	5	2		9

	75		1	6				7

	85		5					5

	ny		6	8	50	17	19	100
26.
26.

		Y	75	77	79	81	83	nx
	X		75	77	79	81	83	nx
	X
	40		1	3				4

	45			2	2	1		5

	50			1	3	5	1	10

	55					4	2	6

	60				1	3	1	5

	ny		1	6	6	13	4	30
27.
27.

		Y	80	81	82	83	84	nx
	X		80	81	82	83	84	nx
	X
	35		2	2	1			5

	40			1	2	1		4

	45			2	4	5		11

	50				3	4		7

	55					2	1	3

	ny		2	5	10	12	1	30
28.
28.

		Y	75	78	81	84	87	nx
	X		75	78	81	84	87	nx
	X
	30		1	1				2

	40			2	3	4		9

	50			5	8	9		22

	60				5	1	1	7

	ny		1	8	16	14	1	40

29.

		Y	76	78	80	82	84	nx
	X		76	78	80	82	84	nx
	X
	40		2					2

	50		1	2	1			4

	60			5	8	10		23

	70				5	4	2	11

	ny		3	7	14	14	2	40
30.
30.

		Y	70	73	76	79	82	nx
	X		70	73	76	79	82	nx
	X
	35		1	1	1			3

	40			2	1	2		5

	45			4	6	3		13

	50			1	5	4	1	11

	55				3	3	2	8

	ny		1	8	16	12	3	40

Решение типового варианта конт рольной работ ы №5

Задание 5.1. Найти общее решение:

xy y dx xy x dy 0 .

Преобразуем данное уравнение: y(x 1)dx x(y 1)dy 0 .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные

(x 0, y 0) :
x 1 dx		y 1 dy
x		y

Интегрируем обе части неравенства:

	1		1

1
		dx 1		dy,
	x		y

x y ln x ln y ln C , xy e x y C

x ln x y ln y

ln e

ln C ,

Последнее равенство является общим интегралом исходного уравнения.

Задание 5.2. Найти общее решение:

2x 2 y x 2 y2 .

Так как функции 2x 2 и x 2 y2 — однородные второго измерения

2 x 2 2 2x 2 ; x 2 y 2 2 x 2 y2 ,

то данное уравнение — однородное.

Сделаем замену: y xu, где u — новая неизвестная функция.

y u x u .
Тогда:			1 u 2	.
2x 2 u xu x 2 xu 2 ,		2x 2 u xu x 2	1 u 2	.
Далее имеем:	2xu u 1 2 .
2u 2xu 1 u 2 ,	2xu u 1 2 .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

2du

ln C

u 1

1 1 u ln C

В последнее выражение вместо u подставим значение

Получим общий интеграл:

ln C

1 1

Выразив отсюда y , найдём общее решение исходного уравнения :

	x
y x	ln C		.
		x
		x

Задание 5.3. Найти общее решение: y xy 1 2 ln x .

Это линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим однородное:

y xy 0 .

Решим его:

y C x

По методу Лагранжа общее решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде y C x x ,где C x — неизвестная функция.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

C x C C 1 2 ln x .

Получим простейшее дифференциальное уравнение 1-ого порядка:

			1 2 ln x		C x ln x ln	2
	x 1 2 ln x ,	dC		dx ,			x C1 .

C
			x

Окончательно, общее решение нашего уравнения имеет вид : y x ln x x ln 2 x Cx .

Задание 5.4. Найти общее решение:

x2 y 4 dx x y ey dy 0

Введём обозначения:

f x, y x2 y 4, g x, y x y ey

Так как	f	1 ;	g	1 , а следовательно	f	g	, то уравнение является
	y		x		y	x

уравнением в полных дифференциалах, а его левая часть есть полный дифференциал dU x, y , причем

U x, y

x 2

y 4

U x, y x 2

y 4 dx y

xy 4x y

e ;

y x y x y

т.е.

y y ey ,

e y C , а,

U x, y

xy 4x

e y C .

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид U (x, y)=C или

x3	xy 4x	y2	e y C .

3	2

Задание 5.5. Найти общее решение:

xy y ln y x

Это уравнение 2-ого порядка, не содержащее искомой функции y . Оно допускает понижение порядка уравнения заменой y z x , y z x .

После замены исходное уравнение превращается в однородное уравнение первого порядка:

x z z ln xz .

Делаем подстановку:

z x u x , z u x u .

Тогда

u xu u ln u .

