Введение в мехатронику

Рассмотрим получение критерия оценки вероятности безопасности функционирования системы и способ его вычисления методом статистического моделирования.

Пусть состояние системы оценивается совокупностью компонент вектора

xx1, x2 ,..., xn .

Влюбой динамической системе среди параметров x1, x2 ,..., xn

имеются такие, которые, изменяясь в некоторых пределах, могут достигать опасных значений.

Перенумеруем параметры x1, x2 ,..., xn так, чтобы m параметров, которые могут достигать опасных значений, составили подмножество x1...xm m n . В пространстве параметров x1...xm построим об-

ласть G, границами которой являются опасные значения этих параметров или их комбинаций.

Построение области G для каждой конкретной системы должно проводиться индивидуально.

Обозначим x* x1...xm – вектор параметров в области G. Если

x G не достигает границ, то состояние системы безопасное. При достижении x границы области G состояние системы становится опасным. Достижение вектором x* границы будем рассматривать

как случайное событие А, которое происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н0, Н1, …, Нk, образующих полную группу событий, оценивающих различные возможные отказы при функционировании системы.

Вероятность безопасного функционирования (событие А) вычисляется по формуле

где P Hi – вероятность попадания системы в состояние Нi;

P А/ Hi – вероятность безопасной работы при нахождении системы в состоянии Нi.

21

пасность функционирования системы в состоянии Нi. Из (1.2) следует, что повышение безопасности может быть достигнуто за счет повышения надежности и за счет уменьшения опасных последствий

отказов, т. е. увеличения P А/ Hi .

Вычисление P А/ Hi производится на основе различных моде-

лей аналитически или на основе метода статистического моделирования. Метод статистического моделирования, как экспериментальный метод, позволяет вычислять условные вероятности безопасной работы системы как в процессе ее проектирования, так и в процессе эксплуатации существующих систем. При отказах опасная ситуация развивается в течение некоторого времени, когда системы регулирования (управления) или человек-оператор могут на основании информации, полученной от датчиков, совершить действия, выводящие систему из опасного состояния.

Разделим отказы системы на группы, в каждой из которых сосредоточены отказы, приводящие к одинаковым последствиям, и присвоим каждой группе коэффициент вида

где Qi – математическое значение параметра объекта, достигаемо-

го этим параметром за время переключения на резервную систему или за время, необходимое человеку-оператору для принятия решения и управления после начала проявления отказа;

Qi0 – предельно допустимое значение указанного параметра.

Статистическое моделирование сводится к реализации функцио-

нирования системы, состоящей из математической модели объекта и реальной (или смоделированной) системы в условиях действия на систему случайных возмущений и реальных отказов системы как случайных событий.

Вероятность получения любого из возможных значений коэффициента Si вычисляется по формуле

22

где n j – количество отказов j-го элемента;

i – число типов (групп) отказов;

No – общее количество отказов, полученных на основе обра-

ботки данных эксплуатации.

По результатам статистического моделирования строится функция F Si распределения вероятностей проявления различных по-

следствий, характеризуемых значением Si . На рис. 1.2 изображена зависимость F Si , из которой следует, что составляющая Pm при Si 1 является условной вероятностью безопасной работы системы. При Si 1 возникают опасные ситуации.

F(Si )

1,0

режим 2 0,9

0,8 режим 1 0,7

Рис. 1.2. Зависимость F(Si)

Статистические данные показывают, что различия между значениями надежности и безопасности могут достигать больших значений, например, вавиации безопасность напорядок больше надежности.

Рассмотрим некоторые аналитические оценки безопасности. Обозначим через В событие – отказ подсистемы В. Полная группа со-

23

стоит из двух событий: cистема работоспособна ( В – исправна), система неработоспособна (В – неисправна):

P B P B 1.

Пусть отказы системы подчиняются экспоненциальному распределению, тогда согласно (1.2) можем записать

где P0 – вероятность безотказной работы системы исключая В;B – интенсивность отказов подсистемы В;

P A / B – условная вероятность безотказной работы системы

после отказа В.

В выражении (1.3) не учитывается вероятность опасных последствий из-за случайных воздействий при исправной системе. Обычно этой вероятностью по сравнению сдругими в(1.3) можно пренебречь.

