Введение в мехатронику

независимых параметров, определяющих относительное положение звеньев и, следовательно, матрицу Aij, уменьшается до 6 – K.

Таким образом, в общем случае для кинематической пары K-го класса

Aij = Aij(p1, …, p6–K)

уравнения связей, не удовлетворяющие в совокупности условию независимости, т. е. в избыточном числе, могут быть заданы матричным равенством

Ti = Tj Aij (p1, ..., p6–K).

Уравнения связи относительно скоростей и ускорений получаются дифференцированием:

где производные по времени матрицы Aij определяются производными параметров, изменяющихся в относительном движении.

Если число уравнений связей равно шести, то звенья теряют относительную подвижность и кинематическая пара переходит в жесткое соединение двух звеньев, а матрица Aij становится постоянной.

Например, в исполнительных органах роботов-манипуляторов наиболее распространены кинематические пары пятого класса: вращательные и поступательные, обеспечивающие одну степень свободы относительного движения. При этом относительное перемещение в кинематической паре определяется одним параметром: углом относительного поворота или линейной величиной относительного смещения.

Кроме этого, исполнительный орган, как правило, представляет собой пространственную кинематическую цепь последовательно связанных твердых тел с номерами 0, 1, 2, ..., N. Например, стойка манипулятора имеет номер 0, схват – номер N, а каждое звено с номером i, i = 1, 2, …, N – 1, образует кинематическую пару как со звеном i – 1, так и со звеном i + 1. В этом случае уравнения связей задаются рекуррентными соотношениями

62

где параметры (обобщенные координаты) qi определяют относительные перемещения звеньев в кинематических парах 5-го класса

(рис. 2.2).

Рис. 2.2. Простая кинематическая цепь

2.2.Представление силовых величин

вкинематических цепях

2.2.1.Представление активных сил

Рассмотрим структуру 4 4-матрицы Фi:

63

Четвертая строка этой матрицы всегда равна нулю, поэтому со-

держательная часть матрицы сил имеет фактический размер 3 4. Существует связь этой матрицы с главным вектором и главным моментом всех сил, приложенных к рассматриваемому телу.

Предварительно отметим, что в записи (2.4) силы заданы в абсолютной системе координат, а радиусы-векторы – в связанной. Если это по каким-либо причинам неудобно, можно представить все характеристики в одной системе координат. Например, можно использовать другую матрицу сил

i0 Fiv riv , v

полностью определенную в абсолютной системе координат и связанную с исходной матрицей Фi преобразованием

Однако во многих задачах статики и динамики механизмов именно матрицы вида Фi в записи (2.4) возникают наиболее естественным образом.

Главный вектор и главный момент сил. Введем проектирующие

4 4-матрицы, которые используются при преобразованиях сил в задачах динамики:

64

Приведем все силы, действующие на i-e тело, к началу некоторой системы координат, тогда три проекции главного момента и три проекции главного вектора сил на оси этой системы координат дают всю информацию о силах, необходимую для расчета движения твердого тела. Обозначим шестимерный вектор, состоящий из этих проекций,

в абсолютной системе координат через Fi0 F10i , ..., F60i , а в свя-

занной системе – через Fi F1i , ..., F6i . Тогда с помощью введен-

ных проектирующих матриц и операции вычисления следа эти характеристики определяются следующим образом:

Формулы (2.6) и (2.7) при k = 1, 2, 3 дают моменты, в противном случае – силы.

Обратное преобразование. Обратная задача вычисления 4 4- матриц сил по заданному главному вектору сил и главному моменту решается неоднозначно. Дело в том, что при эквивалентных преобразованиях сил, например при переносе некоторой силы вдоль линии ее действия, матрица Фi меняется. Другими словами, в матрицах Фi содержится больше информации, чем это необходимо при расчетах движений твердых тел. Поэтому дадим некоторое вполне достаточ-

ное представление 4 4-матриц сил по результатам приведения:

где k 1/ 2 при k = 1, 2, 3 и k 1, если k = 4, 5, 6.

Это своеобразное ортогональное разложение матрицы сил, поскольку подматрицы k обладают следующим свойством ортого-

нальности:

65

Можно показать, что для любой совокупности сил матрица i0

приводится к виду (2.8) путем соответствующего переноса сил вдоль линии их действия, т. е. путем эквивалентных преобразований системы сил.

