46.Законы распределения случайных величин: равномерный, биномиальный, Пуассона, нормальный.

49.Задачи математической статистики. Выборка. Эмпирическая функция распределения. Полигон, гистограмма.

5)после каждого решения оставлять место для возможных замечаний рецензента;

6)незачтенные работы не оформлять заново (если на необходимость этого не указано рецензентом). Исправленные решения задач приводятся в конце работы.

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

45.Математическое ожидание для дискретной и непрерывной случайной величины. Дисперсияиквадратическоеотклонение, ихсвойства.

47.Понятиеопредельныхтеоремах. Законбольшихчисел.

48.Элементытеориимассовогообслуживания.

Тема10. Математическаястатистика(МС)

50.Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Методы полученияоценок.

51.Интервальныеоценкинеизвестныхпараметровраспределения.

52.Проверкастатистическихгипотез.

53.Элементыкорреляционногоанализа.

54.Элементырегрессионногоанализаипрогнозирование.

Тема11. Методыоптимизации(МО)

55.Общая постановка задач линейного программирования. Из ометрическийметод.

56.Симплекс-метод. Метод искусственного базиса. Двойственный сим- плекс-метод.

57.Транспортнаязадача. Методраспределенияресурсов.

58.Методпотенциалов.

59.Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори. Градиентныеметодырешениязадачнабезусловныйэкстремум.

60.Условныйэкстремум. ТеоремаКуна-Таккера.

Основная литература

1.Карасев А.И. и др. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2 ч. - М.: Высш. Школа, 1982. - Ч. 1. - 272 с. - Ч.2 - 320 с.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т. -

М.: Наука, 1978. - Т. 1. - 456 с. - Т. 2. - 576 с.

3.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -

М., 1980.

4.ШипачевВ.С. Основывысшейматематики. - М., 1989.

5.ШипачевВ.С. Высшаяматематика. - М., 1985.

6.ШестаковА.А. идр. Курсвысшейматематики. - М., 1987.

7.МантуровО.В. идр. Курсвысшейматематики. - М., 1986.

8.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.,

1977.

9.ДанкоП.Е. идр. Высшаяматематикавупражненияхизадачах. - М., 1980.

10.Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Г.И.Кручковича.

-М., 1973.

11.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическойстатистике. - М., 1979.

12.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. В 3 ч. / Под ред. проф. А.П.Рябушко. - Мн., 1990. – Ч1-3.

13.Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математическойстатистике/ Подред. проф. А.П.Рябушко. - Мн., 1992.

14.Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. - М.: Финансыистатистика, 1982.

15.Акулич И.Л.. Математическое программирование в примерах и задачах.

-М.: Высш. школа, 1993.

16.Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математическойстатистике/ Подред. А.П.Рябушко. - Мн.: Выш. школа, 1992.

17.Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач поматематическомупрограммированию. - Мн.: Выш. школа, 1978.

18.Кузнецов А.В., Новиков Г.И., Холод Н.И. Сборник задач по математическомупрограммированию. - Мн.: Выш. школа, 1985.

Дополнительнаялитература

1.НикольскийС.М. Математическийанализ. - М., 1987.

2.ВоеводинВ.В. Линейнаяалгебра. - М., 1980.

3.ВентцельЕ.С. Теориявероятностей. - М., 1979.

4.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.:

Наука, 1980.

5.Гачев Э.М., Кушниренко А.Г., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимальномууправлению. - М.: Изд-воМГУ, 1980.

6.КармановВ.Г. Математическоепрограммирование. - М.: Наука, 1975.

7.ЗайченкоЮ.П. Исследованиеопераций. - Киев: Вищашкола, 1975.

3.Контрольные работы

3.1.Правилаоформленияконтрольныхработ Привыполненииработнеобходимо:

1)указывать на титульном листе номер работы, название дисциплины, номер курса и название факультета, номер зачетной книжки, фамилию, имя и отчество, обратныйадрес;

2)решениязадачприводитьвпорядке, указанномвзадании;

3)перед каждым решением указывать полный номер задачи (например,

4.2.17- четвертаяработа, задание2, вариант17) иееусловиесогласнозаданию;

4)решения приводятся с необходимыми краткими пояснениями, крупным и разборчивымпочерком;

26. Прикакихзначениях n иАпрямая

перпендикулярна

кплоскостиАх+ 2у- 2z - 7 = 0?

Принесоблюденииуказанныхтребованийработанерецензируется. Прорецензированные и зачтенные контрольные работы вместе со всеми ис-

правлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления зачтенных контрольных работ студент не допускаетсяксдачезачетаиэкзамена.

3.2.Выборвариантаконтрольнойработы

Номер варианта для каждой задачи выбирается по двум последним цифрам номера зачетной книжки. Если это число превышает 30, то из него вычитается число, кратное 30, так, чтобы остаток оказался меньше 30. Этот остаток есть номер варианта. Например, номер зачетной книжки оканчивается на 76. Тогда номервариантазаданияравен

76-2*30=16.

Примечание. Количество и содержание заданий контрольных работ, выполняемыхв каждомсеместре, определяетсястудентамнаустановочнойсессии.

3.3.Заданияконтрольныхработ

Контрольная работа № 1

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задание1.1

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместностирешитьее:

а) поформуламКрамера; б) с помощьюобратнойматрицы(матричнымметодом); в) методомГаусса.

x2 3x3 7,

1.2x1 3x2 x3 1,3x1 2x2 x3 6.2x1

	3x		2x		2		4x		3	12,
		1
3.		3x1 4x2 x3 1,
		2x		x		2	x	3		4.
			1
	4x1 x 2 3x3 9,
5.		x1 x 2 x3 2,

			3x 2				6x3 12.
	8x1

2x1 3x2 4x3 12,

7.7x1 5x2 x3 33,

4x1 x3 7.

2x1 x2 2x3 3,

9.x1 2x2 2x3 4,4x1 x2 4x3 3.

3x1 x2 x3 12,

2.x1 2x2 4x3 6,5x1 x2 2x3 3.

8x1 3x2 6x3 4,x1 x2 x3 2,

4x1 x2 3x3 5.4.

	2x 3x		2	4x			3	33,
		1
6.		7x1 5x2				24,
		4x	11x		3	39.
		1
		x1 4x 2 x3 6,
8.		5x 2 4x3				20,

				5x 3				22.
	3x1 2x 2

x2 3x3 4,

10.x1 3x2 x3 11,x1 2x2 2x3 7.2x1

3x1 2x 2 4x3 21, 11. 3x1 4x 2 2x3 9,2x1 x 2 x3 10.

4x1 x 2 4x3 19,

13.2x1 2x 2 2x3 11,x1 x 2 8.2x3

2x1 x 2 2x3 8,

15.x1 x 2 2x 3 11,4x1 x 2 4x 3 22.

2x1 x 2 3x3 0,

17.3x1 4x 2 2x3 1,x1 5x 2 3x3 3.

19.

3x1 2x 2 3x3 4,3x1 5x 2 6x3 36,

x1 4x 2 2x 3 19.

		3x	1 x 2 x 3 9,
21.			2x 2	2x 3	11,
	5x1
				4x3	19.
	x1 2x 2
	2x1		3x 2	3x 3	12,
23.		2x1	x 2	3x3	16,

		3x1	2x 2 x3 8.

3x1 2x 2 5x3 5,

12.2x1 3x 2 4x 3 12,x1 2x 2 3x3 1.

2x1 x2 2x3 0,

4x1 x2 4x3 6,

x1 x2 3x3 4.14.

	2x1 x 2 3x3 9,
16.		x1 5x 2	x 3 20,

			2x3 15.
	3x1 4x 2
	3x1 5x		2 6x3 8,
18.		3x1 x 2	x 3 4,

		x1 4x 2	2x3 9.

11,

20.5x1 x 2 2x3 8,x1 2x 2 4x3 16.x33x1 x 2

22.2x1 2x 2 3x3 0,3x1 2x 2 3x3 1.

x1 2x 2 3x3 14,

24.2x1 3x 2 4x 3 16,3x1 2x 2 5x3 8.3x 32x1 3x 2

	3x		1 4x 2			2x3				11,				x1				5x 2 6x3			15,
25.		2x1 x 2				x3				4,		26.			3x1			x 2	4x3		13,

						4x3				11.					2x1			3x 2		x3		9.
	3x1 2x 2
			4x1 x 2				6,					28.			2 4x3 16,
											5x1 2x
27.			2x 2		5x3				14,
	x1											x		3x				6,
			3x 2		4x 3				19.				1				3

	x1											2x1 3x 2 x3 9.

	x		4x	2	x		3	9,							7x	1		4x	2	3x	3	13,
		1
29.	4x1 x2				5x3			2,				30.			3x1			2x 2		3x 3 3,
		3x2 7x3					6.												3x3			10.
														2x1 3x 2

Задание1.2

Решитьоднороднуюсистемулинейныхалгебраическихуравнений.

5x1

3x 2

4x3

5x1

6x 2

4x3

3x1

2x 2

3x1

3x 2 x 3

8x1

x 2 3x3 0.

2x1

3x 2

3x3 0.

x1 2x 2 5x3 0,

x1 x 2 x 3 0,

2x1

4x 2

3x 2

4x3

2x1

2x 2

4x3

2x 2

5x3

3x1

x 2x

4x 0,

3x 0,

5x1 x2 2x3 0,

2x1 3x2 4x3 0,

4x x

2x 0.

x 0.

x1 x2 2x3 0,

7.2x1 x2 3x3 0,0.3x1 x3

	5x			5x				2			4x	0,
		1						2			3
9.		3x1 x2 3x3 0,
		2x				6x				2	x	0.
		1								2	3
	2x				x				2		3x	0,
			1						2		3
11. x1 x2 2x3 0,
				3x			5x 0.
					1						3

2x1 x2 x3 0,

13.3x1 2x2 4x3 0,5x1 x2 3x3 0.

x1 4x2 3x3 0,

15.2x1 5x2 x3 0,x1 x2 4x3 0.

x1 2x2 3x3 0,

17.2x1 x2 x3 0,3x1 x2 2x3 0.

2x1 x2 3x3 0,

x1 2x2 5x3 0,

3x1 x2 2x3 0.19.

2x1 x2 5x3 0, 8. x1 2x2 3x3 0,

3x1 x2 8x3 0.

x1 3x2 x3 0, 10. 2x1 5x2 2x3 0,

x1 2x2 x3 0.

x1 2x2 x3 0, 12. 2x1 3x2 2x3 0,

3x1 x2 x3 0.

4x1 x2 3x3 0,

14.8x1 x2 7x3 0,2x1 x2 2x3 0.

x1 2x2 x3 0,

16.3x1 x2 2x3 0,2x1 3x2 x3 0.

3x1 2x2 0,

18.x1 x2 2x3 0,4x1 x2 2x3 0.

3x1 2x2 x3 0,

20.2x1 x2 3x3 0,x1 3x2 4x3 0.

	x 3x						2					4x						0,				3x		5x					2	x 0,
		1					2								3							1							2	3
21.	5x1		8x2										2x3 0,							22.	2x1 4x2									3x3 0,
	4x		5x						2				2x			3			0.			x x			2				2x 0.
		1							2							3						1			2					3
		3x		2x							2			x					0,			7x		x			2			x 0,
		1									2				3							1					2			3
23.	2x1			3x2										2x3 0,						24.	3x1 2x2									3x3 0,
		x			x			2					x			0.					4x 3x						2			4x 0.
		1						2							3							1					2			3
	x 2x					2					4x						0,					7x	6x					2		x 0,
		1				2									3							1						2		3
25.	2x1 x2 3x3																0,			26.		4x1 5x2 0,
			3x2										x3 0.																	x3 0.
	x1		3x2										x3 0.								3x1 11x2									x3 0.
	5x		4x							2				2x					0,		6x		6x				2			4x 0,
		1								2						3						1					2			3
27.			3x2 x3												0,					28.		x1 x2 x3 0,
		5x			x					2				x			0.				5x 5x						2			3x 0.
			1							2					3							1					2			3
		8x			x				2					3x		3			0,		x 7x					2			3x 0,
		1							2							3						1				2				3
29.		x1		5x2										x3					0,	30.		3x1 5x2 x3 0,
				4x2 4x3 0.																										2x3 0.
	7x1			4x2 4x3 0.																	4x1 2x2									2x3 0.
																			Задание1.3
ПокоординатамточекA, B и Сдляуказанныхвекторовнайти:
а) модульвектораа;
б) скалярноепроизведениевекторовa и																				b;
в) проекциювектораc навекторd;																														.
г) координатыточкиM, делящейотрезокl вотношении																														.


1. A (4, 6, 3), B (-5, 2, 6), C (4, -4, -3), a = СВ- AC																							, b = AB , c =								CB , d =
l = AB, = 5, = 4.
2. A (4, 3, -2), B (-3, -1, 4), C (2, 2, 1), a =
2. A (4, 3, -2), B (-3, -1, 4), C (2, 2, 1), a =																				AC	CB , b =								AB , c =		AC , d =

l = BC, = 2, = 3.

AC ,

CB ,


3. A (-2, -2, 4), B (1, 3, -2), C (1, 4, 2), a = AC BA , b = BC , c = BC , d = AC ,
l = BA, =2, =1.
					l =
4. A (2, 4, 3), B (3, 1, -4), C (-1, 2, 2), a = BA + AC , b = BA , c = b, d = AC ,					l =

BA, = 1, = 4.

5.A (2, 4, 5), B (1, -2, 3), C (-1, -2, 4), a = AB AC , b = BC ,

=AB, = 2, = 3.

6.A (-1, -2, 4), B (-1, 3, 5), C (1, 4, 2), a = AC BC , c = b = AC, = 1, = 7.

c = b, d = AB ,

AВ, d = AC ,

l =


7. A (1, 3, 2), B (2, 4, 1), C (1, 3, 2), a = AB +CB , B = AC ,с = b, d = AB ,
l = AB, = 2, = 4.
					l
8. A (2, -4, 3), B (-3, -2, 4), C (0, 0, -2), a = AC -CB , b = c = AC			, d =CB ,		l
= AC, = 2, = 1.
				,	l
9. A (3, 4, -4), B (-2, 1, 2), C (2, -3, 1), a = CB	- AC , b = c = BA		, d = AC	,	l
= AB, = 2, = 5.
					l
10. A (0, 2, 5), B (2, -3, 4), C (3, 2, -5), a = AB	+CB	, b = c = AC , d = AB ,			l
= AC, = 3, = 2.
				,	l
11. A (-2,-3, -4), B (2, -4, 0), C (1, 4, 5), a = AC - BC , b = c = AB , d= BC				,	l
=AB, = 4, = 2.
					l
12. A (-2, -3, -2), B (1, 4, 2), C (1, -3, 3), a = АС- BC , b = c= AB , d = AC ,					l
= BC, = 3, = 1.
					l
13. A (5, 6, 1), B (-2, 4,-1), C (3,-3,3), a = AB - BC , b = c = AC , d = AC ,					l

= BC, = 3, = 2.

