Введение в мехатронику

получим уравнение изменения отклонения центра масс (t) пружин-

ного маятника массой т от положения равновесия, если жесткость пружины :

md2 (t) (t) . dt2

Математической моделью реальной системы называется ее описание на каком-либо формальном языке, позволяющее выводить суждение о некоторых чертах поведения этой системы при помощи формальных процедур. Математические модели могут представлять собой характеристики систем, заданные функциональными зависимостями или графиками; уравнения, описывающие движения систем; таблицы или графики переходов систем изодних состоянийв другиеи т. д.

Абстрагируясь от физического существа явлений, процесс функционирования любой системы можно рассматривать как последова-

тельную смену ее состояний в некотором интервале времени t0, t f .

Состояния системы в каждый момент времени t из этого интервала характеризуются набором величин x1, x2 , ..., xn . При переходе от

одного мгновенного состояния к другому значения x1, x2 , ..., xn

в общем случае меняются и могут рассматриваться как функции последовательных моментов времени x1(t), ..., xn (t) . Эти переменные

величины называются переменными состояния. Переменные состояния могут быть интерпретированы как координаты точки в n-мерном фазовом пространстве. Тогда процессу функционирования будет соответствовать фазовая траектория, которая может быть описана век-

тор-функцией x(t) с составляющими по осям x1(t), ..., xn (t) . На-

чальному состоянию системы (в момент t0) соответствует начальное состояние с характеристиками состояния x01, ..., x0n .

На вход системы в общем случае могут поступать входные сигналы ui (i 1, 2, ..., q) , оказывающие влияние на состояние систе-

мы, так что характеристики состояний системы x1(t), ..., xn (t) в произвольный момент зависят от начального состояния x01, ..., x0n и входных сигналов ui , поступивших в моменты времени t* t . Сле-

11

дует отметить также, что характеристики состояния зависят и от некоторого числа постоянных или определенным образом меняющихся величин d j ( j 1, ..., m) , характеризующих свойства систе-

мы и называемых параметрами системы. На выходе система в общем случае выдает сигналы yr (r 1, 2, ..., l) , полностью опреде-

ляемые ее состояниями.

Детерминированные модели представляют собой совокупность неслучайных соотношений и дают возможность однозначного определения характеристик состояния и выходных сигналов через параметры: входные сигналы и начальные условия. На практике, однако, часто приходится рассматривать случаи, когда характеристики состояний и выходные координаты представляют собой случайные функции времени. Это является результатом того, что по указанным ранее причинам фактически случайными величинами являются начальные условия, случайными величинами или функциями являются входные воздействия и параметры, кроме того, на элементы системы действуют случайные возмущения, возникающие внутри системы. В этом недетерминированном случае с помощью математической модели однозначно должны определяться распределения вероятностей для характеристик состояний системы, если заданы распределения вероятностей для начальных условий, параметров, возмущений, входных сигналов. Для исследования такого рода процессов строится вероятностная модель.

Отметим, что детерминированная модель может быть построена и для исследования случайных явлений. Примером таких моделей являются соотношения, связывающие числовые характеристики законов распределений входов и выходов систем. С другой стороны, вероятностные схемы могут использоваться для решения детерминированных задач. В частности, это случайный поиск экстремумов функций, использование метода Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов и др.

Общая характеристика метода математического моделиро-

вания. Первый шаг исследований на основе моделирования – выявление всех факторов, имеющих отношение к последующему построению математической модели. На этом этапе важно включить в модель переменные величины, оказывающие основное влияние на характеристики состояния, и не менее важно опустить такие детали, кото-

12

рые не оказывают существенного влияния на результаты. Следует иметь в виду, что никаких формальных правил для решения этих вопросов не существует. Здравый смысл исследователя и проверка соответствия модели реальной системе на основе эксперимента в итоге приводят к построению приемлемой модели.

Можно только отметить, что в качестве характеристик состояния целесообразно выбрать такие функции, которые, с одной стороны, обеспечивали бы удобство определения искомых величин при исследовании, а с другой – давали бы возможность получить достаточно простую модель. Выбор же параметров, характеризующих процесс функционирования системы, обусловлен теми факторами, которые должны учитываться при формализации процесса и обеспечивать достаточную полноту описания различных его сторон. Перечень начальных условий может быть определен однозначно только после построения математической модели. Естественно, он зависит от того, какими были выбраны характеристики состояния. Процесс составления математического описания можно представить состоящим из следующих обобщенных этапов или шагов формализации:

1.Составление содержательного описания, представляющего собой перечень основных сведений об изучаемом процессе, постановку задачи исследования и цели моделирования, перечень исходных данных.

2.Составление формализованной схемы в случае, если перейти к получению математической модели непосредственно по содержательному описанию, не представляется возможным. Здесь устанавливаются характеристики процесса, система параметров, строго определяются все зависимости между ними, уточняются исходныеданные.

