Высшая математика. В 2 ч. Ч 1

2.

x 0, 2y x,

x y 4

x

2

3.

y x2 , y 0,

x 1

2 y

4.

y 1 x2 ,

x 0,

y 0

x y

5.

2y x2 , y 8

2x2

6.

x2 y2 9, y 0 y 0

4 y

7.

x 0, 2x 3 y 0, y 0

x

2

8.

2x2 y, x 0, y 2

x 2y

9.

y x2 1 x ,

y 0

2x 1

10.

x y 5,

x 0,

x y 0

2x 3

11.

y 31 x2

,

y 0

x2 6

12.

y

, x 0, y 2

xy

x

13.

y 3 e x ,

x 0,

y 0,

x 1

4 x

14.

y 2x, x 1,

y 0

e

2x

15.

x 2y 7,

x y 0, x 0

x

y

16.

x y2 , x 4

2x y2

17.

y sin2x 1,

x 0, x , y 0

x 2

18.

y 2ln x,

y 0,

x 1,

x 2

4x 1

19.

x 2y2 ,

x 8

y 0

5y 3

20.

y 2x 3,

y 5x2 , x 0

7 x

21.

x 4 y2 ,

x 0,

y 0

y 0

2x 5

22.

2x y 4 0,

y 3x, y 0

2 y

23.

y x3, y 0,

x 8

x 2y

24.

x 4 y,

x 0,

y 3

2 y2 3

25.

x2 y2 5, x 3

6 y

26.

y

1,

y 0,

x 0,

x 4

2x 5

x

27.

y ex 1,

x 1,

x 2,

y 0

x

28.

2y x, y 4 2x,

x 0

x 3y

29.

y 9 x2 , y 0

xy

30.

y ln x 2 , y 0,

x 0,

x

3

2 x

вар.

1.

y x2 0,

x 0,

y 4,

z 0,

z 2x 4

2.

z x2 ,

y 0,

z 3,

y x

3.

y 1 x2 ,

x 0,

y 0,

z 0,

z x

4.

z 4 y2 ,

x 0,

z 0,

z x

5.

2x y z 4,

x 0,

y 0, z 0, x 1

6.

z 1 y2 ,

x 0,

z 0,

z 2x

7.

y 4x2 0,

x 0,

y 4,

z 0,

z y 4

8.

z 3 x2 ,

y 0,

z 0,

y 4,

x 1

9.

z y2 ,

x 0,

z 0,

y x, y 1

10.

z x 2y,

x 0,

y 0,

x y 4, z 0

11.

4y x2 0,

x 0,

y 1,

z 0,

z y 1

12.

y 1 x2 ,

x 0,

x 1,

y 0,

z 0,

z 3 x

13.

z 2 y2 ,

x 0,

z 0,

z 2x

14.

x

2 y

x

4, x

0, z

0, y

0, y

1

y

1

15.

x y 2z 4,

x 0,

z 0, y 0, x 2

16.

z 3x2 ,

y 0,

z 0,

y 2x,

x 1

(b)

работу силы

f1 x, y , f2 x, y вдоль траектории L от точки A до точ-

F

ки B с помощью криволинейного интеграла второго

рода f1dx f2dy

L

1.

f x2 ,

f

2

xy;

L - отрезок прямой между

A 0, 2 ,

B 3,0 .

1

2.

f

2 y,

f

2

1;

L - дуга параболы y 3x2

между

A 1,3 , B 1,3 .

1

3.

f1 x y,

f2 x y;

L - отрезок прямой между A 1,2 , B 3,4 .

4.

f

x,

f

2

5;

L

-

четверть окружности

x2 y2 1 между

1

A 1,0 , B 0,1 .

5.

f

4 y,

f

2

x;

L - дуга параболы y 1 x2

между A 2, 3 , B 0,1 .

1

6.

f

2x y,

f

2

3;

L - дуга параболы x y2

между A 0,0 , B 4,2 .

1

7.

f

x 2y,

f

2

x2

y2; L - отрезок прямой между A 2,1 , B 1,3 .

1

9. f 2x 3y,

f

2

x; L - дуга параболы

y x2 / 2

между

1

A 2,2 , B 4,8 .

12.

f

x2 y2 ,

f

2

xy; L - отрезок прямой

между A 1,0 , B 0,2 .

1

13.

f1

x y, f2

7; L - полуокружность x2 y 1 2 1 между A 0,0 ,

B 0,2 .

14.

f

2y, f

2

x;

L - дуга параболы y 2x2

1 между A 0, 1 , B 1,1 .

1

17

15.

f 3x,

f

2

x2

y2 ;

L - отрезок прямой между A 2,0 ,

B 3,4 .

1

16.

f1 x2

5 y, f2

y2 ;

L - четверть окружности x 1 2 y2

4 между

A 1,2 ,

B 1,0 .