14. A (10, 6, 3), B (-2, 4, 5), C (3, -4, -6), a =					, d =
14. A (10, 6, 3), B (-2, 4, 5), C (3, -4, -6), a =	АС	-CB , b = c=		BA	, d =	AC ,
l = AC, = 2, = 4.
						d
15. A (3, 2, 4), B (-2, 1, 3), C (2, -2, -1), a = BC - AC , b = AB , c = AC ,						d

= BC , l = AB, = 2, = 5.
16. A (-2, 3, -4), B (3, -1, 2), C (4, 2, 4), a =
16. A (-2, 3, -4), B (3, -1, 2), C (4, 2, 4), a =	АС+CB , b = c =			AB	, d = CB ,
l = BC, = 2, = 5.
17. A (4, 5, 3), B (-4, 2, 3), C (5, -6, -2), a =					, d =
17. A (4, 5, 3), B (-4, 2, 3), C (5, -6, -2), a =	AC - BC , b = c=			AC	, d =	AB ,
l = BC, = 5, = 1.
18. A (2, 4, 6), B (-3, 5, 1), C (4, -5, -4), a =
18. A (2, 4, 6), B (-3, 5, 1), C (4, -5, -4), a =	BC + BA , b = c = CA , d = BA ,
l = BC, = 1, = 3.
19. A (-4, -2, -5), B (3, 7, 2), C (4, 6, -3), a =			, b = c =
19. A (-4, -2, -5), B (3, 7, 2), C (4, 6, -3), a =	BA + BC		, b = c =	AC , d = BC,
l = BA, = 4, = 3.
					, d =
20. A (5, 4, 4), B (-5, 2, 3), C (4, 2, -5), a = АС- AB , b = BC, c = AB					, d =	AC ,
l = BC, = 3, = 1.
						d
21. A (3, 4, 6), B (-4, 6, 4), C (5, -2, -3), a = BС	+CA , b = BA , c = CA ,					d

= BC , l = BA, = 5, = 3.
22. A (-5, -2, -6), B (3, 4, 5), C (2, -5, 4), a =			, b = c =		, d =
22. A (-5, -2, -6), B (3, 4, 5), C (2, -5, 4), a =	АС- BC		, b = c =	AB	, d =	AC ,
l = AC, = 3, = 4.
					, d =
23. A (3, 4, 1), B (5, -2, 6), C (4, 2, -7), a = АС+ AB , b = c =				BC	, d =	AC ,
l = AB, = 2, = 3.
24. A (4, 3, 2), B (-4, -3, 5), C (6, 4, -3), a =			, b = c =
24. A (4, 3, 2), B (-4, -3, 5), C (6, 4, -3), a =	АС- BC		, b = c =	BA , d =		AC ,

l = BC, = 2, = 5.

25.
25.	A (-5, 4, 3), B (4, 5, 2), C (2, 7, -4), a = BС+ AB , b = c = CA , d =				AB ,
l = BC, = 3, = 4.
26.					d
26.	A (6, 4, 5), B (-7, 1, 8), C (2, -2, -7), a = СB - AC , b = AB , c = CB ,				d

= AC , l = AB, = 3, = 2.
27.	A (6, 5, -4), B (-5, -2, 2), C (3, -3, 2), a =
27.	A (6, 5, -4), B (-5, -2, 2), C (3, -3, 2), a =	АB -CB , b = c =	AC	, d = CB ,
l = BC, = 1, = 5.
28.					d
28.	A (-3, -5, 6), B (3, 5, -4), C (2, 6, 4), a = АС- BA , b = CB , c = BA ,				d
	l = BA, = 4, = 2.
= AC ,	l = BA, = 4, = 2.

29. A (3, 5, 4), B (4, 2, -3), C (-2, 4, 7), a = BА- AC , b = AB ,c = BA d =					AC ,
l = BA, = 2, = 5.
30.	A (4, 6, 7), B (2, -4, 1), C (-3, -4, 2), a =			, d =
30.	A (4, 6, 7), B (2, -4, 1), C (-3, -4, 2), a =	АB - AC , b = c =	BC	, d =	AB ,

l = AB, = 3, = 4.

Задание1.4

Даны векторы а, b и с . Необходимо: а) найти модуль векторного произ-

ведения векторов a и b ; б) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора a и c ; в) вычислить смешанное произведение трех век-

торов а, b, c и проверить, будут ли они компланарны.

1.a = 2i - 3j + k, b = j + 4k, с = 5i + 2j - 3k.

2.а= 3i + 4j + k, b = i - 2j + 7k, с= 3i - 6j + 21k.

3.a = 2i - 4j - 2k b = 7i + 3j c = 3i + 5j - 7k.

4.а= -7i + 2k, b = 2i - 6j + 4k, c = i-3j + 2k.

5.а = -4i + 2j - k, b = 3i + 5j - 2k, c = j + 5k.

6.a = 3i - 2j + k, b = 2j - 3k, c = -3i + 2j - k.

7.a = 4i – j + 3k, b = 2i + 3j - 5k, c = 7i + 2j + 4k.

8.a = 4i + 2j - 3k, b = 2i + k, с= -12i - 6j + 9k.

9.a = -i + 5k, b = -3i + 2j + 2k, с= -2i - 4j + k.

10.a = 6i - 4j + 6k, b = 9i - 6j + 9k, с= i - 8k.

11.a = 5i - 3j + 4k, b = 2i - 4j - 2k, c = 3i + 5j - 7k.

12.а= -4i + 3j - 7k, b = 4i + 6j - 2k, с= 6i + 9j - 3k.

13.а= -5i + 2j - 2k, b = 7i - 5k, c = 2i + 3j - 2k.

14.a = -4i - 6j + 2k, b = 2i + 3j - k, c = -i + 5j - 3k.

15.a = -4i + 2j - 3k, b = -3j + 5k, с = 6i + 6j -4k.

16.а= -3i + 8j, b = 2i + 3j - 2k, c = 8i + 12j - 8k.

17.a = 2i - 4j - 2k, b = -9i + 2k, c = 3i + 5j - 7k.

18.a = 9i - 3j + k, b = 3i - 15j + 21k, c = i - 5j + 7k.

19.а = -2i + 4j - 3k, b = 5i + j - 2k, c = 7i + 4j – k.

20.а= -9i + 4j - 5k, b = i - 2j + 4k, c = -5i + 10j - 20k.

21.a = 2i - 7j + 5k, b = -i + 2j - 6k, c = 3i + 2j - 4k.

22.a = 7i - 4j - 5k, b = i - 11j + 3k, с = 5i + 5j + 3k.

23.a = 4i - 6j - 2k, b = -2i + 3j + k, c = 3i - 5j + 7k.

24.a = 3i – j + 2k, b = -i + 5j - 4k, c = 6i - 2j + 4k.

25.а = -3i – j - 5k, b = 2i - 4j + 8k, c = 3i + 7j – k.

26.а = -3i + 2j + 7k, b = i - 5k, c = 6i + 4j – k.

27.a = 3i – j + 5k, b = 2i - 4j + 6k, c = i - 2j + 3k.

28.a = 4i - 5j - 4k, b = 5i - j, c = 2i + 4j - 3k.

29.а= -9i + 4k, b = 2i - 4j + 6k, c = 3i - 6j + 9k.

30.a = 5i - 6j - 4k, b = 4i + 8j - 7k, c = 3j - 4k.

Задание1.5

Даны четыре точки А1( x1, y1,z1), А2( x2, y2, z2 ), A3( x3, y3, z3 ) и А4( x4, y4, z4 ). Составитьуравнения:

а) плоскостиА1 А2 А3; б) прямойА1 А2;

в) прямойА4М, перпендикулярнойкплоскостиА1А2 А3; г) прямойА3N, параллельнойпрямойА1 А2;

д) плоскости, проходящейчерезточкуА4 перпендикулярнокпрямойА1 А2. Вычислить:

е) синусугламеждупрямойА1 А4 иплоскостьюА1 А2 А3.

ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1 А2

А3.

1.А1(3, 1, 4), А2(-1, 6, 1), А3(1, 1, 6), А4(0, 4, -1).

2.А1(3, 5, 4), А2(5, 8, 3), А3(1, 2, -26), А4(-1, 0, 2).

3.А1(2, 4, 3), А2(1, 1, 5), А3(4, 9, 3), А4(3, 6, 7).

4.А1(9, 5, 5), А2(-3, 7, 1), А3(5, 7, 8), А4(6, 9, 2).

5.А1(0, 7, 1), А2(2, -1, 5), А3(1, 6, 3), А4(3, -9, 8).

6.А1(5, 5, 4), А2(1, -1, 4), А3(3, 5, 1), А4(5, 8, -1).

7.А1(6, 1, 1), А2(4, 6, 6), А3(4, 2, 0), А4(1, 2, 6).

8.А1(7, 5, 3), А2(9, 4, 4), А3(4, 5, 7), А4(7, 9, 6).

9.А1(6, 8, 2), А2(5, 4, 7), А3(2, 4, 7), А4(7, 3, 7).

10.А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 1), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0).

11.А1(4, 4, 10), А2(7, 10, 2), А3(2, 8, 4), А4(9, 6, 9).

12.А1(4, 6, 5), А2(6, 9, 4), А3(2, 10, 10), А4(7, 5, 9).

13.А1(3, 5, 4), А2(8, 7, 4), А3(5, 10, 4), А4(4, 7, 8).

14.А1(10, 9, 6), А2(2, 8, 2), А3(9, 8, 9), А4(7, 10, 3).

15.А1(1, 8, 2), А2(5, 2, 6), А3(5, 7, 4), А4(4, 10, 9).

16.А1(6, 6, 5), А2(4, 9, 5), А3(4, 6, 11), А4(6, 9, 3).

17.А1(7, 2, 2), А2(-5, 7, -7), А3(5, -3, 1), А4(2, 3, 7).

18.А1(8, -6, 4), А2(10, 5, -5), А3(5, 6, -8), А4(8, 10, 7).

19.А1(1, -1, 3), А2(6, 5, 8), А3(3, 5, 8), А4(8, 4, 1).

20.А1(1, -2, 7), А2(4, 2, 10), А3(2, 3, 5), А4(5, 3, 7).

21.А1(4, 2, 10), А2(1, 2, 0), А3(3, 5, 7), А4(2, -3, 5).

22.А1(2, 3, 5), А2(5, 3, -7), А3(1, 2, 7), А4(4, 2, 0).

23.А1(5, 3, 7), А2(-2, 3, 5), А3(4, 2, 10), А4(1, 2, 7).

24.А1(4, 3, 5), А2(1, 9, 7), А3(0, 2, 0), А4(5, 3, 10).

25.А1(3, 2, 5), А2(4, 0, 6), А3(2, 6, 5), А4(6, 4, -1).

26.А1(2, 1, 6), А2(1, 4, 9), А3(2, -5, 8), А4(5, 4, 2).

27.А1(2, 1, 7), А2(3, 3, 6), А3(2, -3, 9), А4(1, 2, 5).

28.А1(2, -1, 7), А2(6, 3, 1), А3(3, 2, 8), А4(2, -3, 7).

29.А1(0, 4, 5), А2(3, -2, 1), А3(4, 5, 6), А4(3, 3, 2).

30.А1(3, -1, 2), А2(-1, 0, 1), А3(1, 7, 3), А4(8, 5, 8).

Задание1.6

Решитьследующиезадачи

1.Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящейчерезточкуМ(-2, 7, 3) параллельноплоскости х- 4у+ 5z - 1 = 0.

2.Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М1М2 перпендикулярнокэтомуотрезку, еслиМ1(1, 5, 6), М2(-1, 7, 10).

3.НайтирасстояниеотточкиМ(2; 0; -0,5) доплоскости 4х- 4у+ 2z + 17 = 0.

4.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, -3, 5) параллельноплоскостиОху.

5. Составитьуравнениеплоскости, проходящейчерезосьОхиточку А(2, 5,

-1).

6.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 5, -1), В(-3, 1, 3) параллельноосиОу.

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(3, 4, 0) и пря-

муюх- 2 = у- 3 = z + 1.

1 2 2

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные

прямыех- 3 = у = z - 1 их+ 1 = у- 1 = z.

2 1 2 2 1 2

9.Составить общие уравнения прямой, образованной пересечением плоскости3х- у- 7z + 9 = 0 сплоскостью, проходящейчерезосьОхиточкуА(3, 2, -5).

10.Составить уравнение плоскости в <<отрезках>>, если она проходит через точку М(6, -10, 1) и отсекает на оси Ох отрезок а = -3, а на оси Оz - отрезок с

=2.

11.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 3, -4) параллельнодвумвекторама= (4, 1, -1) иb = (2, -1, 2).

12.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1,1,0), В(2,- 1,-1) перпендикулярнокплоскости5х+ 2у+ 3z -7= 0.

13.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярнокдвумплоскостям2х- 3у+ z - 1 = 0 и х- у+ 5z +3 = 0.

14.Составитьуравнениеплоскости, проходящейчерезточкиА(3, -1, 2), В(2, 1, 4) параллельновекторуа= (5, -2, -1).

15.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат

перпендикулярноквектору АВ, еслиА(5, -2, 3), В(1, -3, 5).

16.Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящейчерезточкуМ(2, -3, 3) параллельноплоскости3х+ у- 3z = 0.

17.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, -1, 2) перпендикулярнокотрезкуМ1М2, еслиМ1(2, 3, -4), М2(-1, 2, -3).

	x	y 3	z 1
18. Показать, чтопрямая				параллельнаплоскости
	12	2	3

х + 3у - 2z + 1 = 0, а прямая х = t + 7, у = t - 2, z = 2t + 1 лежит в этой плос-

кости.

19. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(3, - 4, 1) параллельнокоординатнойплоскостиОхz.

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(3, -

5, 2).

21.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(1, 2, 3) и N(-3, 4, -5) параллельноосиОz.

22.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, 3, -1) и

прямую х= t - 3, у= 2t + 5, z = -3t + 1.

23.НайтипроекциюточкиМ(4, -3, 1) наплоскостьх- 2у- z - 15 = 0.

24. Определить, при каком значении В плоскости х - 4у + z - 1 = 0 и	2х +
Ву+ 10z - 3 = 0 будутперпендикулярны.	М(2, -
25. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку	М(2, -

3, -4) и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.

27.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 3, -1), В(1, 1, 4) перпендикулярнокплоскостих- 4у+ 3z + 2 = 0.

28.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярнокплоскостямх+ 5у- z + 7=0 и 3х- у+ 2z - 3=0.

29.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(2, 3, -5) и N(-1, 1, -6) параллельновекторуа= (4, 4, 3).