3.Составление математической модели процесса, т. е. по сути запись в аналитической форме всех соотношений формализованной схемы с использованием тех или иных математических схем, по возможности типовых, таких, например, как вероятностные схемы случайных явлений, дифференциальные уравнения, типовые логические схемы и т. п. Математическая модель является гомоморфной моделью относительно формализованной схемы.

4.В случае реализации математической модели на компьютере – составление моделирующих алгоритмов.

После того как математическая модель получена и в первом приближении соответствует задачам и целям исследования, задача реша-

13

ется либо аналитически, либо с привлечением обширного арсенала моделирующих средств. Большинство задач исследования поведения систем не может быть решено аналитически, а решение представлено в замкнутой форме. Решение ряда задач вообще стало возможным лишь с появлением современных аналоговых и цифровых вычислительных систем. Исследование системы можно было бы проводить непосредственно путем эксперимента в реальных условиях. Однако такой метод изучения слишком громоздок и дорог. Поэтому метод математического моделирования является основным в проведении исследований мехатронных систем. В настоящее время его широко используют для целей экспериментирования или численной оценки, как средство изучения новых систем, для проверки или демонстрации новой идеи, системы или метода и т. д. Этот метод предполагает построение действующей математической модели, обладающей свойствами (или характеризуемой соотношениями), которые подобны свойствам (или соотношениям) рассматриваемой реальной системы. При этом возникает возможность имитировать работу системы в широком диапазоне условий и принимать решения относительно оптимизации ее характеристик.

Построение модели опирается прежде всего на формулировку проблемы. При статистических исследованиях довольно сложно найти решение задачи даже с использованием компьютерных систем, если пытаться получить математическую модель, связывающую непосредственно статистические характеристики выходных координат со статистическими характеристиками входов, начальных условий, параметров. В настоящее время широкое распространение для исследования мехатронных систем получил м е т о д с т а т и с т и ч е с- к и х и с п ы т а н и й. Моделирование с применением этого метода получило название статистического моделирования.

Применительно к исследованию поведения мехатронных систем с использованием компьютера метод статистического моделирования обычно заключается в том, что:

а) составляется и реализуется на компьютере детерминированная математическая модель системы, отражающая связь значений выходных координат системы со значениями входных воздействий и начальных условий;

б) обеспечивается получение на ЭВМ отдельных реализаций случайных событий, величин, функций, т. е. моделируется случайное

14

явление с некоторыми заданными характеристиками, соответствующими характеристикам случайных явлений, сопровождающих функционирование реальной исследуемой системы (изменениям параметров, внешних воздействий, начальных условий);

в) производится многократное решение детерминированной задачи, где в каждом из решений условия определяются этими реализациями случайных явлений;

г) производится статистическая обработка полученных результатов в соответствии с характером поставленной задачи.

Каким же основным общим требованиям, не зависящим от цели исследования или характера решаемой задачи, должна удовлетворять математическая модель? Для какой бы из перечисленных выше целей ни строилась математическая модель при упрощенном подходе к ее построению, основными соображениями, которыми следует руководствоваться, являются точность, гибкость, постоянный учет основных характеристик системы, конечной цели моделирования и затрат на эксплуатацию модели. Математическая модель должна быть относительно простой в обращении и понятной тем, кто ее использует, представительной во всем диапазоне применения, достаточно сложной, чтобы с необходимой степенью точности отображать изучаемую систему, а также ориентированной на вычислительные возможности, имеющиеся в распоряжении экспериментаторов.

Можно выделить три важных аспекта в решении общей задачи исследования поведения систем методом математического моделирования. Это моделирование условий функционирования системы или моделирование «среды»; моделирование собственно системы; обработка результатов исследования и их оценка. Каждый из этих аспектов связан с решением ряда проблем, из которых основные состоят в определении характеристик системы и воздействий на нее, составлении и реализации моделей воздействий и системы и алгоритмов обработки результатов эксперимента, планировании компьютерного эксперимента.

1.2. Надежность технических систем

Надежность системы – это ее способность выполнять свои функции при сохранении структуры и основных характеристик в течение запроектированного интервала времени.

15

Надежность определяется характеристиками, которые носят вероятностный или статистический характер.

Безотказная работа технической системы зависит от внутренней и внешней нагрузки на систему в целом и на отдельные элементы. Например, в электропроводящих элементах – это величины токов, тепловых потоков, в механических компонентах – механические напряжения, обусловленные внутренними и внешними причинами, например, перегрузки статического и динамического характера, внешней температуры, вибрации, ударов и т. д.

Количественно мера надежности – это вероятность безотказной работы, т. е. вероятность того, что в предусмотренных условиях эксплуатации системы в пределах запроектированного времени отказ не произойдет.

Отказы подразделяют на два типа:

1)внезапные, редко возникающие;

2)усталостные отказы, которые обусловлены изменением (старением) компонентов системы.

Могут быть отказы комбинированные, обусловленные ускоренным по сравнению с проектируемым старением какого-либо компонента системыи его отказа, носящего внезапный (неожиданный) характер.