Разделяем переменные:

ln u 1

ln x ln C

ln u 1 C x ;

u ln u 1

u e1 C1x .	z x e1 C1x .
Так как z y , то
y x e1 C1x
Находим:
	1 C1x		1		1 C1x	1
	1 C1x		1		1 C1x	1
y x e		dx		x e
			C1			C1

Общее решение уравнения имеет вид:

e1 C1x C2 .

y	1	x e1 C1x	1	e1 C1x C		.
y		x e1 C1x		e1 C1x C	2	.
	C1		C 2		2
	C1		C 2
			1

Задание 5.6. Найти общее решение: y y y 2

Это уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной x . Оно допускает понижение порядка уравнения заменой:

y z y , y z y y z y z

После замены, исходное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

y z z z2

Решаем это уравнение:

dz	dy	,	z C y

z	y		1

Так как z y , то y C1y .

Снова получили уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

	dy	C dx ,					ln y C x ln C							.
		C dx ,					ln y C x ln C						2	.
	y				1					1			2
	y
Значит, y C				2	eC1x — общее решение нашего уравнения.
				2
Задание 5.7. Решить задачу Коши:
y
y			y 0 , y 0 5 , y 0 3								, y		0 y 0 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
4 1 0 ,			1 1 2					1		0 ,	1			1 , 2 1 , 3,4 i .
Общее решение исходного уравнения имеет вид:
y C e x C						2	ex C		3	cos x C		4		sin x .
			1			2			3			4

Находим:

y C1e x C2ex C3 sin x C4 cos x y C1e x C2ex C3 cos x C4 sin x y C1e x C2ex C3 sin x C4 cos x .

Используем начальные условия

y(0) C1 C2 C3 5

y (0) C1 C2 C 4 3

y (0) C1 C2 C3 0 y (0) C1 C2 C4 0

Решаем систему:

C1 12 , C2 2 , C3 52 , C4 32 .

Решение задачи Коши имеет вид:

y 12 e x 2ex 52 cos x 32 sin x .

Задание 5.8. Найти общее решение: y y 5x cos 2x .

Находим корни характеристического уравнения:

2 0; 1 0; 2 1

Следовательно общее решение однородного уравнения имеет вид ( y1 e0x 1; y2 e x — фундаментальная система решений):

~	C2e	x	.
y C1	C2e		.
Правая часть уравнения представляет собой сумму функций f1 x 5x и
f 2 x cos 2x .
Для нахождения частных решений, соответствующих этим функциям
составляем:
для 5x :	S=1 (кратность числа среди корней характеристического
0,	S=1 (кратность числа среди корней характеристического
уравнения)
y x1(Ax B) Ax 2				Bx ;
1
для cos 2x :
0, 2; i 2i;s 0 (кратность числа i среди корней
характеристического уравнения).
y A cos 2x B sin 2x;
2	1			1
т.е. y Ax 2 Bx A				cos 2x B sin 2x — частное решение нелинейного
		1		1

уравнения с неизвестными коэффициентами. Подставляем y в исходное уравнение:

2A 4A1 cos 2x 4B1 sin 2x 2Ax B 2A1 sin 2x 2B1 cos 2x 5x cos 2x

Для выполнения тождества необходимо равенство коэффициентов:

2A		5

2A			B 0

4A		2B			1
4B	1	2A		1
				1		0
1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.15 Mб0Выпускная квалификационная работа.pdf
#
24.11.2025907.46 Кб0Высокоточное оружие.pdf
#
24.11.20251.39 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч 1.pdf
#
24.11.20254.34 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.19 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20251.45 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры.pdf
#
24.11.20252.41 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 2. Элементы аналитической геометрии.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 3. Элементы математического анализа.pdf
#
24.11.20253.65 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 4. Функции нескольких переменных, неопределенный интеграл.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.pdf

			Y	24		30		36	42	48	54	nx
		X		24		30		36	42	48	54	nx
		X
	15			2		2		2				6

	20					2		2	8			12

	25								15	10		25

	30									4	2	6

	35										1	1

		ny		2		4		4	23	14	3	50

19.