30. Определить, при каком значении С плоскости 3х - 5у + Сz - 3 = 0 и х - 3у+ 2z + 5 = 0 будутперпендикулярны.

Задание1.7

Решитьследующиезадачи

1.Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3х- 2у- 7 = 0 их+ 3у- 6 = 0 иотсекающейнаосиабсциссотрезок, равный3.

2.Найтипроекциюточки А(-8, 12) напрямую, проходящуючерезточки В(2, -3) и С(-5, 1).

3.Даны две вершины треугольника АВС: А(-4, 4), В(4, -12) и точка М(4, 2) пересеченияеговысот. НайтивершинуС.

4.Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2,

ипроходящейпараллельнопрямой2у- х= 3.

5.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2, -3) и точку пересеченияпрямых 2х- у= 5 и х+ у= 1.

6.Доказать, что четырёхугольник АВСD - трапеция, если А(3, 6), В(5, 2),

С(-1, -3), D(-5, 5).

7.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 1) перпендикулярнокпрямойВС, еслиВ(2, 5), С(1, 0).

8.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 1) параллельно прямойMN, еслиМ(-3, -2), N(1, 6).

9. Найти точку, симметричную точке М(2, -1) относительно прямой	х -
2у+ 3 = 0.

10.Найти точку О пересечения диагоналей четырёхугольника АВСD, если

А(-1, -3), В(3, 5), С(5, 2), D(3, -5).

11.Через точку пересечения прямых 6х-4у+5=0, 2х+5у+8=0 провести прямую, параллельнуюосиабсцисс.

12.Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4х + у = 12, его высот ВН 5х - 4у = 12 и АМ х + у = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольникаАВС.

13.Даны две вершины треугольника АВС: А(-6, 2), В(2, -2) и точка пересечения его высот Н(1, 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высотыВН.

14.Найти уравнения высот треугольника АВС, проходящих через вершины

АиВ, еслиА(-4, 2), В(3, -5), С(5, 0).

15.Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки

А(2, 3), В(0, -3), С(6, -3).

16.Составить уравнение высоты, проведённой через вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон: АВ - 2х - у - 3 = 0, АС - х + 5у - 7 = 0,

ВС- 3х- 2у+ 13 = 0.

17.Дан треугольник с вершинами А(3, 1), В(-3, -1) и С(5, -12). Найти уравнениеивычислитьдлинуегомедианы, проведённойизвершиныС.

18.Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точкупересеченияпрямых 2х+ 5у- 8 = 0 и 2х+ 3у+ 4 = 0.

19.Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3х + 5у - 15 = 0, проведенныхчерезточкипересеченияданнойпрямойсосямикоординат.

20.Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3у = 0, х - у - 4 = 0, 3х+ у- 12 = 0. Найтиуравненияегодиагоналей.

21.Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника АВС, ес-

ли А(4, 6), В(-4, 0), С(-1, -4).

22.Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осяхкоординат; б) параллельнуюосиОх; в) параллельнуюосиОу.

23.Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 3) и составляющейсосьюОхугол: а) 450; б) 900; в)00.

24.Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(- 6, -6) и В(-3, -1) иимеющаяабсциссу, равную3?

25.Через точку пересечения прямых 2х - 5у - 1 = 0 и х + 4у - 7 = 0 провести

прямую, делящуюотрезокмеждуточкамиА(4, -3) иВ(-1, 2) вотношении = 2/3.

26.Известны уравнения двух сторон ромба 2х - 5у - 1 = 0 и 2х - 5у - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х+3у-6=0. Найти уравнение второй диагонали.

27.Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являютсяточкиА(-3, 1), В(7, 5) иС(5, -3).

28.Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1, 1) под углом

450 кпрямой2х+ 3у= 6.

29.Даны уравнения высот треугольника АВС 2х-3у +1=0, х + 2у + 1 = 0 и координатыеговершиныА(2, 3). НайтиуравнениясторонАВиАСтреугольника.

30.Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2у = 0, х - у - 1 = 0 и точкапересеченияегодиагоналейМ(3, -1). Найтиуравнениядвухдругихсторон.

Задание1.8

Построитьповерхностииопределитьихвид(название). 1. а) 4х2 - у2 - 16z2 + 16 = 0; б) х2 + 4z = 0.

2. а) 3х2 + у2 + 9z2 - 9 = 0; б) х2 + 2у2 - 2z = 0. 3. а) -5х2 + 10у2 - z2 + 20 = 0; б) у2 + 4z2 = 5х2. 4. а) 4х2 - 8у2 + z2 + 24 = 0; б) х2 - у= -9z2.

5.а) х2 - 6у2 + z2 = 0; б) 7х2 - 3у2 - z2 = 21.

6.а) z = 8 - х2 - 4у2; б) 4х2 + 9у2 + 36z2 = 72.

7. а) 4х2 + 6у2 - 24z2 = 96; б) у2 + 8z2 = = 20х2.

8. а) 4х2 - 5у2 - 5z2 + 40 = 0; б) у= 5х2 + 3z2.

9.а) х2 = 8(у2 + z2); б) 2х2 + 3у2 - z2 = 18.

10.а) 5z2 + 2у2 = 10х; б) 4z2 - 3у2 - 5х2 + 60 = 0.

11.а) х2 - 7у2 - 14z2 - 21 = 0; б) 2у= х2 + 4z2.

12.а) 6х2 - у2 + 3z2 - 12 = 0; б) 8у2 + 2z2 = х.

13.а) -16х2 + у2 + 4z2 - 32 = 0; б) 6х2 + у2 - 3z2 = 0.

14.а) 5х2 - у2 - 15z2 + 15 = 0; б) х2 + 3z = 0.

15.а) 6х2 + у2 + 6z2 - 18 = 0; б) 3х2 + у2 - 3z = 0.

16.а) -7х2 + 14у2 - z2 + 21 = 0; б) у2 + 2z2 = 6х2.

17.а) -3х2 + 6у2 - z2 - 18 = 0; б) х2 - 2у= -z2.

18.а) 4х2 - 6у2 + 3z2 = 0; б) 4х2 - у2 - 3z2 = 12.

19.а) z = 4 - х2 - у2; б) 3х2 + 12у2 + 4z2 = 48.

20.а) 4х2 + 5у2 - 10z2 = 60; б) 7у2 + z2 = 14х2.

21.а) 9х2 - 6у2 - 6z2 + 1 = 0; б) 15у= 10х2 + 6у2.

22.а) х2 = 5 (у2 + z2); б) 2х2 + 3у2 - z2 = 36.

23.а) 4х2 + 3у2 = 14х; б) 3х2 - 4у2 - 2z2 + 12 = 0.

24.а) 8х2 - у2 - 2z2 - 32 = 0; б) у- 4z2 = 3х2.

25.а) х2 - 6у2 + z2 - 12 = 0; б) х- 3z2 = 9у2.

26.а) 2х2 - 3у2 - 5z2 + 30 = 0; б) 2х2 + 3z = 0.

27.а) 7х2 + 2у2 + 6z2 - 42 = 0; б) 2х2 + 4у2 - 5z = 0.

28.а) -4х2 + 12у2 - 3z2 + 24 = 0; б) 2у2 + 6z2 = 3х.

29.а) 3х2 - 9у2 + z2 + 27 = 0; б) z2 - 2у= -4х2.

30.а) 27х2 - 63у2 + 21z2 = 0; б) 3х2 - 7у2 - 2z2 = 42.

Контрольная работа № 2

Дифференцирование и исследование функций

Задание2.1

Найти

dy .

cos 2x

ln tgx 2 ;

y e x2 arctg2x;

y arcsin x х2 .

sin x

ln 1 tgx ;

y ln e x e 2x ;

y tgx arctgx .

cos 2x

; y 1 e2x arccos x;

3. y

sin 2x

y arctgx 1 x .

1 cos x

ln 1 sin x

4. y cos x sin x ; cos x sin x

		cos x
5.	y ln 1		;

		1 sin x

					1
y e 3x 1 ln x ;				y arccos x arccos x .
		1			2
y			;	y 1 x 1 x	.
y	1	cos 2x	;	y 1 x 1 x	.
	1	cos 2x

sin x

y 1 cos x sin x .

;

y arctg

e x

;

cos 2x

sin x

y ecos x 1 arctg4x ;

y 1 2x

cos x

y ln 1

;

cos

cos2

ctg 2 x

y ln 1 x 1 x

y arctg 1

;

x cos x

cos 2x

y ln 1 e x arccos 2x;

2 sin x cos x

;

y arcsin x x ln 1 x .

2 cos x sin x

y cos x sin ln x ;

y xsin x .

10.

e cos x ;

1 cos

cos x cos 3x

11. y ln 1

sin x sin 3x

;

cos 2x

y arccos 1 x arcsin 1 4x2 ;

y x x x .

12.

y cos x

1 cos x

;

y e 2x arctg x2

1 ;

y cos x sin x x2 x .

1 sin x

13.

y cos 2x sin x

;

y e x2 tg 2x x2 ;

y x sin x x2 1 .

1 tg 2 x

14.

tgx ctgx

;

y ln 1 x2 e x 4x2

;

y x x2 1 tgx .

cos x sin x

15.

ctg2x

ln 1 ctg2x ;

1 x arctg 1 x

y 1 arcsin x cos

x .

y e

;

1 ctg2x

y ln tg

16.

;

y x

1 arctg

x ;

cos2 x

cos x

1 4 cos x 4 cos

17.

y ln tg e2cos x

1 e2x ;

x a arcsin x;

x2 a2

18.

x2 e x

ecos x x x ;

y e x2 arctgx2 ;

y e x 1 x2 x 1 .

ax b

19. y ln cos x 1 cos

arctg

;

y arctg

;

x2 1

cx2 dx e

y 1 arctgx 1 cos

20. y ln 1 4 cos2

;

y xe x2 1 arccos 4x ;

1 tg 2 x x

x 1 3

x x .

5 x 3 2

21. y cos x ln x x

2 11 ;

y sin x2 2 x

y arccos

;

1 ax b

22. y 1 ln cos2

x ; y e x

1 e2x

artge x ;

y 1 4x2

4x4 x .

cos x

23.

1 1

;

tgx cos n arccos x ;

1 cos

y tg

x1 x

x2 1

24. y

x 1 e x 1 e x ;

y sin n arccos x 2xe arccos x ;

y ax2 bx c x.

25.

y x x 1 cos2

x ;

e x2

cos n arccos x ;

1 e x2

x2 x 1

cos x

1 x2

y arccos

1 e x

26.

;

arccos

;

2tg

cos

1 cos

sin x

y ecos x 1 arctg4x ;

y 1

cos x

27.

y ln 1

;

cos

ctg

y ln 1 x 1 x

28. y arctg 1

;

x cos x

cos 2x

29.

2 sin x cos x

;

y ln 1 e x arccos 2x;

y arcsin x

1хln 1 x .

2 cos x sin x

y cos x sin ln x ;

y xsin x .

30.

cos x ;

1 cos2 x

Задание2.2

Найти

d 2 y

dx2

arctg t 1 ;

1. y x2 1 ln x ;

y x e y x ;

y cos t;

y arctg

;

x y 1 ln 1 x y ;

e x

sin 1 t

y ln t;

y cos2 xe2x ;

y x2

e x ;

1 t2

x e

4. y xe3x ;	e x y cos x 2y 1 ;	y cos t;
4. y xe3x ;	e x y cos x 2y 1 ;
		x sin 2t .

			y			t	;
5.	y x2 cos 3x;	y x sin	y	;	y e		;

			x
			x
					x sin t .
6.	y cos 4x2 x ;	y e y x ;			y t cos t;
6.	y cos 4x2 x ;	y e y x ;
					x sin t .

7.y ctgx x2e x ;

8.y x 1 cos 2x;

y ln x y y 2 x2 ;

x y arctg x2 y 2 ;

e2t ;

sht .

y ln t;

	2t
	2t	.
x e		.

t arccos t;

9. y x x ;

e xy ln 1

x y ;

y cos

y x2 ln 1 x2 ;

y sin t;

10.

y x3 e xy ;

1 t

y x2

1 e 3x ;

y cos 2t;

11.

e x y x2

y 2 ;

2t2

x e

12.y x3 1 ln 1 x2 ;

13.y sin 2 x 1 e 3cos x ;

y x 2

e x y ;

y cos

x e

cos x2

y 2 ;

cos t

;

e x y

ln cos t .

;

x2 4y 2

ye x ;

y cos 1 t

x 2arctgt

15. y xln x ;	arctg x y			1	;
			x	2 y 2

16. y x2 cos x2	1 ;	y3 x3		2xy 1;

y 2 sin t;
	1
	1
x		.
x	sin 2 t	.
	sin 2 t
			2	;
y 1 t				;
				1 t	2
x ln 1				1 t		.

y 2t 2

3t;

17.

y arctg

;

y x2 e x ;

x sin 2 1

1 t

y x ln x2

y 2 ;

18.

y sin n arcsin x ;

y eax

bx c ;

y a cos

19.

x sin

;

x b sin t .

20.

y x2

a 2 ;

xy3 2 y x3 a;

2t cos t;

2t sin t .

x y

2x y

1 t

21.

y ln x

1 x

;

x y

cos 1 t 2 .

;

y 2a cos 1 t

22.

;

x2 y 2 ln 1

;

2b sin 1

1 x

23. y sin 1 arcsin x ;

x2 arctgy y

2 x2 ;

y 2at cos t;

at sin t .

24.

;

cos3

x cos3

y 3cos x cos

x2 1

25.

y x2

x2 1 ln x;

arcsin x y y 2 ;

26.

y 1 x2 arccos cos x ;

y cos 1

			2m
	y						;
	y				2		;
y;		1		4tg	2	t
y;		1		4tg		t
			e	t2	.
	x	2	e		.
		2

y arctg t 2 1 ;

x 2 sin t 1 .

			a
	2		t	2	;
y 2t		e	t		;

x e2 t 1 .

y 2t 2

3t;

y x2

27.

y arctg

;

e x ;

x sin 2

1 t

	y x ln x2	y 2 ;			2	1;
28. y sin n arcsin x ;			y 2t
				t			at
					e			.
			x e

29.y eax2 bx c ;

30.y x2 a 2 ;

	y				2	t;
y x sin	y	;	y a cos			t;

	x
	x
			x b sin t .
xy3 2y x3			a;	y	2t cos t;
xy3 2y x3			a;
				x 2t sin t .

