Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. В 2 ч. Ч 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

5.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2, -3) и точку пересечения прямых 2х - у = 5 и х + у = 1.

6.Доказать, что четырёхугольник АВСD - трапеция, если А(3, 6), В(5, 2),

С(-1, -3), D(-5, 5).

7.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2, 5), С(1, 0).

8.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 1) параллельно прямой MN, если М(-3, -2), N(1, 6).

9. Найти точку, симметричную точке М(2, -1) относительно прямой	х -
2у + 3 = 0.

10.Найти точку О пересечения диагоналей четырёхугольника АВСD, если

А(-1, -3), В(3, 5), С(5, 2), D(3, -5).

11.Через точку пересечения прямых 6х-4у+5=0, 2х+5у+8=0 провести прямую, параллельную оси абсцисс.

12.Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4х + у = 12, его высот ВН 5х - 4у = 12 и АМ х + у = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника АВС.

13.Даны две вершины треугольника АВС: А(-6, 2), В(2, -2) и точка пересечения его высот Н(1, 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

14.Найти уравнения высот треугольника АВС, проходящих через вершины

Аи В, если А(-4, 2), В(3, -5), С(5, 0).

15.Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки

А(2, 3), В(0, -3), С(6, -3).

16.Составить уравнение высоты, проведённой через вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон: АВ - 2х - у - 3 = 0, АС - х + 5у - 7 = 0,

ВС - 3х - 2у + 13 = 0.

17.Дан треугольник с вершинами А(3, 1), В(-3, -1) и С(5, -12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведённой из вершины С.

18.Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2х + 3у + 4 = 0.

19.Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3х + 5у - 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

20.Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3у = 0, х - у - 4 = 0, 3х + у - 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

21.Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника АВС, ес-

ли А(4, 6), В(-4, 0), С(-1, -4).

22.Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.

23.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 450; б) 900; в)00.

24.Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(- 6, -6) и В(-3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3?

25.Через точку пересечения прямых 2х - 5у - 1 = 0 и х + 4у - 7 = 0 провести

прямую, делящую отрезок между точками А(4, -3) и В(-1, 2) в отношении = 2/3. 26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х - 5у - 1 = 0 и 2х - 5у - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х+3у-6=0. Найти уравнение второй диагона-

ли.

27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(-3, 1), В(7, 5) и С(5, -3).

28.Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1, 1) под углом

450 к прямой 2х + 3у = 6.

29.Даны уравнения высот треугольника АВС 2х-3у +1=0, х + 2у + 1 = 0 и координаты его вершины А(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

30.Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2у = 0, х - у - 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3, -1). Найти уравнения двух других сторон.

Задание 1.8

Построить поверхности и определить их вид (название). 1. а) 4х2 - у2 - 16z2 + 16 = 0; б) х2 + 4z = 0.

2. а) 3х2 + у2 + 9z2 - 9 = 0; б) х2 + 2у2 - 2z = 0.

3. а) -5х2 + 10у2 - z2 + 20 = 0; б) у2 + 4z2 = 5х2.

4. а) 4х2 - 8у2 + z2 + 24 = 0; б) х2 - у = -9z2.

5.а) х2 - 6у2 + z2 = 0; б) 7х2 - 3у2 - z2 = 21.

6.а) z = 8 - х2 - 4у2; б) 4х2 + 9у2 + 36z2 = 72.

7. а) 4х2 + 6у2 - 24z2 = 96; б) у2 + 8z2 = = 20х2.

8. а) 4х2 - 5у2 - 5z2 + 40 = 0; б) у = 5х2 + 3z2.

9.а) х2 = 8(у2 + z2); б) 2х2 + 3у2 - z2 = 18.

10.а) 5z2 + 2у2 = 10х; б) 4z2 - 3у2 - 5х2 + 60 = 0.

11.а) х2 - 7у2 - 14z2 - 21 = 0; б) 2у = х2 + 4z2.

