Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. В 2 ч. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

ного распределённой СВ Х, если известно её математическое ожидание М[x] и дис-

персия D[x].

M[x] = 4;

D[x] = 25;

a = -7;

в = 9.

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле

a M[X]

Р(а Х в) Ф

в M[X]

[X]

Среднеквадратическое отклонение

[x]

5, поэтому

D[x]

9 4

7 4

P( 5 X 9) Ф

Ф(1)

Ф( 2,2) Ф(1) Ф(2,2)

Здесь учтена нечётность вспомогательной функции Ф(х)

е 2 dx

2 0

Берём её значение из таблицы: Ф(1) =

, Ф(2,2) =

откуда Р =

Задание 7.6. В партии из

деталей каждая может оказаться стандартной

с вероятностью р.

С помощью локальной и интегральной формул Муавра-

Лапласа вычислить вероятность того, что число стандартных деталей в партии будет:

а) равно m ; б) заключено между m1 и m2 .

p =0,4; n = 350; m = 146; m1 = 135; m2 = 152.

Решение. а) Искомая вероятность при n >> 1, np >> 1 вычисляется по локальной формуле (q = 1 - p)

	1
	1	m np
P
P
1	npq		npq
	npq		npq

1		146 140
1		146 140	0,11 (0,66)


350 0,4 0,6	350 0,4 0,6
350 0,4 0,6	350 0,4 0,6

	1			x2
где вспомогательная функция имеет вид: (x)	1	e	2 .


	2
	2

Для х = 0,66 имеем после вычислений р1 = 0,03.

б) Вероятность вычисляется с помощью интегральной формулы

101


	m	2		np	m	1		np		152 140		135 140
		2				1
P2			npq				npq		350 0,4 0,6		350 0,4 0,6
			npq				npq		350 0,4 0,6		350 0,4 0,6

(1,31) ( 0,55) (1,31) (0,55)
откуда с помощью таблицы для Ф(х) и имеем Р2 =																										+		=
Задание 7.7. Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность
распределения
									1				(bx ay),					(x, y) D(0 x a,						0 y b)

									2		2
		f (x, y) a								b
																		_
																		(x, y) D
							0,											(x, y) D
Найти вероятность попаданий значения (X,Y) в область																									х1 ≤ х ≤ х2 ,			y1 ≤ y
≤ y2 , вероятность попадания значения Х в интервал х1 ≤ х ≤ х2 ,
математическое ожидание
М[x] и условное математическое ожидание M[Y/X = x].
a = 2,					в = 5,					х1 = 1,				х2 = 9,				у1 = - 4,			у2 = 3.
Решение. Найдём вероятность попадания в область S(х1 ≤ х ≤ х2 ,																												y1 ≤ y ≤
y2 ) по формуле Р(х1 ≤ X ≤ х2 ,																y1 ≤ Y ≤ y2 ) =				f (x, y)dxdy.
																				S
При вычислении интеграла учитывается та часть области S, где f ≠ 0,
т.е. 1 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 3:
	3 2					1								1	3	5			2			1	3		15
	3 2					1								1	3	5			2			1	3		15
P dy							(5x	2y)dx										x 2 2yx		dy						6y	dy
	0		1	100										100	0	2			1	100			0		2
	0		1									3			0				1				0
	1		15
	1		15
						y 3y		2					0,495.
						y 3y		2					0,495.
	100		2									0
												0

Плотность вероятности для составляющей Х имеет вид:																									f1(x)		f (x, y)dy .

Если х < 0 или х > 2, то f(x, y) = 0 и f1(x) = 0. При 0 ≤ х ≤ 2 находим
														5	1						x 1
													f (x)				(5x 2y)dy
													f (x)				(5x 2y)dy
											1			0 100						4
														0 100						4
Таким образом плотность имеет вид:
													(x 1) / 4,					0 x 2
							f1		(x)									x 0 или		х 2								(1)
													0,					x 0 или		х 2

102

Тогда

			9					1	2		5
P(1 x 9)			f		(x)dx			1	(x 1)dx		5	0,62
P(1 x 9)			f	1	(x)dx				(x 1)dx			0,62
				1			4				8
			1				4		1		8
						1	2			7
M[x]	xf		(x)dx			1	x(x 1)dx			7	1,17
M[x]	xf	1	(x)dx				x(x 1)dx				1,17
		1			4					6
					4		0			6

Условное математическое ожидание М[Y/X = x] определяется с помощью услов-ной плотности распределения f2(y/x) составляющей Y (т.е. плотности СВ Y при условии, что СВ Х приняла известное значение х):

f		(y / x)	f (x, y)
	2
			f1	(x)

Согласно (1) СВ Х может принимать лишь значения из (2), (1) и условия задачи получаем

	0,					y 0	или y 5
f2			2y)
f2	(y / x) 4(5x		2y)		,	0	y 5
					,	0	y 5
		100(x		1)

Искомое математическое ожидание равно

(2)

0 ≤ х ≤ 2, поэтому

M[Y / X x]			(y / x)dx	4	5	2y)dy	5(3x 4)
	yf				y(5x			(3)
		2
				100(x 1) 0			6(x 1)

Полученная зависимость называется уравнением регрессии Y на Х.

