Из расчета и табл. 6.2 видно, что отношения |
A |
и |
E |
менеетрех, а |
||
m |
A |
m |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
E |
|
||
поэтому глубина промерзания подчиняется закону нормального распределения. Но ввиду того, что для кривых нормального распределения требуется большое количество наблюдений (n→∞) чего в настоящее время на территории республикине имеется, то для определения глубины промерзания использованы кривые биномиального распределения, трехпараметрического Г - распределения и двойного экспоненциального распределения.
6.3.Анализ существующих методов построениякривых обеспеченности для применения их к определению глубины промерзания
Как указывалось выше, глубина промерзания грунтов является величиной случайной, т.е. зависит от многих факторов. Поэтому определение вероятных глубин промерзания необходимо производить методом математической статистики - по кривым обеспеченности. С помощью кривой обеспеченности можно определить глубину промерзания грунтов любой заданной обеспеченности в пределах данного периода наблюдений.
Впрактике ряды наблюдений за глубиной промерзания грунтов обычно бывают короткими и не дают возможности построить надежную кривую распределения(в Беларуси наблюдения за глубиной промерзания грунтов ведутся систематически). В связи с этим, разными авторами разработаны теоретические кривые распределения, с помощью которых можно определить величину редкой повторяемости, выходящую за пределы ряда наблюдений.
Вчастности имеются следующие теоретические кривые распределения:
1. Биномиальная кривая распределения (С. И. Рыбкина, А. Фостера) применяемая для построения кривых обеспеченности. Она выражается следующим уравнением:
|
x |
|
|
|
|
α |
|
|
− |
|
|
|
x d |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
y = y e |
d |
|
1+ |
|
|
|
, |
(6.20) |
|
|
|||||||
d |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
α |
|
|
||
где yd-наибольшая или модальная ордината; e - основание натуральных логарифмов;
d - радиус асимметрии;
α - расстояние от модальной ординаты до левого конца кривой. Биномиальная кривая обеспеченности определяется тремя
параметрами:
а) Средним арифметическим ряда, Zср,
zср = |
∑z |
, |
(6.21) |
|
n |
||||
|
|
|
где Σz - сумма всех членов ряда; n - общее число членов ряда.
б) Коэффициентом вариации, Cv ,
C = ∑(K −1)2 , (6.22)
v |
n −1 |
|
где K - модульный коэффициент или отношение каждого членаряда к среднему, т.е.
zi |
|
|
K = zср |
, |
(6.23) |
в) Коэффициентом асимметрии, Cs ,
Cs = |
∑(K −1)3 |
, |
(6.24) |
|
(n −1)Cv3 |
||||
|
|
|
Для вычисления коэффициента асимметрии требуется продолжительный ряд наблюдений, который на практике обычно отсутствует. Поэтому коэффициент асимметрии не рассчитывается, aпринимается равным:
Cs= 2Cv(6.25)
При этом значении Сs и обеспеченности 100% будет равна нулю.
2.Трехпараметрическое Г - распределение (Н. Менкель).
Уравнение кривой распределения
ϕ2(x) = Гα2 aαbxα−1e−α (α)
глубина промерзания
С. Крицкий и М. Ф.
(axb )
,(6.26)
где α = 1 , aГ( ) - символ гамма-функции,
Cv2 α
a, b - параметры, подлежащие определению на основании опытных данных.
Ординаты кривой обеспеченности, выраженные данным уравнением всегда положительны, т.е. при Р = 100%, y = 0, поэтому трехпараметрическое Г - распределение допускает любое соотношение Cs и Cv, чем отличается от биномиальной кривой распределения.
3. Двойное экспоненциальное распределение [125], (Э. Гумбель) Функция распределения
Ф(x) =1−exp(−ey ), |
(6.27) |
Плотность распределения |
|
ϕ(x) = an exp(y −ey ), |
(6.28) |
где an- экстремальная функция интенсивности.
Модульный коэффициент определяется по следующей формуле:
|
y − |
|
|
|
|
|
|
|
y |
n |
|
|
|||
Ks |
=1+Cv |
|
|
|
, |
(6.29) |
|
σn |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
где Cv - коэффициент вариации,
y - действительное отклонение, т.е. обратная функция y=-ln(-lnФ) значение этой функции приведено в табл. 9 Н. В.