Задание2.3

Вычислитьпредел, пользуясьправиломЛопиталя.

cos 2x

lim ln ctgx tgx.

lim

;

lim

;

ln x

x 0 ln 1 x2

x 1 x 1

x 0

tgx sin x

lim

;

lim

;

lim 1

x 0

e x 1

x 0

x 0 x

			2
	1 e x		2
lim	1 e x			;	lim ctg
lim			2	;	lim ctg
x 0		x	2		x 0
	ln 1	x


x	1			lim 1 sin x ctgx .
x	1		;
3		x	;
3	sin	x		x 0

		3
		3

	ln 2 x				1
lim		;	lim	tgx		;
lim		;	lim	tgx		;
x 1	1 x		x		cos x
			2

lim sin x x .

x 0

lim 1 x ln 1 x ;

1 ln x

lim

;

lim

x 1

x 0 x sin x

x arctgx

lim x1 x ;

lim

;

lim

x 0 x 1 cos x

x 1

x p

1 xq

x 1

lim

e x e x

;

lim e2x x x ;

x 0

x sin x

x 0

e x2 1

lim

;

lim

tgx

;

2arctgx

cos x

x 2

	1		1

lim		2	ctgx	2	.
x 0 x			ctgx

lim sin x tgx .

1 2 sin

cos x x

1 7

x 1 .

lim

;

lim

;

lim

ln 1 x2

x 0

x 0 tgx

1 x2

1 e x

lim 1

sin x

ctgx

lim

;

lim

x 0

ln 1

e x 1 sin x

x 1

lim

;

lim 1 5

;

lim

a x a

ln 1 x

1 e x

lim

; lim

tgx

; lim 1

sin x ctgx .

x 0 sin x2

1 sin x x 0

(cos x 1)

ln 1

lim

sin

;

lim x2

x 1

;

lim

x 0

x 0 tgx

ctgx

lim 1 2tgx 3ctgx .

lim cos

;

lim

;

sin x

x 0

x 1

lim

;

lim

2 e

2 x

x 0

x 0 e

sin x

1 2 sin x

sin 2x2

lim 1 sin x

16. lim

;

lim

x 1

x 0

sin 2

1 tg

x 0 x2

x 1

2x2

17. lim

;

lim

;

lim

cos

x 1 x

1 sin x 1

cos x 1

x 0

1 tg 2

1 1 2ln x

lim

;

lim

;

lim

x 1

1 x3

x x

sin

x 1

1 x

lim

;

lim

cos

;

lim

arctgx

x 0

cos x2

sin x

lim

;

lim

;

lim

x 0 1 cos x2

x 0

1 x

ctgx

2 cos x

cos x

lim

;

lim

;

lim

2 1

x 0

x a

x 1

3 1

tg x

	sin x x				x3
lim	sin x x			6
				6
		x5
x 0		x5
1 sin		2 x
1 sin		2
lim		2		;
lim	x 1 2			;
x 1	x 1 2
lim	eax ebx		;
lim	ln 1 x		;
x 0	ln 1 x

;

lim

;

x 1

lim

x x2 ln 1

;

lim

;

x 4 x 4

sin x 4

	a			x2
lim cos			.
lim cos		2	.
	x	2
x	x
		1
lim x e2x x .
x 0

lim 2 arctgx x .

		e x 1	x2
		e x 1
25.	lim	2				;
25.	lim	sin 2 x				;
	x 0	sin 2 x
26.	lim	e2ax eax		;
26.	lim	x 2 sin x		;
	x 0	x 2 sin x
27.	lim	x arctgx			;
27.	lim				;
	x 0 x 1 cos x
28.	lim 1 x ln 1 x ;
	x 1

	1	x
lim			;

x 1 ln x		ln x

lim sin x 2tgx ;

lim cos x 2 x .

lim x100 .

x e x

lim x1 x ;

lim

x 1

x p

x 1

1 xq

1 ln x

lim

;

lim

x 0 x sin x

ln 2 x

29. lim

1 x

;

lim sin x x

;

lim

tgx

x 1

x 0

cos x

1 e x

lim 1 sin x ctgx ;

30. lim

;

lim

ctg

ln 1 x

x 0

sin

Задание2.4

Исследоватьфункциюипостроитьееграфик.

1.y х2 2х 2.

2.y 1x x2 .


	y	1
3.		1				.
				e x 1
4.	y x3e 4x .
	y		x4
5.					.

			x3 1

6.y e x .

7.y 4e x 1 .

8.y lnxx .

9.	y	x3
				.
		x2
			1

10.y x 1 ln x.

11.y 1x e x2 .

12.y x 1 ln x 1 .

13.y x ln x .

14. y	e x
		.

	e x 1

15.y x2 4 .

x2 9

16.y x2 2x.

17.	y	x3	.
		x 1 2

18.	y x 2 e х.

19. y x 1 . x 4

20.y ех . x

21.y x3 e х.

22. y	x3
			.
	x2
		1

23.y x ln x .

24.y x 1 e x .

25.y x 1x .

26.y x3 1.

27.y x2 2x.

28.y x2 4 .

x2 9

29. y	1	.

	e x 1

30. y x ln x .

Контрольная работа № 3

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Задание3.1

Найти градиент, уравнения касательной плоскости и нормали к заданнойповерхностиS вточкеМо(Xo,Yo,Zo).

S: x2 y2		z2	6z 4x 8 0,	Mo 2,1, 1 .
S: x2 z2		4 y2 2xy,		Mo 2,1,2 .
S: x2	y2	z2	xy 3z 7,	Mo 1,2,1 .
S: x2	y2	z2	6y 4x 8,	Mo 1,1,2 .
S: 2x2 y2 z2 4z y 13,				Mo 2,1, 1 .
S: x2	y2	z2	6 y 4z 4 0,	Mo 2,1, 1 .
S: x2 z 2		5yz 3y 46,		Mo 1,2, 3 .
S: x2 y2		xz yz 0,		Mo 0,2,2 .


S: x2 y2 2 yz z2 y 2z 2,				Mo 1,11 .
S: x2 y2	z2 2xz 2x z,			Mo 1,1,1 .
S: x2 y2 2xy 2x y z,				Mo 1, 1, 1 .
S: y2 x2	2xy 3y z,			Mo 1, 1,1 .
S: x2 y2	2xy x 2 y z,			Mo 1,1,1 .
S: x2 2 y2		z2	xz 4 y 13,	Mo 3,1,2 .
S: 4 y2 z2		4xy xz 3z 9,		Mo 1, 2,1 .
S: x2 y2	3xy x y 2 z,			Mo 2,1,0 .
S: 2x2 y2 2z2 xy xz 3,				Mo 1,2,1 .
S: x2 y2	z2 4x 2 y 14,			Mo 3,1,4 .
S: x2 y2	z2 xz 4 y 4,			Mo 1,1,2 .
S: x2 y2	z2 xz 4x 5,			Mo 2,1,0 .
S: x2 y2	xz yz 3x 11,			Mo 1,4, 1 .
S: x2 2 y2		z2	4xz 8,	Mo 0,2,0 .
S: x2 y 2	2z 2		2 y 0,	Mo 1, 1,1 .
S: x2 y 2	3z 2		xy 2z,	Mo 1,0,1 .
S: 2x2 y 2		z 2	6x 2 y 6 0,	Mo 1, 1,1 .
S: x2 y 2	z 2 6xy z 8,			Mo 1,1,0 .
S: 2x2 3y 2 4x 2 y 10 z,				Mo 1,1,3 .
S: x2 y 2	4x 3x 15 z,			Mo 1,3,4 .
S: 2x2 3y 2 xy 3x 1 z,				Mo 1, 1,2 .
S: x2 2y 2		4xy 5y 10 z,		Mo 7,1,8 .

Задание3.2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Z=Z(X,Y) в областиD, ограниченнойзаданнымилиниями.


z 3x y xy,	D : y x, y 4,		x 4,	x 0.
z xy x 2 y,	D : x 3,	y x, y 0.
z x2 2xy 4x 8y, D : x 0,			x 1,	y 0,	y 2.

z 5x2 3xy y 2 ,

D : x 0,

x 1, y 0,

y 1.

z x2 2xy y 2 4x,

D : x y 1 0,

x 3,

y 0.

z x2 y 2 2x 2 y 8,

D : x 0, y 0, x y 1 0.

z 2x3 xy 2 y 2 ,

D : x 0,

x 1,

y 0,

y 6.

z 3x 6y x2 xy y 2 ,

D : x 0,

x 1,

y 0, y 1.

z x2 2 y 2 4xy 6x 1, D : x 0,

y 0,

x y 3 0.

z x2

2xy 10,

D : y 0,

y x2

4 .

z xy 2x y,

D : x 0,

x 3,

y 0,

y 4.

xy,

D : y 8, y 2x

D : y

, y

z x2 2xy y 2 4x 1,

D : x 3,

y 0, x y 1 0.

z 3x2 3y 2 x y 1,

D : x 5,

y 0,

x y 1 0.

2xy

4x, D : y 2x, y 2,x 0.

z x2 2xy

5 y 2 2x,

D : x 0,

x 2,

y 0,

y 2.

z xy

D : x 0, x 4, y 0, y 4.

3x 2 y,

z x2 xy 2, D : y 4x2 4,

y 0.

z x2 y 4 x y , D : x 0,

y 0,

y 6 x.

z x3 y3 3xy,

D : x 0,

x 2,

y 1,

y 2.

z 4 x y x2 y2 ,

D : x 2 y 4,

x 2 y 4,

x 0.

z x2 2xy y2 4x, D : x 3,

y 0,

y x 1.

z 6xy 9x2 9 y2 4x 4 y,

D : x 0,

x 1,

y 0,

y 2.

z x2 2xy y2 2x 2 y,

D :y x 2,

y 0,

x 2.

z 4 2x2 y2 ,

D : y 0,

y 1 x2 .

z 5x2 3xy y2 4,

D : x 1,

x 1,

y 1,

y 1.

z x2 2xy 4x y2 ,

D : x y 2 0,

x 0,

y 0.

z 2x2 y x3 y x2 y2 ,

D : x 0,

y 0,

x y 6.

z=3x2 + 3y2 - 2x - 2y + 2, D : х= 0, у= 0, х+ у– 1 = 0.

Задача3.3. Найтиполные дифференциалыуказанных функций:

1.z 2x3 y 4xy5 ;

2.z x2 y sin x 3y;

3. z arctgx y;

4.z arcsin xy 3xy2 ;

5.z 5xy4 2x2 y7 ;

6.z cos x2 y2 x3;

7.z ln 3x2 2y2 ;

8.z 5xy2 3x3 y4 ;

9.z arcsin x y ;

10.z arctg 2x y ;

11. z 7x3 y xy;

12.z x2 y2 2xy;

13.z e x y 4 ;

14.z cos 3x y x2 ;

15.z tg x y ;

x y

16.z ctg y ;

17.z xy4 3x2 y 1;

18.z ln x xy y2 ;

19.z 2x2 y2 x3 y3;

20.z 3x2 2 y2 5;

21.z arcsin x y ;

22.z arcctg x y ;

23.z 3x2 y 2 x;

24.z y2 3xy x4 ;

25.z arccos x y ;

26.z ln y2 x2 3 ;

27.z 2 x3 y3 5x;

28.z 7x x3 y2 y 4 ;

29.z e y x ;

30.z ln 3x2 2 y2 ;

Задача 3.4. Найти вторые частные производные указанных функций. Убедитьсявтом, что z"xy z"yx .

4.1.z ex2 y 2

4.3.z tg(x / y)

4.5.z sin(x2 y)

4.7.z arcsin(x y)

4.9.z arcctg(x 3y)

4.11.	z e2x2 y 2
4.13.	z tg	xy
4.15.	z sin	x	3 y

4.17.z arccos(4x y)

4.19.z arctg(2x y)

4.21. z e

x y

4.23.z arccos(x 5y)

4.25.z cos(3x2 y3 )

4.27.z ln(5x2 3y4 )

4.29.z ln(3xy 4)

4.2.z ctg(x y)

4.4.z cos(xy2 )

4.6.z arctg x y

4.8.z arccos(2x y)

4.10.z ln(3x2 2 y2 )

4.12.z ctg( y / x)

4.14.z cos(x2 y2 5)

4.16.z arcsin(x 2 y)

4.18.z arctg(5x 2 y)

4.20.z ln(4x2 5y3 )

4.22.z arcsin(4x y)

4.24. z sin xy

4.26.z arctg(3x 2 y)

4.28.z arcctg(x 4 y)

4.30. z tg(xy2 )

Задача 3.5.

u u(x, y) , где x x(t

пятой.

5.1. u

Вычислить значение производной сложной функции ) , y y(t) , при t t0 с точностью до двух знаков после за-

ex 2 y , x sin t , y t3 , t0 0 .


5.2.	u ln(ee e y ) , x t 2 , y t3 ,						t0 1.
5.3.	u y x , x ln(t 1) ,			y et / 2 ,		t0 2 .
5.4.	u e y 2x 2 , x sin t ,				y cost ,		to / 2 .
5.5.	u x2e y ,	x cost ,		y sin t , t0			.
5.6.	u ln(ex e y ) ,		x t 2 ,		y t3 ,	t0 1.
5.7.	u x y , x et ,		y ln t ,		t0 1.
5.8.	u e y 2x ,	x sin t ,		y t3 , t0		0 .
5.9.	u x2e y ,	x sin t ,		y sin 2 t ,			t0 / 2 .
5.10.	u ln(e x e y ) , x t 2 , y t3 , t0 1.
5.11.	u e y 2x 1, x cost ,				y sin t ,		t0 / 2 .
5.12.	u arcsin(x / y) , x sin t , y cost , t0 .
5.13.	u arccos(2x / y) , x sin t , y cost ,							t0	.
5.14.	u x2 /( y 1) ,		x 1 2t , y arctgt ,					t0	0 .
5.15.	u x / y ,	x et , y 2 e2t , t0					0 .

5.16.

u ln(e

2 y

) , x t

, y

t0 1.

5.17.

x y3 3 ,

x ln t ,

y t 2 ,

5.18.

u arcsin(x2 / y) ,

x sin t ,

y cost

, t0 .

5.19.

u y2 / x ,

x 1 2t ,

y 1 arctgt ,

t0 0 .

5.20.

x sin t ,

y cost ,

t0 .

5.21.

x2 y 3 ,

x ln t ,

y t 2 ,

5.22.

u arcsin

x sin t ,

y cost , t0

2 y

5.23.

x sin 2t ,

y tg 2t ,

5.24.

x y 3 ,

ln t ,

y t 2 ,

5.25.

u y / x ,

x et ,

y 1 e2t ,

0 .

5.26.

u arcsin(2x / y) ,

x sin t ,

y cost , t0

5.27.

u ln(e2x e y ) ,

x t 2 ,

y t 4 ,

5.28.

u arctg(x y) ,

x t 2 2 ,

y 4 t 2 ,

t0 1.

5.29.

x2 y2 3 ,

x ln t , y t3 ,

t0 1.

5.30.

u arctg(xy),

x t 3 ,

y et ,

0 .

КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА №4.

Интегральноеисчисление.