С другой стороны, вероятность безопасной работы зависит от надежности, поэтому можно предположить, что распределение опасных последствий при отказах системы также имеет экспоненциальный

вид. Для P A возьмем приближение в форме

где sB – коэффициент, учитывающий степень влияния отказа В на

безопасность всей системы.

Приравнивая (1.3) и (1.4) и заменяя экспоненты их разложениями в ряд Тейлора

e Bt 1 Bt, e BsBt 1 BsBt,

получим

24

Из (1.6) следует, что для увеличения Р(А) нужно уменьшить B

(т. е. увеличить надежность) и увеличить Р (А / В). Также видно, что безотказность отличается от надежности тем, что в выражение надежности каждой подсистемы необходимо ввести коэффициент, учитывающий степень влияния отказа данной подсистемы на безопасность работы всей системы. Из (1.5) видно, что этот коэффициент определяется на основе обработки результатов статистического моделирования в зависимости от вызываемых этим отказом изменений, существенных для безопасности работы параметров системы, с учетом времени реакции человека-оператора на отказ или с учетом быстродействия локальной системы контроля (ЛСК).

1.4. Наблюдаемость

Измерение (наблюдение) является необходимой составной частью управления. Даже тогда, когда программное управление формируется как функция времени, определяемая, например, на стадии проектирования, исходным является измерение, доставившее необходимую информацию об управляемом процессе. Связь управления с информацией, получаемой посредством измерения, является органической и может быть положена в основу определения понятия управления.

При автоматическом управлении предполагается, что наблюдение сопровождается измерением координат, параметров, и в понятия «наблюдение», «измерение» вкладывается практически одинаковый смысл. В дальнейшем в основном будет применяться термин «наблюдение».

Под наблюдаемостью обычно понимается возможность косвенного определения переменных состояний на основе измерения некоторых других величин и использования априорной информации. Косвенные измерения давно известны в классической метрологии. В теории управления под наблюдаемостью понимается возможность косвенных измерений, но в расширенном по сравнению с традиционной метрологией смысле.

Можно рассматривать наблюдаемость как в пространстве состояний, так и в пространстве сигналов. Однако компоненты вектора сигналов чаще всего выбираются измеримыми, так что в пространстве сигналов обычно имеет место непосредственная наблюдаемость.

25

Виды общей наблюдаемости в пространстве состояний. Дос-

таточно общая постановка задачи определения состояния системы по наблюдениям заключается в следующем.

Через наблюдение получено множество величин, связанное известным оператором с множеством X, принадлежащим пространству состояний системы, описываемых математической моделью. Требуется

определить X или некоторое его подмножество Xп X .

Самая распространенная постановка задачи наблюдения такая, при которой элементом множества X является вектор состояния в некоторый начальный момент времени x (t0). Известно уравнение детерминированного процесса, которому подчиняется x (t), задана функ-

ция наблюдения z = h [ x (t), t], измеряемая на конечном интервале времени [t0, t1] и имеющая размерность меньше размерности x . Таким образом, элементом множества Z здесь служит функция z (t) на указанном интервале, причем число компонент векторной функции z (t) меньше числа компонент x (t), в частности z (t) = z1(t) может представлять скалярную функцию при многомерном пространстве состояний. Соответствующая иллюстрация приведена на рис. 1.3, а. Ясно, что задача определения (восстановления) x (t0) в этой постановке разрешима только за счет использования априорной информации об x (t), т. е. уравнения процесса.

На практике решение последней задачи почти эквивалентно решению задачи восстановления текущего вектора состояния по измерениям текущего значения наблюдения. Так как за начальный момент времени в данной задаче можно выбрать любой момент, предшествующий конечному моменту наблюдения t1, то при соблюдении соответствующих условий может быть восстановлено состояние процесса, непосредственно предшествующее текущему и для непрерывных процессов мало отличающееся от текущего (рис. 1.3, б).

Если в рассмотренных выше постановках задачи наблюдаемости множество X имеет такую же размерность, что и пространство состояний, тогда возможно определение (восстановление) полного вектора состояния и говорят о полной наблюдаемости. Соответствующая система называется вполне наблюдаемой. Если же существует

возможность восстановления лишь подмножества Xп X , а именно, части компонент вектора состояния, другая же часть не может

26

быть определена в заданных условиях, то имеет место неполная на-

блюдаемость, а система называется не вполне наблюдаемой.