Задание 7.8. СВ Х имеет плотность распределения. Для СВ Y = φ(Х) найти её плотность распределения g(y), вероятность P(а ≤ Y ≤ в), математическое ожидание

M[Y] и дисперсию D[Y].

	3	(x 5)2 ,	5 x 9;	g(x) 2x 3;	a 11,	в 13
		(x 5)2 ,	5 x 9;	g(x) 2x 3;	a 11,	в 13
f (x)	64
		x 5 или x 9
0,		x 5 или x 9
Решение.		Плотность распределения СВ Y = φ(x) даётся формулой
			g(y) = f(ψ(y))/ψ'(y)/			(1)

где х = ψ(у) - функция, обратная к у = φ(х). В данном случае у = φ(х) = 2х - 3,

103

х = ψ(у) = (у + 3)/2. Согласно и условию задачи находим

	3(y 7)		2
				,	7 y 15
g(y)		512
		512
		y 7			или y 15
0,		y 7			или y 15

Остальные величины можно вычислить с помощью g(y) или непосредственно через f(x) по формулам

(в)

5)2 dx 0,3.

P(a

Y в) g(y)dy

f (x)dx

(а)

64 7

3)(x 5)2 dx 37.

M[Y]

yg(y)dy

(x)g(x)dx

(2x

M[Y2

]

y2g(y)dy

2 (x)g(x)dx

(2x 3)2 (x 5)

2 dx 1429.

D[Y] M[Y2 ] M2[Y] 60.

Задание 7.9. Задана матрица перехода системы из состояния i (i = 1, 2) в состояние j (j = 1, 2) за один шаг:

а	в

с	d
Найти матрицу перехода из состояния i		в состояние j за два шага.
а = 0,3, в = 0,7, с = 0,8,		d = 0,2
		0,3	0,7
Решение. Заданная матрица имеет вид:		А
		0,8	0,2

Матрица перехода i → j за n шагов равна Аn и для n = 2 запишется

А2	0,3	0,7	0,3	0,7	0,65	0,35
А2
	0,8	0,2	0,8	0,2	0,4	0,6

104

Решение типового варианта контрольной работы №8.

Задача 8.1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка, представленная в виде статистического ряда (в первой строке указаны выборочные значения xi, во второй - соответствующие им частоты ni). Требуется вычислить

выборочное среднее x , выборочную дисперсию Dв, исправленную выборочную дисперсию S2 и среднеквадратическое отклонение S, эмпирическую функцию распределения.

xi	2	3	5	6	8	9	10
ni	4	10	21	30	20	10	5

Решение. Объём выборки равен

n ni 5 10 20 30 20 10 5 100 . Выборочные среднее и дисперсия вычисляются по формулам

.x n1 xi ni 1001 (2 4 3 10 5 21 6 30 8 20 9 10 10 5 6.23,


Dв		1	(x		)2 n		1	x2n .x			2			1		(22		4 32 10 52 21 6 2 30
		1		x			1							1
				x
		n	i			i	n		i i			100
		n					n					100
82	20 92 10 102						5) (6.23)2					4.19
Исправленная выборочная дисперсия равна
			s2			1	(x			)2 n			n						100	D	4.24
						1			.x				n				D		100
									.x								D
						n 1		i		i			n		1		в		99	в
						n 1							n		1				99

Тогда "исправленное" выборочное среднеквадратическое отклонение будет s 4.24 2.06.

Согласно определению эмпирической функции распределения её значение при лю-бом x равно F*(x) = nx⁄100, где nx - количество элементов xi выборки, меньших, чем x. Например, при x=-1.3 имеем nx= 0, F*(-1.3) = 0;

при x =2.7 nx=4, F*(2.7)=4/100=0.04; при x=3.2 nx=4+10=14, F*(3.2)=0.14; при x =5.8 nx=4+10+21=35, F*(5.8)=0.35 и т.д. Тогда

105

0,	x 2		0.65,	7 x 8
		2 x 3		8 x 9
0.04,			0.85,
F (x)		3 x 5	F (x)	9 x 10
0.14,			0.95,
		5 x 7		10 x
0.35,			1,

Задача 8.2.