		Задача4.1
С помощью интегрирования по частям вычислить неопределённый инте-
гралотфункциивида
1.	xsin x	16.	x sin(x 6)
2.	xe2x	17.	(3x 4) ln x
3.	x cos x	18.	x 6x
4.	xe x	19.	(x 7) sin x
5.	x ln x	20.	(x 5)3x
6.	xarctgx	21.	xex 5
7.	x cos2x	22.	x cos(x 4)
8.	xe3x	23.	ln(x2 1)
9.	xsin 2x	24. xe 3x
10.	x cos 3x	25.	x 4x
11.	x5x	26.	arcsin x
12.	xe 2x	27. xe 4x
13.	x 2x	28.	(3x 8)ex

14.	(x 2)sin x	29.	(x 5) cos x
15.	(x 3) cos x	30.	(2x 7)ex

Задача4.2.

Вычислить неопределённый интеграл с помощью разложения на простейшиедробиподинтегральнойфункции

x 2

x(x2 2x 8)

x 4

x(x2 4x 3)

2x 1 (x2 9)x

4 x3 x

x2 1

x(x2 3x 2)

x(x2 x 2)

x 3

(x2 16)x

2x 1

x(x2 x 30)


16.					x2 1
16.	(x 2)(x2					3x 18)
17.	3
17.	(x 1)(x2					5x 6)
18.					4x 7
18.		x(x2 9)
19.					5x
19.			x(x2 6x 8)
20.					x2 2
20.				x(x2 1)
21.					x 3
21.					x(x2 2x 1)
22.	6
22.				(x2 16)x
23.					x 1
23.					x(x2 x 30)
24.					x2 2
24.				(x2 16)x


10.		x2 x 1
	x(x2 2x 8)
11.		x 4
		x(x2 5x 6)
12.		x2 3
		x(x2 5x 4)
13.		2x 3
		x(x 1)(x 2)
14.		6x 1
		x(x2 x 2)

25.	7
	x(x2 4x 3)
26.		3 x
		x(x2 2x 8)
27.		3 x
		x(x2 3x 2)
28.		7 x
		x(x2 2x 8)
29.		x2 6
		x(x2 9)

15.	x3 1			30.			2x 1

	x3 1						x3 25x2
	x3 1						x3 25x2
Задача4.3.
ции	Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функ-
ции
1.	x 1	16.				x
1.	x 2	16.			3	x 2
2.	x 3	17.		(x 2) 3 x 1
2.	x 7	17.		(x 2) 3 x 1
	x 7
3.	3x 2		18.	4		3
3.	x x		18.		x	3
	x x				x

4.2x 1

5.x 1 x

6.1 x

7.2 x x

8.x x 1

9.x 3 x

10.x

11.1 x

12.3 xx 3

13.1 2 x

14.x 7

15.1 x

2 x

19.x 2

20.x 3

21.2 x

2 x

22.x

23.x 8

24.	2	x
	3	x

25. (x 7) 3 x 2

26.	x
	2 x 7

27.1 2x

12x

28.x 3 x 5

29.2x 7

30.2x 4

3 x 5

Задача4.4.

Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функ-

ции

1.		sin3 x
		2 cos x
2.		sin3 x
		cos4 x

3.		1
		cos x sin x
4.		1
		cos 2x
5.		sin 2x

		2(1 cos x)2
6.	1
		sin3 x
7.	1
		cos3 x
8.		1
		sin x cos x
9.	tg3x

16.		cos3 x
	3 sin x
17.		cos3 x
		sin4 x

18.	1
		3 4sin2 x

19.1 2

2 5cos x

20.1 2

2 3sin x


21.	1
	5 3cos2 x
22.		sin x
		cos2 x(2 cos x)
23.		cos x
		sin x(4 sin2 x)
24.		sin x
		(1 cos x)2

	cos2 x								cos			x	sin				x
10.	cos2 x			25.					cos			2	sin				2
10.	sin	3	x	25.	cos2					x					x	sin		x
		3								x					x			x
											cos
									2		cos			2				2
									2					2				2
11.	sin2 x			26.				sin2 x
11.	cos3 x			26.		1 tgx
	cos3 x					1 tgx
12.		1		27.					1
12.	2 sin2 x			27.			1 sin4 x
13.	sin2 x			28.					1
13.	cos3 x			28.			5sin2 x 6
	cos3 x						5sin2 x 6
14.		1		29.					1
14.	5 cos2 x			29.				3 2 cos2 x
15.			1	30.					1
15.	4 9sin2 x			30.		8 5sin2 x

Задача4.5.

Вычислитьплощадьфигуры, ограниченнойлиниями:

1.	y 2x ,		y 2x x2,			x 0, x 2		16.	y2 x3, x 4
2.	y ln x,		x e,	x e2,			y 0	17.	y ex ,			x y 2 0,					x 1
3. x 2 y		2	, x 1 3y		2			18.	x y	2	,	x	3	y	2	1
3. x 2 y			, x 1 3y					18.	x y		,	x	4	y		1
													4
4.	y2 x3,		y 8,	x 0				19.	y ln(x 2),					y 2lnx,			y 0

5.x2 4y, y x28 4

6.y2 4x, x2 4 y

7.y x2 4x, y x 4

8.x y 3, y x2 1

9.y3 x, y x

10.y x 1, y cos x, y 0

11.xy 6, x y 7 0

12.y 2x x2 , y x

13.	y 4x2 , y	x2	, y 2

	9
14. xy 4, x 1, 4y x
15.	y (x 4)2 , y 16 x2

Задача4.6.

20.	x2 4 y2 8,					x2 3y2 1
21. 4y 8x - x2 ,						4y x 6
22.	y 6x,			6 y x, xy 6
23.	x2	y	2		1,	y 4, y 4
	16	4

24. y cos x, y sin x, x 0

25. y 3x , y 2x x2 , x 2, x 0

26. x y 1, y cos x, y 0

27. y3 x, 4y x

28. y tgx, x

29. y2 x 5, y2 x 4

30. 2x - 3y 7 0, y 3x , x 2

Переходя в полярную систему координат , вычислить с помощью опре-деленногоинтегралаплощадь, ограниченнуюкривыми:

1 2cos

первымвиткомспиралиАрхимеда 4 иотрезкомполярнойоси

cos 3 12

однимлепесткомлинии 2sin 3

3(12 sin )

кардиоидой 2(1 cos ) иокружностью 5

2 cos

4sin2 2

3 cos 2

3 cos

2sin

sin

cos 2

12.

однимлепесткомлинии

13.

четырёхлепестковойрозой

sin 2

14.

лемнискатойБернулли

cos 2

первымивторымвиткамиспиралиАрхимеда

иотрезкомполярной

оси

окружностью x2 y2

и прямой y

17.

x2 y2 2 y

y x

(большаячасть)

18.

x2 y2 4x

3x, y

x2 y2 2y,

y x,

x 0

x2 y2

(большаячасть)

x2 y2 4x,

22.

x2 y2

x2 y2 4,

x y,

(меньшаячасть)

2 2 cos 2

23.

x2 y2 10x,

y x,

y x

25.

10cos3

26.	x2 y2 4x,	x 1	(меньшаячасть)
27.	16cos3 ,	8	(внеокружности)
28.	3 ипервоголепесткалинии			6cos3
29.	x2 y2 4 y	междупрямыми		y x,	y 0
2	2sin 2

Задача4.7.

Вычислитьнесобственныйинтегралилидоказатьегосходимость

1.1 x 1 2

2.2 x2 3x

3.9 x2 x

4.5 x 1 2

xdx

5.4 x2 1

6.2 x ln x 2

7. xe xdx

		xdx
16.

	2 x2 1 2
		dx
17.
		x 1 3
	1

18.1 x2 4x 3

			x dx
19.	6		x dx
	0
			xdx
20.
20.		x 1
	3	x 1
	3
			dx
21.			dx
21.
	2		x x 1

22.1 x 1 x 3

					dx
8.					dx
8.			2		x 1
	0 x				x 1

9.	3 x dx
	0
						dx
10.						dx
10.				2
	3 x				2x 2
				dx
11.
11.		2x			2	1
	0	2x				1
				dx
12.
12.		xln x
	3	xln x
	3
				dx
13.
13.		x x 1
	2	x x 1
	2
						dx
14.						dx
14.		x 1 x 2
	3	x 1 x 2
	3
				xdx
15.
15.				2	1
	1 x				1

Задача4.8.

23.4 x2 3x 2

xdx

24.1 x4 1

25.2 x 1 3

26.4 x dx

27.1 x2 4x

28.x x2

29. e 3xdx

30.1 x2 5x 6

Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной заданными линиямииимеющейповерхностнуюплотность r x, y

					r x, y
№	D
вар.
					2x 3
1.	x 0,	y 0,	x 2,	x y2	2x 3


								x2
2.	x 0,		2y x,		x y 4
								2y
3.	y x2 ,		y 0,		x 1
								x y
4.	y 1 x2 ,			x 0,		y 0
5.	2 y x2 , y 8							2x2
								4y
6.	x2 y2 9, y 0 y 0
7.	x 0, 2x 3 y 0, y 0							x2
								x 2y
8.	2x2 y, x 0, y 2
								2x 1
9.	y x2 1 x ,				y 0
								2x 3
10.	x y 5,			x 0,		x y 0
11.	y 31 x2 ,				y 0			x2 6
12.	y	x, x 0, y 2						xy
								4x
13.	y 3 e x ,			x 0,		y 0,	x 1
								e2x
14.	y 2x,		x 1,		y 0
								x y
15.	x 2y 7,			x y 0, x 0
16.	x y2 ,		x 4					2x y2
								x 2
17.	y sin 2x 1,				x 0, x , y 0
								4x 1
18.	y 2ln x,			y 0,		x 1,	x 2
								5y 3
19.	x 2y2 ,			x 8		y 0
								7x
20.	y 2x 3,			y 5x2 , x 0
21.	x 4 y2 ,			x 0,		y 0	y 0	2x 5
								2y
22.	2x y 4 0,				y 3x, y 0
								x 2y
23.	y x3,		y 0,		x 8
24.	x 4 y,			x 0,		y 3		2y2 3
								6y
25.	x2 y2 5, x 3
								2x 5
26.	y	x 1,		y 0,		x 0,	x 4
								x
27.	y ex 1,			x 1,		x 2,	y 0

				x 3y
28.	2y x, y 4 2x,	x 0		x 3y
				xy
29.	y 9 x2 , y 0			xy
				2x
30.	y ln x 2 , y 0,	x 0,	x	2x

Задача4.9.

Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V , ограниченнойуказаннымиповерхностями.

№

вар.

y x2 0,

x 0,

y 4,

z 0,

z 2x 4

z x2 ,

y 0,

z 3,

y x

y 1 x2 ,

x 0,

y 0,

z 0,

z x

z 4 y2 ,

x 0,

z 0,

z x

2x y z 4,

x 0,

y 0,

z 0,

x 1

z 1 y2 ,

x 0,

z 0,

z 2x

y 4x2 0,

x 0,

y 4, z 0,

z y 4

z 3 x2 ,

y 0,

z 0,

y 4,

x 1

z y2 ,

x 0,

z 0,

y x,

y 1

10.

z x 2 y,

x 0,

y 0,

x y 4,

z 0

11.

4y x

x 0,

y 1,

z 0,

z y 1

12.

y 1 x

x 0,

x 1,

y 0, z 0, z 3 x

13.

z 2 y

x 0,

z 0,

z 2x

14.

x 2y x 4,

x 0,

z 0,

y 0,

y 1

15.

x y 2z 4,

x 0,

z 0,

y 0,

x 2

16.

z 3x

y 0,

z 0,

y 2x, x 1

17.

2 y

z 0,

x 0,

y x

18.

3 2x

y 0,

x 0,

x 1,

z 0,

z 2y

19.

z 2,

y 0,

y x 1

20.

4 x

x 0,

y 0,

z 0,

z 2x

21.

x 0,

2y x,

y 1, z 0

22.

x 0,

y 0,

z 0,

z x

23.

9 y

z 0,

x 0,

y x 3

24.

x y z 1, x 0, y 0, z 0, z 2 x y

25.

x 4,

z 0, z 3x

26.

y 4,

z 0,

z y

27.

x 3y 2z 6,

x 0,

y 0, z 0, x y

x y

28.

5 y

z 0,

x 0,

y 0,

x 3

29.

z 0,

x 0,

y 0,

x 5

30.

x2 z2

y 0,

z 0,

y x

Задача4.10.

Вычислить:

(а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой f1 x, y спомощьюкриволинейногоинтегралапервого рода

L с плотностью

f1 x, y ds

(b)

работу силы

f1 x, y , f2 x, y вдоль траекторииL от точки A до точ-

ки B спомощьюкриволинейногоинтегралавторого

рода f1dx f2dy

f x2 ,

xy;

L - отрезокпрямоймежду

A 0, 2 ,

B 3,0 .

2y,

L - дугапараболы y 3x2

между

A 1,3 , B 1,3 .

f1 x y,

f2 x y;

L - отрезокпрямоймежду A 1,2 , B 3,4 .

четверть окружности

x2 y2 1 между

A 1,0 , B 0,1 .

4 y,

L - дугапараболы y 1 x2

между A 2, 3 , B 0,1 .

2x y,

L - дугапараболы x y2

между A 0,0 , B 4,2 .

x 2 y,

y2; L - отрезокпрямоймежду A 2,1 , B 1,3 .

8.f1 y, f2 x; L - четвертьокружности x 1 2 y2 1 между

A 2,0 , B 1,1 .

9.	f 2x 3y,	f	2	x; L - дуга параболы	y x2 / 2	между
	1		2
A 2,2 , B 4,8 .

10.f1 2 x, f2 3y; L - полуокружность x 2 2 y2 1 между

A 1,0 , B 3,0 .

11.	f	2 y 5,		f	2	3x;		L - дугапараболы y 2 x2 между A 1,1 , B 0,2 .
	1	x2 y2 ,			2				прямой между A 1,0 , B 0,2 .
12.	f	x2 y2 ,			f	2	xy;	L - отрезок	прямой между A 1,0 , B 0,2 .
	1					2
13.	f	x y, f		2	7; L - полуокружность x2 y 1 2 1 между A 0,0 ,
	1			2
	B 0,2 .
14.	f	2 y, f	2	x; L - дугапараболы					y 2x2 1 между A 0, 1 , B 1,1 .
	1		2
17

15.	f	3x,			f	2	x2 y2 ;									L - отрезок прямой между A 2,0 ,			B 3,4 .
	1					2
16.	f	x2		5y, f				2		y2 ;						L - четвертьокружности x 1 2 y2			4 между
	1			,				2
	A 1,2			,		B 1,0			.
	17.		f	x y,						f	2		2x;				L - дугапараболы y 3x2 между		A 0,0 , B 1,3 .
			1								2
	18.		f	x2			3xy,							f	2	y; L - отрезок прямой между A 0,0 ,				B 1,2 .
			1												2
	19.		f	y2 - 4x2 , f										2	x y; L - четвертьокружности x 1 2					y 1 2 4
			1											2
			между A 1,3 ,											B 1,1 .
	20.		f		4x y,						f	2		x; L - дугапараболы y 3 2x2 между A 0,3 , B 1,1 .
			1									2
	21.		f		3x2				2 y2 ,							f	2	x2 ; L - отрезокпрямоймежду A 0,1 , B 2,0 .
			1														2

22.f1 x 2y, f2 2x 3y; L - полуокружность x 1 2 y 1 2 2

между A 0,0 , B 2,2 .