а

б

Рис. 1.3. Схема восстановления (определения) вектора состояния x (t) по наблюдениям вектора z (t)

Изучение наблюдаемости, как и других свойств систем, нуждается в критериях (условиях), которые позволяли бы судить о наблюдаемости на основе некоторых правил, оперирующих априорной информацией (заданными условиями).

1.4.1. Идентифицируемость

Понятие идентифицируемости, по крайней мере параметрической, можно рассматривать как частный случай наблюдаемости. Однако в практическом применении идентифицируемость представляет собой важное и специфическое свойство, так что его обычно выде-

ляют в специальную категорию. Параметрическая идентифицируе-

27

мость представляет собой возможность определения параметров математической модели системы или процесса по результатам измерения определенных выходных величин в течение некоторого интервала времени. Параметры, вектор которых в дальнейшем обозначается через a , отличаются от координат (вектор x ) скоростью изменения. Параметры, как правило, считаются медленно изменяющимися вели-

чинами, а в идеальном случае – постоянными ( a = 0).

При изучении идентифицируемости, так же как наблюдаемости, целесообразно, по крайней мере на первом этапе, рассматривать идеальные условия, когда шумы (помехи) отсутствуют, а идентифицируемые параметры постоянны.

В соответствии с этим уравнения для задачи параметрической идентифицируемости непрерывного процесса записываются в виде

где x – вектор переменных состояний; u – вектор управления;

a – вектор параметров системы;

z– вектор переменных наблюдения.

Врамках этой постановки задачи возможны различные варианты

иразличные формы условий идентифицируемости.

1.4.2. Управляемость

Понятие управляемости связано с возможностью перевода (перехода) системы посредством управления из одного состояния в другое. Этому понятию придается либо структурно-качественный, либо количественный смысл. При рассмотрении структурно-качествен- ной стороны управляемости интересуются принципиальной возможностью перехода управляемой системы из одного заданного множества состояний в другое заданное множество состояний, как правило, за конечное время. При количественном изучении управляемости рассматривают те или иные характеристики переходных про-

28

цессов при простейших типовых управляющих воздействиях. Управляемость рассматривают применительно как к детерминированным процессам, так и для стохастических аналогов задач управляемости. Можно рассматривать управляемость как динамических объектов, не оснащенных регуляторами, так и систем, содержащих множество замкнутых контуров управления. В большой системе с иерархической структурой обычно изучают управляемость каждого уровня, начиная от низшего и кончая высшим. В любом случае управляемость зависит от структуры системы, состава органов управления, значений параметров, располагаемой энергии управления.

Применяется целая группа понятий управляемости, различающихся как условиями перехода системы, так и ограничениями, накладываемыми на управление.

Различные виды переходов иллюстрирует рис. 1.4. В случае I рассматривается переход из произвольной точки n-мерного пространства состояний в произвольную точку этого пространства, причем никаких ограничений на характер движения, кроме конечности времени перехода t1–t0, не накладывается. В случае II в пространстве состояний задана замкнутая область G и должен обеспечиваться переход из любой точки этой области в произвольную ее точку без выхода за пределы области G. Это случай существования ограничений типа неравенств в пространстве состояний.

Случай III соответствует переходу из заданной области пространства состояний полной размерности n в заданную область меньшей размерности. Например, управление должно обеспечивать переход из любой точки пространства состояний на прямую, проходящую через начало координат.

Случай IV является противоположным предыдущему: здесь управление должно обеспечить перевод системы из любой точки области меньшей размерности в любую точку полноразмерной области.

Случай V соответствует управляемости в малом. Здесь управление должно обеспечить переход из любой точки пространства состояний х0 в любую точку малой n-мерной ε – окрестности точки x 0. Порядок малости окрестностиможет быть связан со временем перехода.

Случаи VI соответствует управлению для перевода системы из малой окрестности точки x (t0) в плоскости 3D в малую окрестность точки x (t1) вобъем 2D, что соответствуетнеполной управляемости.

29