По заданным выборочному среднему x и исправленному среднеквадратическому отклонению s найти с доверительной вероятностьюдоверительный интервал для математического ожидания Х] нормально распределённой СВ X, если: а) [X] известно (принять [X]=s); б) [X] неизвестно. Построить доверительный интервал для [X]. Число степеней свободы принять равным трём.

x =24.3; s =8.2; n = 150; =0.95.

Решение. а) В случае, когда среднеквадратическое отклонение (СКО) известно

( [X]=8.2), доверительный интервал для математического ожидания можно запи-сать

x t [x] M[Х] x t [x]

n n

где корень уравнения Φ(t) = /2 = 0.475 отыскивается из таблицы значений функ-ции Лапласа

(t)	1	t	x	2	/2 dx
		e	x
		e
	2π 0

и равен t = 1.96. Вычисляя величину

t [X] 1.96 8.2 1.32

150

находим доверительный интервал (22.98; 25.62).

б) Если СКО неизвестно, в качестве его оценки принимается значение s (X] ≈ s), причём значение t определяется из таблицы распределения Стьюдента при = 0.95 и числе степеней свободы, равном 3 (t=3.18). Тогда

доверительный интервал (х ts / n , x ts / n ) имеет вид (22.17; 26.43).

Доверительный интервал для X] запишется s(1- q) < [X] < (1 + q)

106

где q определяется из таблицы q = q(p, n) и для доверительной вероятности= =0.95 и объёма выборки n=150 равно q = 0.115. Поэтому границы интервала принимают вид

s(1-q) = 8.2(1-0.115) = 7.26, s(1+q) = 8.2(1+0.115) = 9.15, т.е., 7.26 < [X] < 9.15.

Задача 8.3.

1.Выборку значений СВ Х, указанную в условии задачи 8.1 сгруппировать, разбивая отрезок [a,b] (а = min хi; b = max хi) на 5 интервалов [ j , j 1 ] с

границами
		a	b a	j	( j 0,1,2,3,4,5)
	j	a		j	( j 0,1,2,3,4,5)
	j	5
		5

и подсчитать частоты интервалов.

2. Предполагая, что Х распределена по нормальному закону и принимая в

качестве параметров М[X], [X] их оценки x , s вычислить теоретические частоты интерва-лов.

3. С помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости α =0.1проверить, согласуются ли выборочные данные с гипотезой о нормальном распределении величины Х. Число степеней свободы принять равным трём.

Решение. 1. Из статистического ряда задачи 8.1видно, что а=min xi = 2, в = max xi = =10, поэтому (в-а)/5=1.6 и границы интервалов будут ξ0 = 2, ξ1 =

2+1.6=3.6, ξ2 = =3.6+1.6=5.2, ξ3 = 5.2+1.6=6.8, ξ4 = 6.8+1.6= 8.4, ξ5 = 8.4+1.6=10.

Эмпирическая частота rj интервала [ j , j 1 ] (j =0,..,4) подсчитывается с

помощью ряда как число наблюдений, попавших в интервал, отнесённое к объёму выборки n. Так, в первый (j =0) интервал [2;3.6] попало 4+10=14

значений, поэтому r0 = =14/100 =0.14. Aналогично, r1= 0.21, r2=0.3, r3=0.2, r4=0.15.

2. Примем в качестве параметров нормального распределения Х вычисленные в задаче 8.1 значения точечных оценок

M[X] = x = 6.23, [X] = s = 2.06

Теоретические частоты m j интервалов [ j , j 1 ] (j =0,1,..,4) являются вероятностями

107

																													j 1 M[X]							j M[X]
						m j P( j X j 1) (																													) (		)
						m j P( j X j 1) (																									[X]				) (		)
																															[X]					[X]
							j 1												j
						(	j 1					x	)		(				j					x				)			( j 0,1,2,3,4)
						(		s					)		(					s								)			( j 0,1,2,3,4)
								s												s
С помощью таблиц интеграла Лапласа находим
m			(		3.6 6.23					) (						2 6.23					) 0.08,
m	0		(							) (											) 0.08,
	0		2.06												2.06
			2.06												2.06
m			(			5.2 6.23					) (						3.6 6.23										) 0.21
m		1	(								) (																) 0.21
		1	2.06															2.06
			2.06															2.06
m			(		6.8 6.23					) (						5.2 6.23										) 0.31,
m	2		(							) (																) 0.31,
	2		2.06															2.06
			2.06															2.06
m			(	8.4 6.23					) (						6.8 6.23										) 0.25
m	3		(						) (																) 0.25
	3		2.06															2.06
			2.06															2.06
m			(		10 6.23			) (						8.4 6.23									) 0.12.
m	4		(					) (															) 0.12.
	4		2.06												2.06
			2.06												2.06
3. Вычисляем значение
															2								4 (r							j	m	j	)2	0.063
																														j		j