Смирнова и И В. Дунина-Барковского [126];
yn, σn- среднее и стандартное отклонение, находятся в зависимости
от числа лет наблюдений [125].
Приведенные теоретические кривые распределения получили наибольшее распространение в практике построения кривых обеспеченностей и гидрологических расчетов. Поэтому нами проанализированы данные кривые распределения с целью применения их дляопределения глубины промерзания грунтов. В связи с этим были обработаны данные наблюдений за глубиной промерзания грунтов с определением параметров кривой обеспеченности и построением ее для каждой агрометеостанции, на которой в течение более 20 лет велись наблюдения за глубиной промерзания грунтов; таких станций в Беларуси - 26. Все расчеты по определению среднего арифметического ряда, коэффициента вариации и коэффициента асимметрии, а так же ординат биномиальной кривой распределениятрехпараметрического Г - распределения, двойного экспоненциального распределения произведём на примере данных о глубине промерзания грунта по агрометиостанции Василевичи (табл. 6.3)
Таблица 6.3 Определение средней арифметической глубины промерзания, коэффициента вариации и асимметрии по данным наблюдений за глубиной промерзания грунтов по агрометеостанции Василевичи
№ |
Годы |
Z,см |
K = |
zi |
|
|
K-1 |
(K-1)2 |
(K-1)3 |
P,% |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
zср |
|
|
|
||||||||||
п/п |
|
|
|
+ |
|
- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
5 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
1956 |
139 |
1,9146 |
|
0,9146 |
|
|
0,8365 |
0,7651 |
5 |
|
|
|
2 |
1954 |
118 |
1,6253 |
|
0,6253 |
|
|
0,3910 |
0,2445 |
10 |
|
|
|
3 |
1963 |
97 |
1,3361 |
|
0,3361 |
|
|
0,1130 |
0,0380 |
15 |
|
|
|
4 |
1951 |
91 |
1,2534 |
|
0,2534 |
|
|
0,0642 |
0,0163 |
20 |
|
|
|
5 |
1946 |
90 |
1,2397 |
|
0,2397 |
|
|
0,0575 |
0,0138 |
25 |
|
|
|
6 |
1952 |
90 |
1,2397 |
|
0,2397 |
|
|
0,0575 |
0,0138 |
30 |
|
|
|
7 |
1964 |
88 |
1,2121 |
|
0,2121 |
|
|
0,0450 |
0,0095 |
35 |
|
|
|
8 |
1947 |
75 |
1,0330 |
|
0,0330 |
|
|
0,0011 |
— |
40 |
|
|
|
9 |
1949 |
72 |
0,9917 |
|
|
|
0,0083 |
0,0001 |
— |
45 |
|
|
|
10 |
1950 |
65 |
0,8953 |
|
|
|
0,1047 |
0,0110 |
-0,0012 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11 |
1961 |
65 |
0,8953 |
|
|
|
0,1047 |
0,0110 |
-0,0012 |
55 |
|
|
|
12 |
1959 |
62 |
0,8540 |
|
|
|
0,1460 |
0,0213 |
-0,0031 |
60 |
|
|
|
13 |
1948 |
58 |
0,7989 |
|
|
|
0,2011 |
0,0404 |
-0,0081 |
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
1958 |
57 |
0,7851 |
|
0,2149 |
0,0462 |
-0,0099 |
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы 6.3 |
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
15 |
1953 |
50 |
0,6887 |
|
0,3113 |
0,0969 |
-0,0302 |
75 |
16 |
1960 |
48 |
0,6611 |
|
0,3389 |
0,1148 |
-0,0389 |
80 |
17 |
1957 |
43 |
0,5923 |
|
0,4077 |
0,1662 |
-0,0678 |
85 |
18 |
1962 |
43 |
0,5923 |
|
0,4077 |
0,l662 |
-0,0678 |
90 |
19 |
1955 |
29 |
0,3994 |
|
0,6006 |
0,3607 |
-0,2166 |
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
2,8539 |
2,8459 |
2,6006 |
0,6562 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим параметры кривой обеспеченности для агрометиостанции Василевичи (табл.6.3):
1.Среднюю глубину промерзания определяем по формуле(6.21)
zср = 138019 = 72,6см
2. Коэффициент вариации определяем по формуле (6.22)
= 2,606 =
Cv 18 0,38
Модульный коэффициентК для каждого года вычисляем по формуле
Ki = zzсрi
3.Коэффициент асимметрии вычисляем по формуле (6.24)
= 0,6562 =
Cs 18 0,383 0,66
По параметрам Zср, Cv, Csкривой обеспеченности определяем ординаты биномиальной кривой обеспеченности, которые сведены в табл. 6.4.