Аналогичным свойством ортогональности обладают множества матриц T k , k 1, ..., 6 и kT , k 1, ..., 6 . Это свойство по-

зволяет определять коэффициенты разложений по указанным ортогональным системам матриц различных матричных характеристик. Подобным образом определяются коэффициенты рядов Фурье в математическом анализе.

Из выражения (2.4) вытекают также соотношения между матрицами сил, заданных в различных системах координат:

6

с k Fk k ;

k 1

6

T c T k Fk k ;

k 1

0 T cT ,

где Фс – матрица сил вида (2.4), в которой как сами силы, так и радиу- сы-векторы заданы в связанной системе координат твердого тела.

Используя полученные формулы, для совокупности твердых тел меру принуждения в дифференциальном принципе Гаусса в теоретической механике представим в форме

где заданы инерционные свойства каждого твердого тела, выраженные 4 4-матрицами Hi, и системы активных сил, действующих на

каждое твердое тело, выраженные 4 4-матрицами Фi, i = 1, 2, …, п. Активные силы могут быть как внешними, так и внутренними.

Внешние силы, такие как силы тяжести, силы гидравлического сопротивления для механизма, работающего в жидкости, и т. п., воз-

66

никают при взаимодействии механизма с внешней средой. К внутренним активным силам, возникающим в кинематических парах, относят моменты или силы серводвигателей, а также силы трения.

2.2.2. Представление сил тяжести

Представление сил тяжести в виде (2.4) дается следующими формулами:

a g1, g2, g3 – проекции ускорения свободного падения на оси абсолютной системы координат;

i 1i , 2i , 3i , 1 – однородные координаты центра масс i-гo тела в связанной системе координат.

2.2.3. Представление активных сил в кинематических парах

Пусть два звена механизма с номерами s и r образуют кинематическую пару пятого класса одного из возможных типов: вращательную или поступательную. Матрицы положений связанных систем координат удовлетворяют условию

где j – номер кинематической пары;

j – параметр, характеризующий относительное перемещение звеньев.

67

Выберем системы координат, связанные специальным образом. Пусть их оси zr и zs одновременно совпадают с осью относительного вращения или осью относительного поступательного перемещения. Тогда в первом случае

а во втором

Рассмотрим только такие силы, которые, действуя на одно звено, одновременно действуют и на другое в противоположном направлении. Иначе, среди всех возможных сил, действующих на звенья, рассматриваем только те, которые удовлетворяют условию

0s 0r ,

или (см. (2.5) и (2.11))

В число таких сил входят силы реакций идеальных связей, силы трения, а также силы, развиваемые двигателями. В последнем случае одно из звеньев называется ротором, адругое– статоромдвигателя.

Условие связи (2.10) относительно ускорений имеет вид

68

где 3 для (2.11), 6 для (2.12). Вычислим соответст-

вующее слагаемое в выражении меры принуждения (2.19) с учетом

(2.13) и (2.14):

tr sTs rTr tr r Aj Ts j ...

(2.15)

tr r Ts j ... M j j ...

Сравнивая выражения (2.15) с (2.7), находим, что Мj является проекцией на ось относительного смещения главного момента или главного вектора всех сил, действующих на одно из звеньев и удовлетворяющих условию (2.13).

Если звенья являются «ротором» и «статором» двигателя, a j –

угол относительного поворота «ротора», то в Mj входит момент на валу «ротора», а также силы трения. В противном случае Mj – это только силы трения.

Таким образом, активные силы, развиваемые в кинематических парах, приводят выражениедля меры принуждения к следующему виду:

p

M j j . j 1

Полученный результат позволяет сделать важный вывод: при пред-

варительном формировании выражения для меры принуждения (2.9) в обобщенные координаты механизма целесообразно включать непосредственно углы относительного поворота «роторов» двигателей системы приводов. Тогда соответствующий коэффициент Mj будет непосредственно моментом, развиваемым на валу двигателя

(с учетом сил трения). Если окажется, что более выгодными являются другие обобщенные координаты, например q1, ..., qm , связан-

ные с первыми уравнениями

69

тогда вместо выражения (2.7) в функцию (2.9) необходимо включить приведенную сумму

в которой коэффициенты, взятые в круглые скобки и затем обозначенные через Qi, представляют собой обобщенные силы, отнесенные к новым координатам.

2.3. Силы инерции в кинематических звеньях мехатронной системы

Инерционные свойства каждого звена, как твердого тела, опре-

деляются 4 4-матрицей Hi. Эти матрицы являются симметричными и имеют следующую структуру:

где величины

70