23.f1 7x y, f2 y; L - дугапараболы x 2 y2 между A 0,0 , B 2,1 .

24. f1 2x2 3y2 , f2 y2; L - отрезок прямой между A 0, 2 , B 5,0 .

25.f1 3y2 , f2 x2 7 y2 ; L - полуокружность x2 y2 2 между

A 2,0 , B 2,0 .

26.	f	5x,	f	2	x 4 y;				L - дугапараболы y 2x2 3 между A 0,3 , B 1,5 .
	1			2
27.	f	6x2	y2 ,			f	2	x2	7 y2 ; L - отрезок прямой между A 2,3 , B 1,4 .
	1						2

28.	f	3x 2 y,		f	2	x y; L - четвертьокружности x 3 2			y2 9 между
	1		B 0,0 .		2
	A 3,3 ,		B 0,0 .
29.	f	x 5y, f		2	3x;			L - дугапараболы x 1 y2 между	A 0,1 , B 1,0 .
	1			2
30.	f	x2	3xy,		f	2	y2	- 2x2; L - отрезок прямой между	A 2,4 , B 1,6 .
	1					2

Задача4.11.

Спомощьюповерхностногоинтегралапервогорода

ndS v n v

v n

1 1

3 3

вычислитьрасход Q жидкостисполемскоростей

v 1 x, y, z ,v 2 x, y, z , v

3 x, y, z ,

протекающей за единицу времени через

часть S плоскости

ax by cz d 0,

лежащую в первом октанте. Единичная

нормаль n направленавненачалакоординат.


№	v 1	v 2	v 3	a	b	c	d
вар.
1	2x z	0	y	3	1	2	6
2	0	2x y	z	1	1	2	2

3	x z	3y z	0	2	3	1	8

4	y 5z	z	2x	4	1	3	9
5	x 2z	0	y x	1	2	3	6

6	7 y	x 3z	0	2	3	1	4
7	5x	y z	0	2	1	5	8
8	y	x z	z	1	2	4	6
9	0	2y z	y 2z	3	4	2	9
19


10	z	2x y	z	3	2	1	6

11	x 2z	3y	0	2	1	3	8
12	2x y	z	0	1	3	2	6
13	5z	x y	1	4	1	2	8
14	5	y	2x 3	2	4	1	8

15	7 y 2z	0	x 2 y	1	4	2	6

16	y	2x z	5	5	3	1	1
							0
17	z 2x	y	3	3	5	1	1
							0
18	3y	x 2z	0	3	1	2	6

19	y 3x	z	4	2	1	1	4
20	0	5x 4y	2z x	1	2	4	6

21	3y z	0	x z	1	3	2	6
22	2x y	x z	4	2	3	1	6
23	7 y 2z	4	x 2	2	3	4	9

24	z 3y	3x 2	0	4	2	1	8
25	7 y 3	z x	-8	3	1	5	1
							0
26	2 y x	x 2z	10z	3	4	1	8
27	8y x	5y	z	1	4	3	1
							2
28	2x	z	y z	3	4	2	8

29	x 3y	0	8 z	2	4	3	1
							0
30	7	8y 2z	z	4	3	2	9

4.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

4.1.Решениетиповоговариантаконтрольнойработы№1

Задача1.1. Данасистемалинейныхнеоднородныхалгебраическихуравнений

x1 2x2 x3 6;2x1 x2 x3 1;3x1 x2 5x3 0.

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу A приведем к трапециевиднойформе

1	2	1	6		1 2	1	6		1 2	1	6
1	2	1	6		1 2	1	6		1 2	1	6
A 2	-1	1	1	~	0 - 5	3	13	~	0 - 5	3	13 .

	1	5	0			8				5	5
3	1	5	0		0 - 5	8	18		0 0	5	5

Следовательно, rangA rangA~ 3 (числу неизвестных системы). Значит, исходнаясистемасовместнаиимеетединственноерешение.

а). ПоформуламКрамера:											x			1	;		x	2			2		;				x	3	,	где
а). ПоформуламКрамера:											x				;		x						;				x	3	,	где
											1																3
		1			2		-1										6			2				1
		1			2		-1										6			2				1
	A	2		-1			1	25;						1			1			1			1			25;
	A	2		-1			1	25;						1			1			1			1			25;
		3			1		5										0				1		5
			1		6		1									1				2			6
			1		6		1									1				2			6
2			2		1			1	50;				3			2			-1			1			25 .
			3		0		5									3				1			0
Находим				x		- 25 1; x				2		- 50			2;					x	3		25				1.
Находим				x		- 25 1; x						25			2;					x				25			1.
				1		25						25												25
21

б). С помощью обратной матрицы															X A 1H , где
к A , H - столбецправыхчастей.
								1			A11					A21		A31
						A 1		1			A					A A					.
						A 1			A		A					A A					.
									A			12		22			32
																A23

											A13								A33
A		1		1	6 ;				A							2	1		7 ;
A		1		1	6 ;				A							2	1		7 ;
11	1			5				12								3	5
	1			5												3	5
A			2	-1		11;			A						1		-1			8 ;
A			2	-1		11;			A						1		-1			8 ;
21			1	5						22					3		5
			1	5											3		5
A		2		-1	3 ;		A						1			-1		3 ;
A		2		-1	3 ;		A						1			-1		3 ;
31		-1		1				32					2	1
		-1		1									2	1

A 1 - обратная матрица

A		2		-1		5;
A		2		-1		5;
13		3		1
		3		1
A			1	2			5 ;
A			1	2			5 ;
23			3	1
			3	1
A	1			2	5 .
A	1			2	5 .
33	2			-1
	2			-1

Решениесистемы
	x			1	6		-11		3		6	1
	1			1
	x x2				- 7		8		- 3	1		2	,
	x x2		25		- 7		8		- 3	1		2	,
			25				5
	x3				5		5		- 5		0	1
т.е. x1 1;	x2 2;				x3 1.
в). Нашасистемаэквивалентна
		x			2x	2	x	3	6;
				1		2		3
					5x2		3x3		13;
					5x3 5.
					5x3 5.

(прямойходГауссасовершенпринахожденииранговматриц A и A ).

Тогда x3 1,

x2 ( 13 3x3 ) /( 5) 2,

x1 6 2x2 x3 1.

Задача 1.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравне-

ний

3x1 4x2 x3 0;x1 3x2 5x3 0;4x1 x2 4x3 0.

С помощью элементарных преобразований матрицу A приведем к трапециевиднойформе

3	4 1			1	3	5
A 1	3	5	~	0 13		16 .

	1	4			0	0
4	1	4		0	0	0

Следовательно, rangA 2<3 и система имеет бесконечное множество реше-

ний, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна

						x		3x		2		5x			3		0;
							1			2					3
						13x2			16x3 0.
Откуда	x	2		16x3		,		x				17x3				.
Откуда	x					,		x								.
			13					1					13
			13										13
Полагая	x3 C (произвольнойпостоянной), имеем
			x		17C		,				x		2		16C			,	x		C .
			x				,				x							,	x		C .
			1			13									13				3
						13									13
Задача1.3.		Покоординатамточек												A( 5; 1;6) ,						B(1;4;3) , C(6;3;9) найти:

а). Модульвектора						a		AB BC.
23

(1; 4; - 9) ;

AB (6; 3; 3);

BC (5; -1; 6);

AB BC

12 42 9 2 1 16 81 98 .

б).

Скалярноепроизведениевекторов

a и

BC .

( a

, b ) 1 5 4 ( 1) ( 9) 6 53.

в).

Проекциювектора

навектор

AB .

6 5 3 ( 1) ( 3)

( c d )

пр c

9 9

г).

Координаты точки M (X M ,YM , ZM ), делящей отрезок AB в отноше-

нии1:3;

1 . Следовательно:

Задача1.4. Данывекторы

	1	1	4	7
Y		3			;

M	1		1	4

			3

a , b , c . Необходимо:

а). Найтимодульвекторногопроизведения



	=	i	j k
c , b	=	3	5 0	10 i	6 j	14 k ;
		1	3 2

c , b .

						102 ( 6)2 142					336 .
	c , b					102 ( 6)2 142					336 .


б). Проверить, будутликоллинеарныилиортогональныдвавектора a																					и b .
Условиеколлинеарностидвухвекторов												xa	ya				za		.
Условиеколлинеарностидвухвекторов												x							.
												x	y	b			z	b
												b		b				b
			4	0		4
Т.к.			4				, товектора			a и b неколлинеарны.
Т.к.			1				, товектора			a и b неколлинеарны.
			1	3	2
														0.
Условиеортогональностидвухвекторов ( a , b )														0.
Т.к.			4 ( 1) 0 3 4 2 4 0,								товекторанеортогональны.
в). Вычислитьсмешанноепроизведениетрехвекторов

		a		4 i	4 k ;				b i 3 j 2 k ;						c	3 i				5 j .
						4	0	4
						4	0	4
						1 3		2	96 .
( a , b , c )						1 3		2	96 .
						3	5	0

г). Проверить, будутликомпланарнытривектора																a , b , c .

Вектора a , b , c компланарны, если ( a , b , c ) 0.

Из пункта в) ( a , b , c ) 96 0, следовательно, эти векторы некомпланар-

ны.

Задача1.5. Данычетыреточки A1(4,7,8), A2 ( 1,13,0), A3 (2,4,9), A4 (1,8,9).

Составитьуравнения: а). Плоскости A1A2 A3.

Уравнениеплоскостипотремточкамимеетвид

x 4	y 7	z 8		6x 7 y 9z 97 0 .
x 4	y 7	z 8
1 4	13 7	0 8	0, откуда
2 4	4 4	9 8

б). Прямой A1A2.

Уравнениепрямойподвумточкам

x x0		y y0		z z0		, откуда	x 4		y 7	z 8	.
							5
x x	0	y y	0	z z	0			6		8
1		1		1

в).	Прямой A4M , перпендикулярнойкплоскости												A1A2 A3 .
																A4M , от-
Из уравнения плоскости A1A2 A3 следует, что вектор a (6; 7; 9) \|\|																A4M , от-
кудауравнение A M имеетвид			x 1			y 8		z 9			.
кудауравнение A M имеетвид											.
	4		6				7		9
			6				7		9

г).	Прямой A4 N , параллельной A1A2. Значит, вектор b ( 5;6; 8) \|\| A4 N и
уравнениеэтойпрямойимеетвид				x 1			y 8			z 9		.
уравнениеэтойпрямойимеетвид				5								.
				5	6					8
д).	Плоскости, проходящей через точку							A4 перпендикулярно к прямой
A1A2.
Вектор b ( 5;6; 8) перпендикуляренискомойплоскости.
Значит, 5(x 1) 6( y 8) 8(z 9) 0 -								ее уравнение, которое приводит-
сяквиду 5x 6 y 8z 29 0.
е). Вычислить sin - угламеждупрямой A A иплоскостью A A A .
								1		4				1	2	3


	sin \| cos(A1A4	, a ) \|;					A1A4		( 3;1;1) ;
	sin \| 3 6 1 ( 7) 1 ( 9) \|									34				.
	sin \| 3 6 1 ( 7) 1 ( 9) \|									11			166	.
	9 1 1		36 49 81							11			166

ж). Косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью

A1A2 A3 .


Вектор	k Oxy , авектор a A1A2 A3 . Поэтому
cos	\| 0 6 0 ( 7) 1 ( 9) \|		9	.
			166
	1	62 ( 7)2 ( 9)2
Задача	1.6.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
M (4,3,1) и N( 2,0, 1) параллельно прямой, проведенной через точки					A(1,1, 1) и
B( 3,1,0).

Найти вектор n , перпендикулярный искомой плоскости. Вектор

AB,

следовательно, вкачествевектора n

можновзять [MN, AB].

;

MN ( 6, 3, 2)

AB ( 4,0,1) ;

[MN, AB]

3 2

3 i

14 j

12 k .

0 1


n	MN и

	Тогда уравнение искомой плоскости					3(x 4) 14( y 3) 12(z 1) 0, ко-
тороеприводитсяквиду					3x 14 y 12z 18 0.
	Задача 1.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых		x 2y 3 0 и			x 3y 4 0 перпендикулярно первой прямой. Найдем
точку M 0 :					x 2y 3 0;	x0 1;

					x 3y 4 0 y0 1.
	Вектор a (1,2) параллелен искомой прямой. Поэтому ее уравнение запишем
как	x 1		y 1	; оноприводитсяквиду		2x y 1 0.
	1
		2
	27

Задача1.8. Определитьвидповерхностиипостроитьее.

а) x2 4y2 1 z2 2 0 . Приведемуравнениекканоническомувиду

6 2

x2 y2 z2 1. 12 1 4

Получим уравнение однополостного гиперболоида, ось которого совпадает с

OX ; полуосиэллипсавплоскостиY0Z равны	1	и 2. Построимповерхность.
	2

X
б) 3x2	y2		z2	0.
б) 3x2				0.
2		4			x2	y2	z2
Приведемуравнениекканоническомувиду					x2	y2	z2	0 .
Приведемуравнениекканоническомувиду					1	6	12	0 .
					1	6	12

Этоуравнениеконусавторогопорядка, оськоторогосовпадаетсосью0Z.

	X
		4.2. Решениетиповоговариантаконтрольнойработы N 2
	Задача 2.1. Найти dy / dx , если y tg ln x3			x4	,	y 2sin x2	3 x ,
	Задача 2.1. Найти dy / dx , если y tg ln x3				,	y 2sin x2	3 x ,
		x2 5x)	1 x5
y	arcsin(	x2 5x)	.
y		x	.
		x
	29

Решение. а). Для y tg ln x3

имеем

1 x5

y dx

(tg ln x

)

1 x

(ln x3 )' (x

)'(1 x

) x

(1 x

)

cos2 ln x3

(1 x5 )2

)

xcos2 ln x3

cos2 ln x3

5 2

1 x

б). Для y 2sin x2

3 x .

sin x2

x 2

(x3 )

sin x2 ln 2

x 3

sin x2 ln 2

ln 2

2sin x2

sin x2

cos x

) ln 2

sin x

3x2 / 3

2sin x2

21 sin x2

x 3 ln 2cos x2 2sin x2 .

3x2 / 3

		x2
	arcsin		5x
в). Для y				.
		x

arcsin

x x

arcsin

x2 5x 2 x2

x 2x 5

arcsin

2 1 x

Задача2.2.