																	набл					j 0									m j
																						j 0									m j

По таблице распределения χ2 Пирсона для доверительной вероятности = 1-α = 0.9 и числа степеней свободы = 3 находим значение 2теор 0.584 .

Поскольку набл2 2теор , гипотезу о нормальном распределении СВ Х следует считать не противоречащей выборочным данным.

Задание 8.4.

По заданной корреляционной таблице найти выборочные средние x, y, среднеквадратические отклонения Χ, Υ, коэффициент корреляции ρΧΥ и уравнение линейной регрессии Y на X. Вычислить условные средние y x по

дан-ным таблицы и найти наибольшее их отклонение от значений, вычисляемых из уравнения регрессии.

108

						Y							0			2					4					6				8				nX
		X
						1							3																						3
						3							2			3					5													10
						5										9					8													17
						7															2					6									8
						9																				4				1					5
11																														7					7
					nY								5			12					15					10				8				50

Решение. Вычислим выборочные средние и среднеквадратические
отклонения для X,Y
					1	x			n					1	(1 3 3 10 5 17 7 8 9 5 11 7) 5.92;
	x				1			i			хi			1
	x				n								50
						i
						i
				1		y			n					1	(0 5 2 12 4 15 6 10 8 8) 4.16;
		y		1				j			yj			1
		y											50
					n	j
					n	j
2						1	(x									1	x 2 n						2		1			(12 3 32 10 52 17 7 2 8
2						1	(x			i		x) 2 n			xi	1	x 2 n		xi			x	2		1			(12 3 32 10 52 17 7 2 8
			x			n i				i					xi	n i		i	xi					50
						n i										n i								50
92 5 112 7) (5.92) 2																8.19;											2.86, 2				1	y 2 n					2

																				x				8.19										yj		y
																				x									y		n	j	j	yj
																															n	j

501 (02 5 22 12 42 15 62 10 82 8) (4.16) 2 5.89,

y 5.89 2.43

Выборочный коэффициент корреляции между Х и У отыскивается по формуле

(xy)

x y

i j

Согласно таблице

(xy) 501 (1 0 3 3 0 2 3 2 3 3 4 5 5 2 9 5 4 8 7 4 27 6 6 9 6 4 9 8 1 11 8 7) 30.8

откуда

109

30.8 5.92 4.16 ρ 0.89

xy	2.86	2.43

Выборочное линейное уравнение регрессии У на Х имеет вид

yx y xy y (x x)

или, с учётом вычисленных значений,

0.75x 0.30

(1)

Условное среднее при x = xi вычисляется по формуле

n x

где n x nij - число выборочных значений yj , наблюдавшихся при

данном xi . Согласно данным из таблицы находим

x 1, n

0 3 0;

x 3, n

10;

(0 2 2 3 4 5) 2.6;

x 5, n

17,

(2 9 4 8) 2.94;

x 7, n

(4 2 6 6) 5.5;

x 9, n

(6 4 8 1) 6.4; x 11, n

8 7 8.

Значения условных средних y x , отыскиваемые по уравнению регрессии

(1):

1 0.75 1 0.3 0.45;

3 1.96;

5 3.45;

7 4.95;

9 6.45;

11 7.96.

Отклонения значений (2), (3) di

xi будут

= 0-0.45=-0.45; d2 = 2.6- 1.96 = 0.65; d3 = -0.51, d4 = 0.55; d5 = -0.05;

= 0.05.

Наибольшее по абсолютной величине отклонение равно 0.65.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.15 Mб0Выпускная квалификационная работа.pdf
#
24.11.2025907.46 Кб0Высокоточное оружие.pdf
#
24.11.20251.39 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч 1.pdf
#
24.11.20254.34 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.19 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20251.45 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры.pdf
#
24.11.20252.41 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 2. Элементы аналитической геометрии.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 3. Элементы математического анализа.pdf
#
24.11.20253.65 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 4. Функции нескольких переменных, неопределенный интеграл.pdf
#
24.11.20251.81 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.pdf