12.а) 6х2 - у2 + 3z2 - 12 = 0; б) 8у2 + 2z2 = х.

13.а) -16х2 + у2 + 4z2 - 32 = 0; б) 6х2 + у2 - 3z2 = 0.

14.а) 5х2 - у2 - 15z2 + 15 = 0; б) х2 + 3z = 0.

15.а) 6х2 + у2 + 6z2 - 18 = 0; б) 3х2 + у2 - 3z = 0.

16.а) -7х2 + 14у2 - z2 + 21 = 0; б) у2 + 2z2 = 6х2.

17.а) -3х2 + 6у2 - z2 - 18 = 0; б) х2 - 2у = -z2.

18.а) 4х2 - 6у2 + 3z2 = 0; б) 4х2 - у2 - 3z2 = 12.

19.а) z = 4 - х2 - у2; б) 3х2 + 12у2 + 4z2 = 48.

20.а) 4х2 + 5у2 - 10z2 = 60; б) 7у2 + z2 = 14х2.

21.а) 9х2 - 6у2 - 6z2 + 1 = 0; б) 15у = 10х2 + 6у2.

22.а) х2 = 5 (у2 + z2); б) 2х2 + 3у2 - z2 = 36.

23.а) 4х2 + 3у2 = 14х; б) 3х2 - 4у2 - 2z2 + 12 = 0.

24.а) 8х2 - у2 - 2z2 - 32 = 0; б) у - 4z2 = 3х2.

25.а) х2 - 6у2 + z2 - 12 = 0; б) х - 3z2 = 9у2.

26.а) 2х2 - 3у2 - 5z2 + 30 = 0; б) 2х2 + 3z = 0.

27.а) 7х2 + 2у2 + 6z2 - 42 = 0; б) 2х2 + 4у2 - 5z = 0.

28.а) -4х2 + 12у2 - 3z2 + 24 = 0; б) 2у2 + 6z2 = 3х.

29.а) 3х2 - 9у2 + z2 + 27 = 0; б) z2 - 2у = -4х2.

30.а) 27х2 - 63у2 + 21z2 = 0; б) 3х2 - 7у2 - 2z2 = 42.

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2

Дифференцирование и исследование функций

Задание 2.1

Найти

cos 2x

ln tgx2 ;

y e x2 arctg2x;

y arcsin x х 2 .

sin x

ln 1 tgx ;

y ln e x e 2x ;

y tgx arctgx .

cos 2x

sin 2x

y 1 e 2x arccos x;

y arctgx

1 x

;

1 cos x

ln 1 sin x

4. y cos x sin x ; cos x sin x

		cos x
5.	y ln 1		;

		1 sin x

				1

y e 3x 1 ln x ;			y arccos x arccos x .
	1			2

y		;	y 1 x 1 x	.
	cos 2x
1

sin x

y 1 cos x sin x .

;

y arctg e

;

cos 2x

sin x

1 arctg4x ;

y 1 2x

cos x

y ln 1

;

y ecos x

cos2

ctg 2 x

y arctg 1

;

y ln 1 x 1 x

cos x

cos 2x

				1
y	2 sin x cos x	;	y ln 1 e x arccos 2x;	y arcsin x x	ln 1 x .
y	2 cos x sin x	;	y ln 1 e x arccos 2x;	y arcsin x x	ln 1 x .
	2 cos x sin x

10.y

11.y y

y cos x sin ln x ;

e cos x ;

y xsin x .

1 cos2

cos x cos 3x

ln 1

;

sin x sin 3x

cos 2x

arccos 1 x arcsin 1 4x 2 ;

y x x

12.

y cos x

1 cos x

;

y e 2x arctg x 2 1 ;

y cos x sin x x2 x .

1 sin x

13.

cos 2x sin x

;

y e x2 tg 2x x 2 ;

y x sin x x2 1 .