Определение ординат биномиальной кривой обеспеченности максимальной глубины промерзания по С. И. Рыбкину при Cs=2Cv по агрометеостанции Василевичи сведем в табл.6.4. Исходные данные Zср= 72,6 см,
Cv= 0,38, Cs=2Cv=0,76
Таблица 6.4
|
Процент |
|
|
|
|
Процент обеспеченности |
|
|
|
|
||||
|
Обеспеченности; Р, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
5 |
10 |
25 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
95 |
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модульный коэффициент, ks 2,090 1,825 1,697 1,509 1,222 0,952 0,861 0,773 0,723 0,674 0,554 0,3
152 |
132 |
123 |
110 |
89 |
69 |
62 |
56 |
49 |
40 |
34 |
24 |
Глубина промерзания, Z
Определение ординат трехпараметрического Г - распределения по С. Н. Крицкому и М. Ф. Менкелю по агрометеостанции Василевичи приведено в табл.6.5.
При данном типе распределения соотношение между CvиCs может быть любым.
Исходные данные:Zcр = 72,6 см ,Сv= 0,38, CS=0,66.
Таблица 6.5. Определение ординат трехпараметрического Г- распределения (агростанция Василевичи)
Процент |
|
Cs/ Сv=1,5 |
Cs/ Сv=1,7 |
|
Cs/ Сv=2 |
||||
обеспе- |
|
|
Сv |
|
|
Сv |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
ченности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,30 |
|
0,40 |
0,38 |
К |
Z |
0,30 |
0,40 |
0,38 |
|
1 |
1,79 |
|
2,09 |
2,030 |
2,056 |
149 |
1,83 |
2,16 |
2,094 |
3 |
1,62 |
|
1,85 |
1,804 |
1,815 |
132 |
1,64 |
1,88 |
1,832 |
5 |
1,53 |
|
1,72 |
1,680 |
1,688 |
122 |
1,54 |
1,74 |
1,700 |
10 |
1,40 |
|
1,54 |
1,510 |
1,508 |
109 |
1,40 |
1,53 |
1,504 |
20 |
1,25 |
|
1,32 |
1,310 |
1,304 |
95 |
1,24 |
1,31 |
1,246 |
25 |
1,19 |
|
1,25 |
1,240 |
1,232 |
89 |
1,18 |
1,23 |
1,220 |
30 |
1,14 |
|
1,18 |
1,170 |
1,167 |
85 |
1,13 |
1,17 |
1,162 |
40 |
1,07 |
|
1,06 |
1,062 |
1,057 |
78 |
1,05 |
1,05 |
1,050 |
50 |
0,98 |
|
0,96 |
0,964 |
0,960 |
70 |
0,97 |
0,95 |
0,954 |
60 |
0,90 |
|
0,86 |
0,868 |
0,865 |
63 |
0,90 |
0,85 |
0,860 |
70 |
0,83 |
|
0,76 |
0,774 |
0,773 |
56 |
0,82 |
0,76 |
0,772 |
75 |
0, 78 |
0, 71 |
0, 724 |
0, 724 |
53 |
0, 78 |
0,71 |
0, 724 |
|
80 |
0, 74 |
0, 65 |
0, 668 |
0, 672 |
49 |
0, 75 |
0,66 |
0, 678 |
|
90 |
0, 63 |
0, 52 |
0, 542 |
0, 546 |
40 |
0, 64 |
0,53 |
0, 552 |
|
95 |
0, 55 |
0, 42 |
0, 446 |
0, 457 |
33 |
0, 56 |
0,45 |
0, 474 |
|
97 |
0, 50 |
0, 36 |
0, 398 |
0, 399 |
29 |
0, 52 |
0,39 |
0, 416 |
|
99 |
0, 41 |
0, 27 |
0, 298 |
0, 317 |
23 |
0, 44 |
0,31 |
0, 346 |
|
Ординаты двойного экспоненциального распределения по Э. Гумбелю по агрометеостанции Василевичи приведены в табл.6.6.
Для данного типа распределения модульный коэффициент определяется из выражения (6.24).