Найти d 2 y / dx2 , если

ln y

x t cos t;

y sin 5x 1 ex

y sin 2t.

Решение

а).

y sin 5x

1 e

sin 5x 1

5 1

cos5x

sin 5x

cos5x

2xe

sin 5x;

5 1 e

cos5x

5 1 e

cos5x

sin 5x

2x e

sin 5x 2xe

2xcos5x

2x e

sin 5x

sin 5x 4x2ex

sin 5x

5 1

5sin 5x 2ex

10xe

cos5x 20xe

cos5x

23e

sin 5x.

sin 5x

б). Дифференцируяуравнениедля y(x) , имеем

y ln y

2 x

откуда

2 y 1 x

Дифференцированиепоследнегосоотношениядает

y ( y 1)

x y(( y 1)

2 y 1

x 2

x y 1

x y y

y y 1

2 y 1 2 x

2 x

y y 1

2 x

2 y 1 2 x

Вносявыражениедля y , находим

y 1

4 y 1 2 x y 1

в). Первая производная заданной параметрически функции вычисляется по формуле

dy / dt

dx / dt

Здесь

xt cost t sin t,

yt 2cost ,

откуда

2 cos t

cos t t sin t

Вторуюпроизводнуювычислимпоформуле

d 2 y

d dy

d 2 cos t

dx2

dt dx

cos t t sin t dt cos t t sin t

cos t cos t t sin t cos t cos t t sin t

cos t t sin t 3

sin t cos t t sin t cos t sin t sin t t cos t

cos t t sin t 3

2 t 3sin t cost .cost t sin t 3

Задача2.3. Вычислитьпредел, пользуясьправиломЛопиталя:

1 4x7 1

lim xln e

1 .

lim

; lim ctgx

;

sin x7

x 0

Решение. а). Искомыйпределявляетсянеопределённостью типа 00. ПоправилуЛопиталя

1 4x

lim

sin x

x 0

sin x7

x 0

31 4x7

cos x7 x7

lim

28x6

lim

211 4x7

x 0

3 cos x7

21 x 0

1 4x7 3 cos x7

б). Предел является неопределённостью вида ,

поэтому вначале его

надопреобразоватьквиду

0 или

a lim

lim

x cos x

sin x

ctg

x sin x

x 0

Кпоследнему(типа 0 / 0 ) можноприменятьправилоЛопиталя:

x cos x sin x

x sin x

a lim

lim

x cos x sin x

lim

x sin x

x 0

x sin x

x 0 sin x x cos x

Полученный предел вновь является неопределенностью 0 / 0, поэтому повторноеприменениеправиладает

			x cos x sin x
a lim	x sin x	lim		0 .
			2 cos x x sin x
x 0	sin x x cos x	x 0

в). Предел является неопределенностью вида 00 , к которой удобно применятьследующийприем. Обозначим

	2			2 ln x
y xln e	x	x ,	ln y	2 ln x
y xln e		x ,	ln y	ln ex 1 .
Тогда

lim ln y

(1)

lim y lim eln y e

x 0 .

x 0

Вычислимвспомогательныйпредел

ln x

lim ln y 2 lim

2 lim

ln x

ln ex 1

x 0

0 ln ex 1

x 0

ex 1

2 lim

2 .

x 0 x e

x 0 e

x 0 xex

Искомыйпределсогласно(1) равен

lim y e2 .

x 0

Задача2.4. Исследоватьфункцию y 1 e x2 ипостроитьееграфик.

Решение. Областью определения является вся действительная ось x . Дляотысканияучастковмонотонностинаходим

	x2			x2	.
y e		1 2xe			.

Тогда	y 0 при x 0				(интервал возрастания), y 0 при x 0 (интервал
убывания).	Точка x 0		является стационарной, посколькуy 0 0. При перехо-
де через x 0		производная			меняет знак с плюса на минус, поэтому при x 0

функцияимеетлокальныймаксимум.

Дляотысканияучастковвыпуклостииспользуетсявтораяпроизводная

2 2x

1 e

y 2 xe

При

2x2 1 0

или

2 будет y 0 и функция вогнута; при

1 2

y 0 ифункциявыпукла.

Вертикальных асимптот функция не имеет. Для отыскания наклонных асимптот y ax b вычислим

a lim	y x	lim	1 e x2	0,	b lim	y ax lim		e	x2	1.
							1

x 0 x		x 0 x			x 0	x 0

Поэтомупри x функцияимеетасимптоту y 1.

Результаты исследования с учетом четности функции y x y x показанынаграфике

1 2 О 1 2

4.3.РешениетиповоговариантаконтрольнойработыN 3

Задача 3.1. Найти градиент и уравнения касательной плоскости и нормали к заданнойповерхности S вточке M0 x0 , y0 , z0 .

S : x2 2 y2 3z2 5x 7z 18 0,				M0 1, 1,2 .
Решение. Обозначим f x, y, z x2				2y2	3z2 5x 7z 18.
Тогда
f	(x, y, z) 2x 5,		f x, y, z 4y,		f x, y, z 6z 7,
x			y		z
f	1, 1,2 7,	f	1, 1,2 4,	f 1, 1,2 19.
x		y		z

gradf x, y, z 2x 5,4y, 6z 7 2x 5 i 4yj 6z 7 k ;

gradf M0 7i 4 j 19k .

Величинаградиента

gradf M0

49 16 361 426 .

Уравнение касательной плоскости, имеющей нормальный вектор (7,-4,-19) и проходящейчерез M0 , запишется

7(x 1) 4( y 1) 19(z 2) 0 ,

или

7x 4 y 19z 27 0.

Нормальная прямая имеет направляющий вектор (7,-4,-19) и проходит через M0 1, 1,2 , поэтомуееуравнения

x 1		y 1	7 2 .
7
	4		19

Задача 3.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функцииz z x, y в областиD, ограниченнойзаданнымилиниями:

z x2 y2 xy 3x;

D : y 2x 6,

y 0,

x 0.

Решение. ОбластьD показананарисунке(треугольникOAB).

B(0,6)

1 С

2 A(3,0)

Cтационарныеточкиявляютсярешениямисистемыуравнений

	z 2x y 3 0,		z 2 y x 0 ,
	x		y
откуда находим точку C 2,1 , принадлежащую, как видно из рисунка, области
D . В этой точке z 3 .						(2)
Исследуемфункциюнаграницеобласти D.
Отрезок ОА. Здесь y 0, 0 x 3 и			z x2		3x. Стационарные точки оп-
ределяютсяизуравнения z 2x 3 0, откуда x 3 2. Вэтойточке
	z 9 .					(3)
Наконцахотрезка		4
Наконцахотрезка
	z 0 x 0 ,	z 0		x 3 .		(4)
Отрезок АВ. Здесь y 6 2x иz 7x2				33x 36 0 x 3 . Из уравнения
z 14x 33 0	находим x 33 14 и
	z	81 .				(5)
		28
При x 0	имеем
	z 36.					(6)
Отрезок ОВ. Здесь x 0, z y2 0 y 6 .					Поскольку z 2y 0	при
0 y 6, функция не имеет стационарных точек. Значения ее при y 0,						y 6
быливычисленыв(4), (6).
Изрезультатов(2)-(6) заключаем, что
	max z x, y 36,		min z x, y 3,
	D		D

причем наибольшее значение достигается в точке А(3,0), наименьшее - в точ-

ке С(2,1).

Задача3.3. Найтиполныйдифференциалфункции z xy e5x2 .

Решение. Частныепроизводныеравны

z ye5x2 xy e5x2 10x

Поэтому

dz xz dx yz dy y 1

ye5x2 1 10x2 ,	z	xe5x2 .
	y

10x2 e5x2 dx xe5x2 dy .

Задача3.4. Найтичастныепроизводныевторогопорядкафункции z x y . Решение. Сначаланаходимчастныепроизводныепервогопорядка:

z	yx	y 1	,	z	x	y	ln x.
x				y

Затем, дифференцируянайденныечастныепроизводные, получимчастные производныевторогопорядкаданнойфункции:

2 z

y y

1 x y 2 ;

x x

2 z

x y ln x ln x x y ln x 2 ;

y 2

2 z

x y 1 yx y 1 ln x x y 1 1 y ln x ;

y x

z yx y 1 ln x x y 1

x y

yx y 1 ln x x y 1 x y 1 y ln x 1 ;

2 z

x y

y x

Задача3.5. Вычислитьзначениепроизводнойсложнойфункции

u u x, y arccos x2 , y

где

x x t 1 ln t, y y t 2e t 2 1 ,

при t t0 1 с точностью до двух знаков после запятой.

Решение. Так как сложная функция u зависит от одной переменной t через промежуточные переменные x иy , которые в свою очередь зависят от одной пе-

ременной t, товычисляемполнуюпроизводнуюэтойфункциипоформуле

u dx

u dy .

x dt

y dt

| y |

e t

t .

y2 x4

y t

Вычислим x и y при t0 1:

x 1 1 ln1 1,

y 1 2e 1 1 2e0 2 .

Подставимзначения x 1, y 2,t 1 ввыражениепроизводной. Получим

du		2	2 1	1	2 1	e	1 1		4	4 3


								1			2,31.
dt		4 1	2	1	2				3	3
	t 1

4.4. Решениетиповоговариантаконтрольнойработы№4

Задача 4.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенныйинтегралотфункциивида (7x 3)cos2x.

Решение. Поскольку

cos 2xdx	1	cos2xd(2x)	1	sin 2x C,	sin 2x		cos2xdx,
	2		2		d	2

искомый интеграл равен

sin 2x		1	(7x 3)sin 2x	1	sin 2xd(7x 3)
(7x 3)cos2xdx (7x 3)d	2	2		2

1 (7x 3)sin 2x					7 sin 2xdx						1 (7x 3)sin 2x													7 cos 2x C.
2					2						2													4
Задача 4.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на
простейшиедробиподынтегральнойфункции																					x2 2							.
простейшиедробиподынтегральнойфункции																		x(x2 4x 3)										.
Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени
знаменателя, следуетвыполнитьделение:
	x4	2		x 4					13x2		12x						2		x 4						13x2 12x				2	.
	x3 4x2			x 4					x3		4x2 3x								x 4							x(x 1)(x 3)				.
	x3 4x2	3x							x3		4x2 3x															x(x 1)(x 3)
Правильнуюдробьразложимнапростейшиедроби
				13x2 12x 2								C					C		2			C		3
													1						2					3			.
				x(x 1)(x 3)									1				x			1		x 3					.
				x(x 1)(x 3)								x					x			1		x 3
Методомнеопределенныхкоэффициентовнаходим
	C (x 1)(x 3) C							2	x(x		3) C			3		x(x 1)						13x2 12x 2,
1								2						3
откуда
	C1 C2 C3 13,							4C1 3C2					C3 12,														3C1 3C2		2.
Решаяэтусистемууравнений, имеем																							203 .
			C			1	,		C	2			9		,						C	3
			C				,		C						,						C
			1		15							15													15
					15							15													15

Искомыйинтегралравен

(x4 2)dx

(x 4)dx

203

x(x

1)(x 3)

x 1

ln | x |

d (x 1)

203

d(x 3)

x 1

x 3

ln | x |

ln | x 1|

203

ln | x 3| C.

Задача 4.3. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от

функции

3 x

Решение.

Выполним подстановку

3 x

Разрешая уравнение относи-

тельно x , находим:

6tdt

t 2

(t2 1)2

Тогдаискомыйинтегралзапишется:

3 x

t 2dt

2 1)2

Разлагаяподынтегральноевыражениe напростейшиедроби

t 2

(t 1)2 (t 1)

1)2

(t 1)

(t 1)2

t 1

и раскрывая скобки в равенстве

A1(t 1)(t 1)2 A2 (t 1)2 A3 (t 1)(t 1)2 A4 (t 1)2 t 2 ,

приходим к соотношению

t 3 (A A		) t 2 (A A A A					) t( A			2A A 2A )
1	3	1	2	3	4				1	2	3	4
		( A A A A							) t 2 .
			1	2		3		4

Системауравненийотносительно A1, A2 , A3, A4 запишется

							A	A						0;
							1				3
							A1 A2 A3 A4 1;
						A					2A				A			2A								0;
							1							2		3					4
						A					A					A			A		0.
							1						2			3				4
РешаяееметодомГаусса, находим																A 1 ,						A					1 ,				A			1 , A		1 .
																1		4					2				4				3			4	4	4
Искомыйинтегралравен:																		4									4							4		4
Искомыйинтегралравен:
				1		dt		1						dt			1				dt					1				dt
				1		dt		1						dt			1				dt					1				dt
		I 6
		I 6		4		t 1		4		(t				1)		2	4			t		1				4		(t			1)	2
				4		t 1		4		(t				1)			4			t		1				4		(t			1)
				3									1												1
					ln \| t		1\|								ln \| t				1\|										C
				2	ln \| t		1\|					t	1		ln \| t				1\|					t					C
				2								t	1											t	1

	3		3 x						1										3 x												1

		ln			1											ln								1											C .
	2	ln	x		1			3 x						1		ln					x			1					3		x		1		C .
	2		x					3 x													x								3		x

									x																						x
									x																						x

Задача 4.4. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от

функции	1	.

	2 7sin2 x

Решение. Универсальной является подстановка t tg 2x , для которой нетруднопроверитьравенства

cos

sin

cos x 2cos2 x 1

1 t 2

1 x2

1 t 2

sin x 2sin

cos

2dt

t 2

Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональнойдроби

I		dx	2	(1 t 2 )dt		.	(7)
	2	7sin2 x		2(1 t 2 )2	28t 2

Однаковрядеслучаевболееудобныподстановки:

(1)

t sin x.

Тогда

cos x

1 t 2 ,

;

1 t 2

(2)

t cos x.

Тогда

sin x

1 t 2 ,

;

1 t 2

(3)

t tgx.

Тогда

cos x

sin x

1 t2

1 t 2

t 2

Подстановки 1,2 приводят к подынтегральным выражениям, содержащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, болеепростому, чем(7), илегкоприводящемусяктабличному:

3tgx

arctg

C .

9t 2 2

3 2

Задача4.5. Вычислитьплощадьфигуры, ограниченнойлиниями:

а)

y x2

y ln(2x 1),

x 0,

x 2;

x 1.

б)

y x,

y 4x 2 ,

x 0,

Решение.

а).

Рассмотрим

вспомогательную

функцию

z(x) x2

3 ln(2x 1)

на отрезке

0 x 2. Площадь вычисляется по формуле

S | z(x) | dx.