			Y		20		26	32	38	44	50	nx
		X			20		26	32	38	44	50	nx
		X
		11			2		2	3				7

		15			1		2	4				7

		19					2	14	7			23

		23							5	2	1	8

		27							2	2	1	5

		ny			3		6	21	14	4	2	50

	Y	6	12	18	24	30	nx
X		6	12	18	24	30	nx
X
40				1	4	1	6

50			1	5	10	5	21

60		6	2	18	2	2	30

70		6	14	2			20

80		12	3				15

90		6					6

ny		30	20	26	16	8	100

	Y	6	12	18	24	30	36	nx
X		6	12	18	24	30	36	nx
X
30				1	1	2	1	5

40				2	4	12	7	25

50			6	15	20	2		43

60			7	2	1			10

70		3	9					12

80		5						5

ny		8	22	20	26	16	8	100

	Y	4	8	12	16	20	24	nx
X		4	8	12	16	20	24	nx
X
30							1	1

38						2	1	3

46					2	19	10	31

54				5	15	2	2	24

62			5	4	5			14

70		4	8	3	6			12

78		5	1					16

ny		9	14	12	28	23	14	100

	Y	8	16	24	32	40	48	nx
X		8	16	24	32	40	48	nx
X
40						1	1	2

50					1	3		4

60				2	8	20		30

70			6	15	3			24

80		5	7	3	6			21

90		3	5	5				13

100		4	2					6

ny		12	20	25	18	24	1	100

		Y	0	8	16	24	32	nx
	X		0	8	16	24	32	nx
	X
	50					2	1	3

	60					3	4	7

	70				2	8	8	18

	80				3	50	4	57

	90			2	6			8

	100		3	4				7

	ny		3	6	11	63	17	100
25.
25.

		Y	12	18	24	30	36	nx
	X		12	18	24	30	36	nx
	X
	35						8	8

	45				5	7	7	19

	55				40	8	4	52

	65			2	5	2		9

	75		1	6				7

	85		5					5

	ny		6	8	50	17	19	100
26.
26.

		Y	75	77	79	81	83	nx
	X		75	77	79	81	83	nx
	X
	40		1	3				4

	45			2	2	1		5

	50			1	3	5	1	10

	55					4	2	6

	60				1	3	1	5

	ny		1	6	6	13	4	30
27.
27.

		Y	80	81	82	83	84	nx
	X		80	81	82	83	84	nx
	X
	35		2	2	1			5

	40			1	2	1		4

	45			2	4	5		11

	50				3	4		7

	55					2	1	3

	ny		2	5	10	12	1	30
28.
28.

		Y	75	78	81	84	87	nx
	X		75	78	81	84	87	nx
	X
	30		1	1				2

	40			2	3	4		9

	50			5	8	9		22

	60				5	1	1	7

	ny		1	8	16	14	1	40

		Y	76	78	80	82	84	nx
	X		76	78	80	82	84	nx
	X
	40		2					2

	50		1	2	1			4

	60			5	8	10		23

	70				5	4	2	11

	ny		3	7	14	14	2	40
30.
30.

		Y	70	73	76	79	82	nx
	X		70	73	76	79	82	nx
	X
	35		1	1	1			3

	40			2	1	2		5

	45			4	6	3		13

	50			1	5	4	1	11

	55				3	3	2	8

	ny		1	8	16	12	3	40

			Y	24		30		36	42	48	54	nx
		X		24		30		36	42	48	54	nx
		X
	15			2		2		2				6

	20					2		2	8			12

	25								15	10		25

	30									4	2	6

	35										1	1

		ny		2		4		4	23	14	3	50

19.

			Y		20		26	32	38	44	50	nx
		X			20		26	32	38	44	50	nx
		X
		11			2		2	3				7

		15			1		2	4				7

		19					2	14	7			23

		23							5	2	1	8

		27							2	2	1	5

		ny			3		6	21	14	4	2	50

	Y	6	12	18	24	30	nx
X		6	12	18	24	30	nx
X
40				1	4	1	6

50			1	5	10	5	21

60		6	2	18	2	2	30

70		6	14	2			20

80		12	3				15

90		6					6

ny		30	20	26	16	8	100

	Y	6	12	18	24	30	36	nx
X		6	12	18	24	30	36	nx
X
30				1	1	2	1	5

40				2	4	12	7	25

50			6	15	20	2		43

60			7	2	1			10

70		3	9					12

80		5						5

ny		8	22	20	26	16	8	100

	Y	4	8	12	16	20	24	nx
X		4	8	12	16	20	24	nx
X
30							1	1

38						2	1	3

46					2	19	10	31

54				5	15	2	2	24

62			5	4	5			14

70		4	8	3	6			12

78		5	1					16

ny		9	14	12	28	23	14	100

	Y	8	16	24	32	40	48	nx
X		8	16	24	32	40	48	nx
X
40						1	1	2

50					1	3		4

60				2	8	20		30

70			6	15	3			24

80		5	7	3	6			21

90		3	5	5				13

100		4	2					6

ny		12	20	25	18	24	1	100

		Y	0	8	16	24	32	nx
	X		0	8	16	24	32	nx
	X
	50					2	1	3

	60					3	4	7

	70				2	8	8	18

	80				3	50	4	57

	90			2	6			8

	100		3	4				7

	ny		3	6	11	63	17	100
25.
25.

		Y	12	18	24	30	36	nx
	X		12	18	24	30	36	nx
	X
	35						8	8

	45				5	7	7	19

	55				40	8	4	52

	65			2	5	2		9

	75		1	6				7

	85		5					5

	ny		6	8	50	17	19	100
26.
26.

		Y	75	77	79	81	83	nx
	X		75	77	79	81	83	nx
	X
	40		1	3				4

	45			2	2	1		5

	50			1	3	5	1	10

	55					4	2	6

	60				1	3	1	5

	ny		1	6	6	13	4	30
27.
27.

