Высшая математика. В 2 ч. Ч 1

(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц

A и

~

A ).

Тогда x3 1,

x2 ( 13 3x3 ) /( 5) 2,

x1 6 2x2

x3 1.

3

4 1

1

3

5

A 1 3

5

~

0 13

16 .

1

4

0

0

4

0

Откуда

x

2

16x3

,

x

17x3

.

13

1

13

Полагая

x3 C (произвольной постоянной), имеем

x

17C

,

x

16C

,

x C .

1

13

2

13

3

Задача 1.3.

По координатам точек

A( 5; 1;6) , B(1;4;3), C(6;3;9) найти:

а). Модуль вектора

a

AB BC .

23

(6; 3; 3);

(1; 4; - 9) ;

AB

BC (5; -1; 6);

a

AB BC

12 42 9 2 1 16 81 98 .

a

б). Скалярное произведение векторов

a

и

b

BC .

( a , b ) 1 5 4 ( 1) ( 9) 6 53.

в). Проекцию вектора c

BC на вектор

d

AB .

6 5 3 ( 1) ( 3) 6

( c

d )

9

пр c

.

d

36

9 9

54

d

г). Координаты точки M ( X M ,YM , ZM ) , делящей отрезок AB в отноше-

нии 1:3;

1

. Следовательно:

3

5

1

1

1

1

4

6

1

3

7

7

21

X M

3

;

YM

3

;

Z M

3

.

1

2

1

4

1

4

1

1

1

3

3

3

а). Найти модуль векторного произведения

c , b .

i

j k

c , b

=

3

5 0

10 i

6 j

14 k ;

1

3 2

102 ( 6)2 142

336 .

c , b

Условие коллинеарности двух векторов

xa

ya

za

.

xb

yb

zb

4

0

4

Т.к.

,

то вектора

a и b неколлинеарны.

1

3

2

Условие ортогональности двух векторов

( a , b ) 0.

Т.к. 4 ( 1) 0 3 4 2 4 0,

то вектора неортогональны.

в). Вычислить смешанное произведение трех векторов

a

4 i 4 k ;

b i 3 j

2 k ;

c

3 i

5 j .

0

4

4

1 3

96 .

( a , b , c )

2

3

5

0

г). Проверить, будут ли компланарны три вектора

a , b , c .

Вектора

a , b , c компланарны, если ( a , b , c ) 0.

x 4

y 7

z 8

6x 7y 9z 97 0 .

1 4

13 7

0 8

0, откуда

2 4

4 4

9 8

x x0

y y0

z z0

,

откуда

x 4

y 7

z 8

.

x x

0

y y

0

z z

0

5

6

8

1

1

1

в).

Прямой A4M , перпендикулярной к плоскости

A1A2 A3 .

Из уравнения плоскости A1A2 A3 следует, что вектор a (6; 7; 9) || A4M , от-

куда уравнение A M имеет вид

x 1

y 8

z 9

.

4

6

7

9

г).

Прямой A4 N , параллельной A1 A2. Значит, вектор b ( 5;6; 8) || A4 N и

уравнение этой прямой имеет вид

x 1

y 8

z 9

.

5

6

8

д).

Плоскости, проходящей через точку

A4 перпендикулярно к прямой

A1 A2.

Вектор b ( 5;6; 8) перпендикулярен искомой плоскости.

Значит, 5(x 1) 6( y 8) 8(z 9) 0 -

ее уравнение, которое приводит-

ся к виду 5x 6y 8z 29 0.

е). Вычислить sin - угла между прямой A A и плоскостью A A A .

1

4

1

2

3

( 3;1;1) ;

sin | cos(A1A4 , a ) |;

A1A4

sin

| 3 6 1

( 7) 1 ( 9) |

34

.

9 1 1

36 49 81

11

166

ж).

Косинус угла между координатной плоскостью Oxy

и плоскостью

A1A2 A3 .

Вектор k Oxy ,

а вектор

a A1A2 A3 .

Поэтому

cos

| 0 6

0 ( 7) 1 ( 9) |

9

.

1

62 ( 7)2 ( 9)2

166

Задача 1.6.

Составить

уравнение плоскости, проходящей через

точки

M (4,3,1) и N( 2,0, 1) параллельно прямой, проведенной через точки

A(1,1, 1) и

B( 3,1,0).

n MN и

Найти вектор n , перпендикулярный искомой плоскости. Вектор

n AB, следовательно, в качестве вектора n можно взять [MN, AB ].

MN

( 6, 3, 2) ; AB ( 4,0,1) ;

i

j

k

6

3 2

[MN, AB]

3 i 14 j 12 k .

4

0

1

Тогда уравнение искомой плоскости 3(x 4) 14( y 3) 12(z 1) 0, ко-

торое приводится к виду 3x 14y 12z 18 0.

Задача 1.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения

прямых

x 2y 3 0 и

x 3y 4 0 перпендикулярно первой прямой. Найдем

точку M 0 :

x 2 y 3 0;

x

0

1;

x 3y 4 0

y0 1.

Вектор a (1,2) параллелен искомой прямой. Поэтому ее уравнение запишем

как

x 1

y 1

;

оно приводится к виду 2x y 1 0.

1

2

27

а)

x2

4 y2

1

z 2

2 0 .

Приведем уравнение к каноническому виду

6

2

x2

y2

z 2

1.

12

1

4

2

Получим уравнение однополостного гиперболоида, ось которого совпадает с

OX ; полуоси эллипса в плоскости Y0Z равны

1

и 2. Построим поверхность.

2

б)

3x2

y 2

z 2

0.

2

4

Приведем уравнение к каноническому виду

x2

y2

z2

0 .

1

6

12

Найти dy / dx , если y tg ln x3

x

4

y 2sin x

2

Задача 2.1.

,

3 x ,

1 x5

y

arcsin( x2

5x)

.

x

29

Решение. а). Для y tg ln x3

x4

имеем

1 x5

4

dy

x

y

(tg ln x3 )

dx

1 x5

1

(ln x3 )'

(x

4

)'(1 x

5

) x

4

(1 x

5

)

cos2 ln x3

(1 x5 )2

4x

3

x

5

x

4

5x

4

x

3

x

5

3

1

4

1

(x

)