Высшая математика. В 2 ч. Ч 1
.pdf
Для y 1 2x2 , |
0 x 1 имеем |
1
q 2 x
1 16x2 dx.
0
Используем подстановку
x |
1 |
|
dx |
du |
, tgu1 4 |
|
u1 |
|
|
|
|
tgu, |
|
0 |
. |
||||||
4 |
4cos2 u |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Тогда
|
1 |
u1 |
du |
|
|
1 |
u1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
u1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
17 |
17 1 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
q |
tgu |
|
|
|
d cos u |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8 |
|
|
3 |
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
24 |
|
3 |
|
|
|
24 |
|
|
|||
0 |
cos |
|
u |
0 cos |
|
u |
|
24 cos |
|
u |
|
0 |
cos |
|
u1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б). Работа силового поля с компонентами f1 x, y , f2 x, y вдоль траектории АВ запишется
W f1 x, y dx f2 x, y dy.
L
(1). Для четверти окружности приведем интеграл к определенному по фор-
муле
|
tB |
|
|
|
|
W f |
|
||
|
1 x t , y t x t f2 |
x t , y t y t dt |
||
|
t A |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 3 2cost 2sint 4 2cost 2sint 2cost dt |
|||
|
3 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
4cost 6sint 3sin 2t dt 26. |
|
|
3 2
(2). Для дуги параболы
53
|
|
xB |
1 |
2 |
|
7 |
|
|
|
W f1 x, y x f2 x, y x y x dx 2x x 1 2x |
4x dx |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x A |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Задача 4.11. Вычислить |
расход жидкости с полем скоростей |
||||
|
|
1 x, y, z , 2 x, y, z , 3 x, y, z , |
|
||||
|
протекающей за единицу времени через часть |
||||||
S плоскости ax by cz d 0, лежащей в первом октанте. Единичная нормаль n направлена вне начала координат.
1 x, y, z z 2x, |
2 x, y, z 1, |
3 x, y, z 3y x; |
|
a 5, |
b 4, |
c 3, |
d 10. |
Решение. Искомый расход дан формулой
Q 1n1 2n2 3n3 dS .
S
Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты
n |
|
|
|
a |
|
|
|
5 |
, n |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
, n |
|
c |
|
|
|
|
3 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
a2 b2 c2 |
|
|
50 |
|
|
|
|
a2 b2 c2 |
|
50 |
3 |
|
a2 b2 c2 |
|
|
|
50 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Q |
|
1 |
(5 (x, y, z(x, y) 4 |
|
|
|
(x, y, z(x, y)) 3 |
|
(x, y, z(x, y)) |
1 (Z 1 ) 2 (Z 1 ) 2 dxdy, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
50 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где уравнение поверхности S записано в явном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (x, y) |
10 |
|
5x |
|
4 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Область D является проекцией S на плоскость x, y и ограничена линиями |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, y 0, |
|
5x 4y 10 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Внося в двойной интеграл заданные функции, находим
|
|
|
|
|
|
|
Q |
1 |
(62 28x 11y)dxdy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний запишется через повторный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
2 |
(10 5x) / 4 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Q |
dx |
|
|
|
(62 28x |
11y)dxdy |
dx(62 y 28xy |
y 2 |
10 |
|
5x |
/ 4 |
||||||||||||
9 |
|
|
9 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
2 |
(62 28x)(10 5x) |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
11 |
|
5x) 2 ) dx |
125 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
(10 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
9 |
|
|
|
4 |
32 |
36 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
55
С о д е р ж а н и е
Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Типовые программы курса «Высшая математика». Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Программа курса «Высшая математика» для инженерных специальностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Программа курса «Высшая математика» для экономических специальностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Правила оформления контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Выбор варианта контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задания контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
К о н т р о л ь н а я р а б о т а |
№ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
К о н т р о л ь н а я |
р а б о т а |
№ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
К о н т р о л ь н а я |
р а б о т а |
№ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Примеры решения задач контрольных работ . . . . . . . . . . .
Решение типового варианта контрольной работы № 1 . . . . . . . . . . . . .
Решение типового варианта контрольной работы № 2 . . . . . . . . . . . . .
Решение типового варианта контрольной работы № 3 . . . . . . . . . . . . .
Решение типового варианта контрольной работы № 4 . . . . . . . . . . . . .
57
Учебное издание
Высшая математика
Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных и инженерно-экономических специальностей приборостроительного факультета
В2-х частях
Ча с т ь I
Составители: ИБРАГИМОВ Владислав Ахмедович СТРЕЛЬЦОВ Сергей Викторович МЕЛЕШКО Алексей Николаевич
ВИШНЕВСКАЯ Ольга Геннадьевна
Редактор Т.Н.Микулик
Подписано в печать 21.01.2000.
Формат 60х84 1/16. Бумага тип. № 2. Офсет. печать. Усл.печ.л. 5,9. Уч.-изд.л. 4,5. Тираж 200. Заказ 544.
Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусская государственная политехническая академия.
Лицензия ЛВ № 155 от 30.01.98. 220027, Минск, пр. Ф.Скорины, 65.