Модульный коэффициент зависит от коэффициента вариации Cv, числа лет наблюдений и процента обеспеченности.
Исходные данные: Zср = 72,6 см, Cv= 0,38.
у - действительное отклонение, принимаем по таблицам Н. В. Смирнова и М. В. Дунина-Барковского [126].
- среднее и стандартное отклонения, находятся в зависимости
отчисла лет наблюдений [125]. =1,0566.
Тогда:
Таблица 6.6. Определение ординат двойного экспоненциального распределения по Э. Гумбелю (агростанция Василевичи)
№ |
Ф(у) |
y |
0,36у |
ks |
Z=ks·Zcp |
1 |
0,99 |
-1,527 |
-0,550 |
0,260 |
19 |
3 |
0,97 |
-I; 255 |
-0,452 |
0,358 |
26 |
5 |
0,95 |
-1,097 |
-0,395 |
0,415 |
30 |
10 |
0,90 |
-0,834 |
-0,300 |
0,510 |
37 |
20 |
0,80 |
-0,476 |
-0,161 |
0,649 |
47 |
25 |
0,75 |
-0,327 |
-0,118 |
0,692 |
50 |
30 |
0,70 |
-0,186 |
-0.067 |
0,743 |
54 |
40 |
0,60 |
0. 087 |
0.031 |
0,841 |
61 |
50 |
0,50 |
0,367 |
0,132 |
0,942 |
68 |
60 |
0,40 |
0,672 |
0,242 |
1,052 |
76 |
70 |
0,30 |
1,031 |
0,371 |
1,181 |
86 |
75 |
0,25 |
1,246 |
0,449 |
1,259 |
91 |
80 |
0,20 |
1,500 |
0,540 |
1,350 |
98 |
90 |
0,10 |
2,250 |
0,810 |
1,620 |
118 |
95 |
0 05 |
2,970 |
1,069 |
1,879 |
136 |
97 |
0,03 |
3,491 |
1,257 |
2,067 |
150 |
99 |
0,01 |
4,600 |
1,656 |
2,466 |
179 |
Для сравнения результатов расчета максимальной глубины промерзаниягрунтовсдействительнойпотремспособамсведемвтабл6.7, наоснованиикоторой построенграфикрис.6.1.
Таблица 6.7. Сравнительная таблица действительной максимальной глубины промерзания грунтов с глубиной промерзания определенной по трем типам распределения
|
Фактичес |
Глубина промерзания грунтов при типах |
||
|
кая |
|
распределения |
|
Процент |
глубина |
|
|
|
Биномиаль |
Трехпараметриче |
Двойное |
||
обеспече |
промерза |
ное |
ское Г- |
экспоненциально |
н- |
ния, см |
распределе |
распределение |
е распределение |
ности, % |
|
ние С.И. |
С.Н. Крицкий и |
Э.Гумбель |
|
|
Рыбкин |
М.Ф. Менкель |
|
|
- |
Cs=2Cv |
|
|
1 |
152 |
149 |
179 |
|
3 |
- |
132 |
132 |
150 |
5 |
139 |
123 |
122 |
136 |
10 |
118 |
110 |
109 |
118 |
20 |
91 |
94 |
95 |
98 |
25 |
90 |
89 |
89 |
91 |
30 |
90 |
84 |
85 |
86 |
40 |
75 |
76 |
78 |
76 |
50 |
65 |
69 |
70 |
68 |
60 |
62 |
62 |
63 |
61 |
70 |
57 |
56 |
56 |
54 |
75 |
50 |
52 |
53 |
50 |
80 |
48 |
49 |
49 |
47 |
90 |
43 |
40 |
40 |
37 |
95 |
29 |
34 |
33 |
30 |
97 |
- |
30 |
29 |
26 |
99 |
- |
24 |
23 |
19 |
При сравнении теоретических и действительных (табл. 6.7) данных глубины промерзания грунта видно, что расхождения их незначительны, а следовательно, биномиальная кривая распределения вполне может быть использована для расчета глубины промерзания грунта. Следует отметить, что обработку данных для построения кривой обеспеченности лучше вести по Э. Гумбелю, так как эта кривая имеет меньшие отклонения от действиьельной кривой, чем кривая построенная по С. И. Рыбкину (рис. 6.1.)
Рис. 6.1. Теоретические кривые распределения и фактические данные о максимальной глубине промерзания грунтов по ст. Василевичи