Исследуем z(x). Очевидно, что z(0) 3 0. Поскольку

									2				4(x 1)(x 1/ 2)
					z (x) 2x										2x 1							,
					z (x) 2x		2x 1								2x 1							,
	нетрудно проверить, что z(x) достигает в точке																	x 1/ 2 локального мини-
мума, причем				z(1/ 2) 3,25 ln 2 0.							Кроме того,							z(2) 7 ln5 0.								Поэтому
наименьшее значение						z(x) на [0,2], равное									z(1/ 2) , положительно,											и, значит,
z(x) 0. Имеем
	2		2											x3						2		2
	2		2											x3						2		2
	S z(x)dx (x2 3 ln(2x 1))dx															3x					ln(2x 1)dx
	S z(x)dx (x2 3 ln(2x 1))dx														3	3x					ln(2x 1)dx
															3
	0		0						2											0		0
	0		0																	0		0

						26 ln(2x 1)dx.
						3			0
									0
	Вычисляяинтегралпочастям, находим
	2								2		2											2	2xdx
	ln(2x 1)dx					(xln(2x 1))			2		xd ln(2x 1) 2ln5												2xdx
									0


	0										0											0 2x 1
	2		1						2		1	2 d(2x 1)											1				2
			1						2		1	2 d(2x 1)											1				2
2ln5		1			dx 2ln5 x			0										2ln5 2						ln\| 2x 1\|			0
		1		2x 1							2			2x	1			2ln5 2					2

	0											0
									5 ln 2 2.
									2
	Поэтому		S 32 / 2 5 ln 5 / 2.
	б). Здесь		z(x)		x 4x 1 на					0 x 1.					Имеем					z(0) 3/ 4,					z(1) 9 / 4,
и, следовательно, z(x)						2
и, следовательно, z(x)						меняет знак. Найдем интервалы,																где она положительна
или отрицательна. Отыскивая корни уравнения																	z(x) 0 находим									значение
x 1 , поэтому z(x) 0 при 0 x 1/ 4														и z(x) 0					при 1/ 4 x 1. Искомая
1	4
	4

площадьравна:

						1/ 4						1						1/ 4			1
				S z(x)dx								( z(x))dx z(x)dx z(x)dx.
						0					1/ 4							0			1/ 4
Вычисляемнеопределенныйинтеграл																			2 x 23
			F(x) z(x)dx (										x 4x 1)dx							2x2				x	C.
			F(x) z(x)dx (										x 4x 1)dx							2x2					C.
																	2		3				2
Тогда
S	F(x)	1/ 4		F(x)				1			1		F(0) F(1)						1				1		F(0)	F(1)
		1/ 4						1			1								1				1
		0						1/ 4		F									F	2F
											4								4				4
											4								4				4
					2	1	3			1		2		1					2			1
					2	1		2		1		2		1					2			1
		2							2							C		C		2			C 1.
		2			3				2					2	4	C		C		2		2	C 1.
					3	4				4				2	4				3			2

Задача					4.6.					Вычислить							площадь,			ограниченную						кривой
( ) 3(1/ 2 cos3 ) вполярнойсистемекоординат.
Решение. Кривая определена для тех значений из интервала																										0 2
(или	), при которых													выполняется условие							( ) 0. Неравенство
cos3 1/ 2			имеетрешения / 3 2 n 3 5 / 3 2 n																			(n 0, 1, 2,...) или
										2 n							5 2 n .									(8)
									9			3					9	3
Области(8) принадлежатинтервалу 0 2 призначениях n 0,1,2, т.е.
								5	,			7					11	,	13		17 .
				9			9					9					9			9					9

Площадьвычисляетсяпоформуле

S	1	5 / 9			1					2				1 11 / 9			1	cos 3						2
S	2			9	2	cos 3				d				2			9	cos 3						d
	2		/ 9		2									2	7 / 9		2
			/ 9												7 / 9
								1	17 / 9				1				2	d .
								2			9		2	cos 3				d .
								2	13	/ 9			2
									13	/ 9
Вычисляянеопределенныйинтеграл
			1				2						1	cos 3 cos					3
F( )			2	cos 3					d				4	cos 3 cos							3 d
			2										4
1	sin 3					1	(1 cos 6 )d									3	sin 3					sin 6 C,
4			3			2										4		3					12
находим
	S		9	(F	( )		5 / 9		F( )			11 / 9				F( )		17 / 9 )					3 .
	S		9	(F	( )		5 / 9		F( )			11 / 9				F( )		17 / 9 )					3 .
			2				/ 9					7 / 9						13 / 9					2
			2				/ 9					7 / 9						13 / 9					2
																						dx
Задача4.7. Вычислитьнесобственныйинтеграл																						dx				илидоказать
Задача4.7. Вычислитьнесобственныйинтеграл																				2						илидоказать
																		2 x				7x			12

егорасходимость.

Решение. Согласно определению несобственного интеграла с бесконечным пределомимеем

		dx	a		dx
			lim			.
	2	7x 12		2	7x 12
2 x			a 2 x

Посколькукорнямитрехчленавзнаменателебудут x1 3, x2 4, то

1	1	C1	C2	.
x2 7x 12	(x 3)(x 4)	x 3	x 4

Методом неопределенных

коэффициентов

находим

C1 C2 0,

4C1 3C2 1, откуда C1

C2 1.

Поэтому

(ln | x 3 | ln | x 4)

2 x2 7x 12

x 3

a 4

ln(a 3) ln(a 4) ln 5 ln 6 ln 6

a 3

Значениенесобственногоинтеграларавно

a 4

lim

a 4

lim ln

a 3

a a 3

Задача 4.8. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданнымилиниямииимеющейповерхностнуюплотность r(x, y).

D: y 8x2 ,

x 0,

x 1,

y 2x;

r(x, y) 7x y.

Решение. Видобластипоказаннарисунке.

y=8x2

y= -x

-2

Массапластины m запишетсяспомощьюдвойногоинтеграла

m r(x, y)dxdy (7x y)dxdy .

D D

Сведемдвойнойинтегралкповторномуинтегралу

			1 8x2					1						y2			8x2
			1 8x2					1						y2			8x2
		m dx (7x					y)dy dx				7xy
		m dx (7x					y)dy dx				7xy			2
														2
		1	0	x				0									x
			0	x				0									x
			7x	8x2			(8x2 )2	7x( x)					( x)2
			7x	8x2			2	7x( x)						2		dx
							2							2
		0
1	32x4	56x3			13	x2			x5			56	x4		13			x3	1	677
1					13				x5			56			13				1	677
							dx	32													.
					2		dx	32		5		4			2	3				30	.
					2					5		4			2	3				30
0																			0
0																			0

Задача 4.9. Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V, ограниченнойуказаннымиповерхностями: V: y=8-2x2, z=0, y=0, x=0, z=2x+y.

Решение. Область V изображена на рисунке, где цифрами 1, 2 обозначены параболический цилиндр y=8-2x2 и плоскость z=2x+y соответственно; остальные уравненияотвечаюткоординатнымплоскостям.

8 -	B
V	2

1 4 -

S A

Объем областипосредствомтройногоинтегралазапишется

dxdydz.

Приведеминтегралкповторному

dS	zB	2	yD	zB
dS		dz dx		dy dz .
S	z A	0	yC	z A

Через zA , zB обозначены аппликаты точек A, B (см. рис.), вычисленные из

уравнений плоскости z 0 и плоскости z 2x y , т.е. zA 0 , zB 2x y . Через S обозначена область плоскости x, y , на которую проецируется область V .

Поэтому при сведении двойного интеграла по области S к повторному ординаты yC , yD точек C, D вычисляются из уравнения yC 0 и уравнения линии,

являющейся пересечением цилиндрической поверхности y 8 2x2 и плос-

кости z 0, т.е. уравнения									yD 8 2x2. Искомый объем равен
				2 8 2x2					2x y			2 8 2x2						2x y
			dx						dy		dz	dx				dz z		2x y
				0				0		0		0	0					0
																		0

				2 8 2x2							2				y	2	8 2x2
				2 8 2x2							2					2	8 2x2
				dx					2x y dy dx 2xy
				dx					2x y dy dx 2xy					2
				0				0			0			2
																	0
																	0
	2	2x 8	2x2		1		8	2x	2 2	dx	2		3	32 16x					2	2x	4		692	.
						2					16x 4x			32 16x						2x		dx		.
	0					2					0												15

Задача 4.10. Вычислить: а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой L , с плотностью f1 x, y с помощью криволинейного интеграла первого рода;

b) работу силы F f1 x, y , f2 x, y вдоль траектории L от т. A до т. B с помощью криволинейногоинтегралавторогорода.

f 2x;	f	2	x y;	1 L	- четверть окружности x 3 2 y 1 2 4
1		2

междуА(3,-3), В(5,-1). (2) L - дугапараболы y 1 2x2 отА(0,1) доВ(1,-1).

Решение. а). Заряд q проводника, имеющего плотность заряда f1 x, y вычисляетсяпоформуле

q f1 x, y dS 2xdS .

(1). Окружностьудобнозадатьвпараметрическомвиде:

x 3 2cost,

y 1 2sint

0 t 2 .

УчасткуL соответствуютзначенияпараметра tA t tB , где

3 2 cos t A 3;

3 2 cos tB 5;

2 sin tB 1,

1 2 sin t A 3;

откуда tA 3 / 2,

tB 2 .

Криволинейный интеграл выражается через оп-

ределенный

q f1

dt,

x t , y t x

t A

причем верхний знак выбирается при

tB tA и нижний - при tB tA.

Вданнойзадаче

q 2 x t

3 2 cos t dt 2 3 4 .

3 2

(2). Для дуги параболы

L удобнее использовать частный случай формулы

при t x :

dx.

x, y x 1

	Для y 1 2x2 ,						0 x 1				имеем
												1					2 dx.
									q 2 x 1 16x								2 dx.
												0
	Используемподстановку
			x	1	tgu,				dx			du			, tgu1		4				u1
				4																0			.
																				0			.
										4cos2 u													2
	Тогда															u1
	1	u1	du			1	u1							1				1		1				1	17	17 1 .
		u1					u1
q		tgu						d cos u														1
q	8	tgu	cos3 u			8		d cos u					24 cos3 u									1		24
	8		cos3 u			8			cos4 u				24 cos3 u				24		cos3 u					24
		0						0								0					1
		0						0								0					1
	б). Работа силового поля с компонентами																f1 x, y , f2 x, y						вдоль траектории
АВзапишется

W f1 x, y dx f2 x, y dy.

(1). Для четверти окружности приведем интеграл к определенному по фор-

муле

tB		x t , y t x t f2	x t , y t y t dt
W f 1		x t , y t x t f2	x t , y t y t dt

t A
2
2 3 2cost		2sin t 4 2cost 2sin t 2cost dt
3 2
	2
2	4cost 6sin t 3sin 2t dt 26.
	3 2

(2). Длядугипараболы

	xB	1	2		7
	W f1 x, y x f2 x, y x y x dx 2x x 1 2x		2	4x dx	7	.
					3
	xA	0			3
	xA	0
	Задача 4.11. Вычислить	расход жидкости с полем скоростей
	1 x, y, z , 2 x, y, z , 3 x, y, z ,	протекающей за единицу времени через часть
	1 x, y, z , 2 x, y, z , 3 x, y, z ,	протекающей за единицу времени через часть
S плоскости ax by cz d 0,		лежащей в первом октанте. Единичная нормаль

	направленавненачалакоординат.
n	направленавненачалакоординат.
	1 x, y, z z 2x,	2 x, y, z 1,		3 x, y, z 3y x;
	a 5,	b 4,	c 3,	d 10.

Решение. Искомыйрасходданформулой

Q 1n1 2n2 3n3 dS .

Единичнаянормалькплоскостиимееткомпоненты

n			a	5	, n		2			b						4		, n	c		3	.
n					, n													, n				.
1		a2 b2 c2		50					a2 b2 c2						50			3	a2 b2 c2	50
		a2 b2 c2		50					a2 b2 c2						50				a2 b2 c2	50
	Поверхностныйинтегралможновыразитьчерездвойнойинтеграл
Q		1	(5 (x, y, z(x, y) 4			2		(x, y, z(x, y)) 3					3	(x, y, z(x, y))					1 (Z1 )2 (Z1 )2 dxdy,
Q			(5 (x, y, z(x, y) 4					(x, y, z(x, y)) 3						(x, y, z(x, y))					1 (Z1 )2 (Z1 )2 dxdy,
D		50	1																x	y
D		50
	гдеуравнениеповерхности S записановявномвиде:
							Z (x, y)			10		5x			4y		.
							Z (x, y)			3					3		.
										3	3				3

Область D являетсяпроекцией S наплоскость x, y иограниченалиниями

x 0, y 0, 5x 4y 10 0 .

Внося вдвойнойинтегралзаданныефункции, находим
							Q 1	(62 28x 11y)dxdy .
							9	D
								D
Последнийзапишетсячерезповторныйинтеграл
Q	1	2	(10 5x) / 4		(62 28x			11y)dxdy	1		2			11		y	2		10 5x / 4
	1	2	(10 5x) / 4						1		2			11			2		10 5x / 4
	9	dx							9		dx(62 y 28xy				2				0
		0	0		2		(62 28x)(10 5x)				0
		0	0								0
				1		(				11		(10	5x)2 ) dx		125			.
				9		(		4		32		(10	5x)2 ) dx		36			.
				9	0			4		32					36

Учебноеиздание

Высшая математика

Программа, методическиеуказанияиконтрольныезадания длястудентов-заочниковинженерныхи инженерно-экономическихспециальностей приборостроительногофакультета

В2-хчастях

Часть I

Составители: ИБРАГИМОВ Владислав Ахмедович СТРЕЛЬЦОВ Сергей Викторович МЕЛЕШКО Алексей Николаевич ВИШНЕВСКАЯ Ольга Геннадьевна

РедакторТ.Н.Микулик Подписановпечать21.01.2000.

Формат60х84 1/16. Бумагатип. №2. Офсет. печать. Усл.печ.л. 5,9. Уч.-изд.л. 4,5. Тираж200. Заказ544.

Издательиполиграфическоеисполнение: Белорусскаягосударственнаяполитехническаяакадемия. ЛицензияЛВ№155 от30.01.98. 220027, Минск, пр. Ф.Скорины, 65.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.17 Mб1Выполнение чертежей железобетонных конструкций.pdf
#
24.11.20256.55 Mб2Выполнение чертежей одноэтажного промышленного здания.pdf
#
24.11.20252.01 Mб0Выполнение экономической части дипломного проекта.pdf
#
24.11.20251.15 Mб1Выпускная квалификационная работа.pdf
#
24.11.2025907.46 Кб0Высокоточное оружие.pdf
#
24.11.20251.39 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20251.68 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч 1.pdf
#
24.11.20254.34 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
24.11.20252.19 Mб0Высшая математика. В 2 ч. Ч. 2.pdf
#
24.11.20251.45 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры.pdf
#
24.11.20252.41 Mб0Высшая математика. В 7 ч. Ч. 2. Элементы аналитической геометрии.pdf