1 tg 2 x

14.

tgx ctgx

;

y ln 1 x 2 e x 4x2

;

y x x 2 1 tgx .

cos x sin x

15.

ctg2x

ln 1 ctg2x ;

1 x arctg 1 x

y 1 arcsin x cos

y e

;

x .

1 ctg2x

16.

y ln tg

;

y x

1 arctg

x ;

x 2 1

cos

cos x

4 cos

1 4 cos x

17. y ln tg	e2 cos x				1 e2x ;	y	x	x a arcsin x;
17. y ln tg					1 e2x ;	y	x	x a arcsin x;
		4
		2	a	2	x2 a2
	x	2		2	.
y 1	x				.

35

18. y

x 2 e x ecos x x x ;

y e x2 arctgx2 ;

y e x 1 x2 x 1 .

					2				x
19. y ln cos x	1 cos					x	arctg			;
19. y ln cos x	1 cos					x	arctg			;
								x 2	1
		2
y 1 arctgx 1 cos			x	.

	ax b
y arctg			;
y arctg			;

cx2 dx		e

20. y ln 1 4 cos2 x

;

y xe x

arccos 4x ;

tg 2 x x

x 1 3

x x .

x 3 2

21. y cos x ln x x 2

11 ;

y sin x 2

2 x

y arccos

;

ax b

22.

ln cos

; y e x

1 e2x

artgex ;

y 1 4x 2

4x 4 .

cos x

			1
23. y x 1 1					1
23. y x 1 1					1
			x 2
			x 2	1
		2x		x	2
y tg			x1	x	.
y tg			x1		.

	x 2 1
24. y	x 1 e x		1 e x ;
y ax 2 bx c x.

1			y tgx cos n arccos x ;
		;
		;
1 cos2
1 cos2	x

y sin n arccos x 2xe arccos x ;

25. y x x 1 cos2			x ;		y	e	x2		cos n arccos x ;
						e

						1 e x		2
						1 e x		2
	1			x2	x 1
y		cos x			.
y		cos x			.
	x 2
1	x 2

26.

y arccos

1 e

;

arccos

;

2tg 2 x

1 x 2

cos

sin x

y ecos x 1 arctg4x ;

y 1 2x

cos x

27.

y ln 1

;

cos2 x

cos2

ctg 2 x

28. y arctg 1

;

y ln 1 x 1 x

cos 2x

x cos x

29. y	2 sin x cos x				;		y ln 1 e x arccos 2x;
29. y	2 cos x sin x				;		y ln 1 e x arccos 2x;
	2 cos x sin x
	1					1		y cos x sin ln x ;
30. y				e		cos x ;


	1 cos2
	1 cos2		x
								Задание 2.2
Найти	d 2 y	.
Найти	dx 2	.
	dx 2

1 ln 1 x
y arcsin x х	.

y xsin x .

		y arctg t 1 ;
1. y x 2 1 ln x ;	y x e y x ;
1. y x 2 1 ln x ;	y x e y x ;
			t	2	.
		x 1	t		.

	2			y cos t;
			x y 1 ln 1 x y ;
2. y arctg e x		;	x y 1 ln 1 x y ;				.
					t	2
				x sin 1	t

			y	y ln t;
3. y cos2 xe2x ;	y x 2	e x ;
3. y cos2 xe2x ;	y x 2	e x ;			1 t	2
					1 t	2
				x e		.

4. y xe3x ;	e x y cos x 2 y 1 ;	y cos t;
4. y xe3x ;	e x y cos x 2 y 1 ;
		x sin 2t .


5. y x 2 cos 3x;	y x sin	y		y e		t	;
			;
		x	;
		x
				x	sin t .

	y cos 4x 2 x ;	y e y x ;	y t cos t;
6.	y cos 4x 2 x ;	y e y x ;
			x sin t .

	y ctgx x 2e x ;	y ln x y y 2 x 2 ;		y e	2t	;
7.				y e		;
7.

				x sht .
		x y arctg x 2 y 2 ;		y ln t;
8.	y x 1 cos 2x;
8.	y x 1 cos 2x;						2t
							2t	.
				x e				.

t arccost;

9. y x x ;

e xy ln 1 x y ;

y cos

x 2t e

y sin t;

10.

ln 1

;

1 t

11. y x 2	1 e 3x ;			y cos 2t;
		e x y x 2	y 2 ;
		e x y x 2	y 2 ;		2t	2
					2t	2
				x e		.