		Y	80	81	82	83	84	nx
	X		80	81	82	83	84	nx
	X
	35		2	2	1			5

	40			1	2	1		4

	45			2	4	5		11

	50				3	4		7

	55					2	1	3

	ny		2	5	10	12	1	30
28.
28.

		Y	75	78	81	84	87	nx
	X		75	78	81	84	87	nx
	X
	30		1	1				2

	40			2	3	4		9

	50			5	8	9		22

	60				5	1	1	7

	ny		1	8	16	14	1	40

		Y	76	78	80	82	84	nx
	X		76	78	80	82	84	nx
	X
	40		2					2

	50		1	2	1			4

	60			5	8	10		23

	70				5	4	2	11

	ny		3	7	14	14	2	40
30.
30.

		Y	70	73	76	79	82	nx
	X		70	73	76	79	82	nx
	X
	35		1	1	1			3

	40			2	1	2		5

	45			4	6	3		13

	50			1	5	4	1	11

	55				3	3	2	8

	ny		1	8	16	12	3	40

			Y	24		30		36	42	48	54	nx
		X		24		30		36	42	48	54	nx
		X
	15			2		2		2				6

	20					2		2	8			12

	25								15	10		25

	30									4	2	6

	35										1	1

		ny		2		4		4	23	14	3	50

19.

			Y		20		26	32	38	44	50	nx
		X			20		26	32	38	44	50	nx
		X
		11			2		2	3				7

		15			1		2	4				7

		19					2	14	7			23

		23							5	2	1	8

		27							2	2	1	5

		ny			3		6	21	14	4	2	50

	Y	6	12	18	24	30	nx
X		6	12	18	24	30	nx
X
40				1	4	1	6

50			1	5	10	5	21

60		6	2	18	2	2	30

70		6	14	2			20

80		12	3				15

90		6					6

ny		30	20	26	16	8	100

	Y	6	12	18	24	30	36	nx
X		6	12	18	24	30	36	nx
X
30				1	1	2	1	5

40				2	4	12	7	25

50			6	15	20	2		43

60			7	2	1			10

70		3	9					12

80		5						5

ny		8	22	20	26	16	8	100

	Y	4	8	12	16	20	24	nx
X		4	8	12	16	20	24	nx
X
30							1	1

38						2	1	3

46					2	19	10	31

54				5	15	2	2	24

62			5	4	5			14

70		4	8	3	6			12

78		5	1					16

ny		9	14	12	28	23	14	100

	Y	8	16	24	32	40	48	nx
X		8	16	24	32	40	48	nx
X
40						1	1	2

50					1	3		4

60				2	8	20		30

70			6	15	3			24

80		5	7	3	6			21

90		3	5	5				13

100		4	2					6

ny		12	20	25	18	24	1	100

		Y	0	8	16	24	32	nx
	X		0	8	16	24	32	nx
	X
	50					2	1	3

	60					3	4	7

	70				2	8	8	18

	80				3	50	4	57

	90			2	6			8

	100		3	4				7

	ny		3	6	11	63	17	100
25.
25.

		Y	12	18	24	30	36	nx
	X		12	18	24	30	36	nx
	X
	35						8	8

	45				5	7	7	19

	55				40	8	4	52

	65			2	5	2		9

	75		1	6				7

	85		5					5

	ny		6	8	50	17	19	100
26.
26.

		Y	75	77	79	81	83	nx
	X		75	77	79	81	83	nx
	X
	40		1	3				4

	45			2	2	1		5

	50			1	3	5	1	10

	55					4	2	6

	60				1	3	1	5

	ny		1	6	6	13	4	30
27.
27.

		Y	80	81	82	83	84	nx
	X		80	81	82	83	84	nx
	X
	35		2	2	1			5

	40			1	2	1		4

	45			2	4	5		11

	50				3	4		7

	55					2	1	3

	ny		2	5	10	12	1	30
28.
28.

		Y	75	78	81	84	87	nx
	X		75	78	81	84	87	nx
	X
	30		1	1				2

	40			2	3	4		9

	50			5	8	9		22

	60				5	1	1	7

	ny		1	8	16	14	1	40

		Y	76	78	80	82	84	nx
	X		76	78	80	82	84	nx
	X
	40		2					2

	50		1	2	1			4

	60			5	8	10		23

	70				5	4	2	11

	ny		3	7	14	14	2	40
30.
30.

		Y	70	73	76	79	82	nx
	X		70	73	76	79	82	nx
	X
	35		1	1	1			3

	40			2	1	2		5

	45			4	6	3		13

	50			1	5	4	1	11

	55				3	3	2	8

	ny		1	8	16	12	3	40