17.

f

x y,

f

2

2x; L - дуга параболы y 3x2 между

A 0,0 , B 1,3 .

1

18.

f

x2

3xy,

f

2

y; L - отрезок прямой между A 0,0 ,

B 1,2 .

1

19.

f1 y2

- 4x2 , f2 x y; L - четверть окружности x 1 2

y 1 2 4

между A 1,3 ,

B 1,1 .

20.

f

4x y, f

2

x; L - дуга параболы y 3 2x2 между A 0,3 , B 1,1 .

1

26.

f

5x,

f

2

x 4y;

L - дуга параболы y 2x2 3 между A 0,3 , B 1,5 .

1

27.

f

6x2

y2 ,

f

2

x2

7 y2; L - отрезок прямой между A 2,3 , B 1,4 .

1

28.

f1

3x 2 y,

f2 x y; L - четверть окружности x 3 2

y2 9 между

A 3,3 ,

B 0,0 .

29.

f

x 5y,

f

2

3x; L - дуга параболы x 1 y2 между

A 0,1 , B 1,0 .

1

30.

f

x2

3xy,

f

2

y2 - 2x2; L - отрезок прямой между A 2,4 , B 1,6 .

1

Задача 4.11.

С помощью поверхностного интеграла первого рода

Q

ndS v1n1 v2n2 v3n3 dS

v

S

S

вычислить расход Q жидкости с полем скоростей

v 1 x, y, z ,v 2 x, y, z , v 3 x, y, z ,

протекающей за единицу времени через

v

часть S

плоскости

ax by cz d 0,

лежащую в первом октанте. Единичная

нормаль

направлена вне начала координат.

n

№

v 1

v 2

v 3

a

b

c

d

вар.

1

2x z

0

y

3

1

2

6

2

0

2x y

z

1

1

2

2

3

x z

3y z

0

2

3

1

8

4

y 5z

z

2 x

4

1

3

9

5

x 2z

0

y x

1

2

3

6

6

7 y

x 3z

0

2

3

1

4

7

5x

y z

0

2

1

5

8

8

y

x

z

z

1

2

4

6

9

0

2y z

y 2z

3

4

2

9

19

10

z

2x y

z

3

2

1

6

11

x 2z

3y

0

2

1

3

8

12

2x y

z

0

1

3

2

6

13

5z

x y

1

4

1

2

8

14

5

y

2x 3

z

2

4

1

8

15

7 y 2z

0

x 2y

1

4

2

6

16

y

2x z

5

5

3

1

1

0

17

z 2x

y

3

3

5

1

1

0

18

3y

x 2z

0

3

1

2

6

19

y 3x

z

4

2

1

1

4

20

0

5x 4y

2z x

1

2

4

6

21

3y z

0

x z

1

3

2

6

22

2x y

x z

4

2

3

1

6

23

7 y 2z

4

x 2

2

3

4

9

24

z 3y

3x 2

0

4

2

1

8

25

7y 3

z x

-8

3

1

5

1

0

26

2y x

x 2z

10z

3

4

1

8

27

8y x

5 y

z

1

4

3

1

2

28

2 x

z

y z

3

4

2

8

29

x 3y

0

8 z

2

4

3

1

0

30

7

8y 2z

z

4

3

2

9

1

2

1

6

1 2

1

6

1 2

1

6

~

A

2

- 1 1

1

~

0 - 5

3

13

~

0 - 5

3

13 .

1

5

0

8

5

5

3

0 - 5

18

0 0

~

3 (числу неизвестных системы). Значит, ис-

Следовательно, rangA rangA

ходная система совместна и имеет единственное решение.

а). По формулам Крамера:

x

1

;

x

2

2

;

x

3

,

где

1

3

2

-1

6

2

1

1

A

2

-1

1

25;

1

1

1

1

25;

3

1

5

0

1

5

6

1

1

2

6

1

2

2

1

1

50;

3

2

-1

1

25 .

3

0

5

3

1

0

Находим

x

- 25

1; x

- 50

2;

x

25

1.

1

25

2

25

3

25

21

б). С помощью обратной матрицы

X A 1H ,

где A 1 - обратная матрица

к A , H - столбец правых частей.

A

A

A

1

11

21

31

A 1

A

A

A

.

A

12

22

32

A23

A13

A33

A

1

1

2

1

2

-1

6 ;

A

7 ;

A

5;

11

1

5

12

3

5

13

3

1

- 1

1

- 1

1

2

A

2

11;

A

8 ;

A

5 ;

21

1

5

22

3

5

23

3

1

- 1

1

- 1

1

2

A

2

3 ;

A

3 ;

A

5 .

31

- 1

1

32

2

1

33

2

- 1

Решение системы

x

6 -11

3

6

1

1

1

x x2

- 7