12.y x3 1 ln 1 x 2 ;

13.y sin 2 x 1 e 3cos x ;

		1
14.	y 1			ln x;
14.	y 1			ln x;
		cos2
		cos2	x

cos

y x 2 y x 2 e x y ;

t 2

x e

cos t

;

e x

y cos x 2

y 2 ;

x ln cos t .

;

x 2 4 y 2 ye x ;

y cos 1 t

x 2arctgt

					y 2 sin t;
15. y xln x ;	arctg x y		1
				;		1
				;		1
		x 2	y 2		x		.
		x 2	y 2		x	sin 2 t	.
						sin 2 t

1 t

;

y x 2 cos x 2

1 ;

y 3 x3 2xy 1;

16.

1 t

x ln 1

y 2t 2

3t;

y arctg

y x 2 e x ;

17.

;

x sin 2 1

1 t 2

y x ln x 2

y 2 ;

y sin n arcsin x ;

18.

y a cos

19.

y eax

c ;

y x sin

;

b sin t .

y x 2

a 2 ;

xy3 2 y x3

y 2t cos t;

20.

x 2t sin t .

x y

2x y

1 t

21.

y ln x

1 x

;

x y

cos 1 t 2 .

;

y 2a cos 1 t

22.

;

2 y 2 ln 1

;

x 2b sin 1 t

y sin 1 arcsin x ;

x 2 arctgy y 2

x 2 ;

y 2at cos t;

23.

at sin t .

t 2 ;

24. y	2x		;	cos3

	x 2	1

25.

y x 2

x 2 1 ln x; x 2

26.

y 1 x 2 arccos cos x ;

				2m
		y						;
		y						;
x cos3	y 3 cos x cos y;		1 4tg			2	t
x cos3	y 3 cos x cos y;		1 4tg				t
				e t	2	.
		x		e t		.
			2

arcsin x y y 2 ;

	1
y cos 1	1	x;
y cos 1		x;

	xy

y arctg t 2 1 ;

x 2 sin t 1 .

y 2t 2 ex e 2 t 1 .

y 2t 2

3t;

y arctg

y x 2

e x ;

27.

;

x sin 2

1 t 2

	y x ln x 2	y 2 ;			2	1;
28. y sin n arcsin x ;			y 2t			1;
28. y sin n arcsin x ;
				t	e		at	.
			x e		e			.

29.y eax2 bx c ;

30.y x 2 a 2 ;

xy3

	y
x sin	y		y
		;
		;
	x
			x
2 y x3			a;

Задание 2.3

a cos2 t; b sin t .

y 2t cos t;x 2t sin t .

Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя.

1 cos 2x lim ; x 0 ln 1 x 2

lim tgx sin x ;

x 0 x3

	x		1
lim				;
lim				;
x 1 x 1			ln x
	1		1
lim				;
lim				;

x 0 x		e x 1

lim ln ctgx tgx.

x 0


	5		3x
lim 1		.
lim 1		.
x 0	x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20256.55 Mб2Выполнение чертежей одноэтажного промышленного здания.pdf
#
24.11.20252.01 Mб0Выполнение экономической части дипломного проекта.pdf
#
24.11.20251.15 Mб1Выпускная квалификационная работа.pdf
#
24.11.2025907.46 Кб0Высокоточное оружие.pdf
#
24.11.20251.39 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч 1.pdf
#
24.11.20254.34 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.19 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20251.45 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры.pdf
#
24.11.20252.41 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 2. Элементы аналитической геометрии.pdf
#
24.11.20252.26 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 3. Элементы математического анализа.pdf