Обозначим вероятность безотказной работы системы

P P t ,

где t – время,

тогда вероятность внезапных редко возникающих отказов определяется функцией

где t – интенсивность отказов.

Интенсивность отказов вычисляется как относительное число отказов в единицу времени.

График функции t изображен на рис. 1.1. В диапазоне 0 t t1

идет приработка системы и выявляются скрытые дефекты, обусловливающие высокий уровень интенсивности отказов. Основной пе-

16

риод работы t1 t t2 характеризуется тем, что интенсивность от-

казов практически не зависит от t, являясь величиной практически постоянной, при t t2 интенсивность отказов растет, что обуслов-

лено выработкой ресурса системы (износ элементов, старение материалов и т. д.).

(t)

Рис. 1.1. График функции (t)

При t t2 система становится ненадежной и требуется ее ремонт

или утилизация.

Таким образом, на интервале t1 t t2 вероятность безотказной работы определяется соотношением

Рассмотрим теперь гетерогенную систему, состоящую из N разных подсистем, вероятности безотказной работы которых равны Р1, Р2, …, РN. Если система построена так, что отказ любой подсистемы ведет к отказу всей системы, тогда

N

P P1 P2 ... Pn Pi ,

i 1

или, учитывая, что зависимость Pi t согласно (1.1) имеет универсальный характер для всех технических систем, получим

17

где i – интенсивность отказа i-й подсистемы;

N

i – интенсивность отказа всей системы.

i 1

Для применяемых стандартных элементов (резисторы, конденсаторы и т. д.) i даются в справочниках, для других элементов они

должны определяться из экспериментальных данных методами статистической обработки.

Например, выявляется т – число групп однотипных элементов, ni – число элементов в группе, тогда

m

ni i .

i 1

Среднее время безотказной работы системы определяется по формуле

Tср 1 .

Рассмотрим теперь отказы, обусловленные усталостью компо-

нентов системы.

В качестве модели здесь используется нормальный закон распределения для времени t безотказной работы системы. Обозначим

T0 t – математическое ожидание, 02 t t 2 – дис-

персию времени безотказной работы. Считаем, что внезапные и усталостные отказы несовместны и независимы. Тогда вероятность безотказной работы по причине усталости примет вид

Pуст t 1 1 T0 t . 2 0

18

Для функции Ф примем выражение вида

Значения Ф затабулированы.

Вследствие независимости двух процессов внезапного отказа и постепенного накопления повреждений общая вероятность безотказной работы имеет вид

Таким образом, зная Т0, 0, , можно вычислить надежность системы.

Повышение надежности системы в процессе ее проектирования является одной из важнейших задач. Для достижения этой цели применяются различные методы.

1.Блочно-модульная структура системы используется с целью быстрой замены отказавших блоков, модулей, что позволяет сократить время и стоимость ремонта.

2.Облегченный режим эксплуатации системы реализуется за счет снижения внутренних нагрузок типа напряжения тока, что увеличивает срок службы компонентов.

3.Поэлементное резервирование применяется в ответственных системах. Резервные элементы могут находиться как в рабочем режиме, так и в режиме ожидания. В наиболее ответственных системах, связанных с жизнью людей, резервироваться может вся система полностью.

Ясно, что резервирование ведет к удорожанию системы, увеличению ее массы, габаритов и т. д., поэтому при проектировании здесь возникают многокритериальные задачи математического программирования.

Например, можно поставить задачу: какова должна быть крат-

ность mi резервирования системы, состоящей из n элементов, чтобы обеспечить требуемую надежность Pm. Решение этой задачи дает следующее выражение для mi:

19

ln z ai mi ln 1ai P ;

n

Pm ai z i 1 ,

1 Pm

где Gi – «цена» (масса, габариты, стоимость) резервирования i-й подсистемы;

z – математическое ожидание суммарного ущерба отказов. Очевидно, что резервирование является наиболее эффективным

способом повышения надежности системы, однако технико-эконо- мическая цена его высока, и при проектировании системы следует учитывать, что не каждый отказ подсистем и даже системы в целом приводит к опасной (аварийной) ситуации.

1.3. Безопасность системы и методы ее повышения

Более точной эксплуатационной характеристикой, чем надежность, является безопасность системы.

Безопасность системы – это вероятность того, что параметры режима функционирования системы не выйдут за проектные допустимые пределы в случае отказа каких-либо подсистем.

Эффективным путем повышения безопасности функционирования системы являются встроенные подсистемы контроля, которые включают в себя датчики (сенсоры) состояния компонентов системы, передачи информации, обработка информации, принятия решений и исполнениянеобходимых управляющих (регулирующих) воздействий.

Выделим два типа режимов функционирования системы. Опасные режимы – это режимы, при которых происходит отказ системы, приводящий к прекращению ее функционирования. Безопасные режимы – это режимы, при которых не возникают опасные ситуации (штатный режим).

20