Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

функции в точке x0 0:

lim

y

lim

x

0

lim

x

1

x 0

x

x 0 x

x 0

x 0

y

x

0

x

f

(0) f (0).

lim

lim

lim

1

x

x

x

x 0

x 0

x 0

Вывод. Так как односторонние

производные

функции y

x

в точке x0 0 существуют,

но не равны между собой, то функция

не имеет производной в этой точке.

y C const,

y (C) 0.

y x,

y (

x)

1

;

2 x

1

1

1

y

y

,

.

x

x2

x

Показательная функция:

y a

x

, y

(a

x

x

ln a,

0 a 1,

)

a

в частности,

y ex ,

y (ex ) ex .

Логарифмическая функция:

y loga x,

y (loga x)

1

,

0 a 1,

x 0,

x ln a

в частности,

y (ln x) 1x ,

y ln x,

x 0.

Тригонометрические функции:

y sin x,

y (sin x) cos x;

y cos x,

sin x;

y (cos x)

y (tg x)

1

y tg x,

,

x

2 k , k ;

cos2 x

y ctg x,

y

(ctg

1

x k ,

k .

x)

sin2 x ,

Обратные тригонометрические функции:

y arcsin x,

y

(arcsin x)

1

x

1;

1 x2 ,

y arccos x,

y

(arccos x)

1

x

1;

1 x2 ,

y arctg x,

y (arctg x)

1

;

1 x2

y arcctg x,

y (arcctg x)

1

.

1 x2

Гиперболические функции:

– синус гиперболический y sh x,

y (sh x) ch x;

– косинус гиперболический

y ch x,

y

(ch x)

sh x;

y th x,

y (th x)

1

– тангенс гиперболический

;

ch2 x

– котангенсгиперболический y cth x,

y (cth x)

1

, (x 0) .

sh2x

5.4. Правила дифференцирования

Функция y f (x), имеющая производную в точке x0 ,

называ-

Теорема 5.2. Если функции u u(x)

и v v(x) дифференцируемы

в точке

x0 ,

то

функции

Cu(x)

(C const), u(x) v(x),

u(x)v(x),

u(x)

(v(x0 ) 0)

также

дифференцируемы в

этой

v(x)

точке, причем:

(Cu(x))

Cu (x),

(u(x) v(x)) u (x) v (x),

(u(x)v(x))

(5.3)

u (x)v(x) u(x)v (x),

u(x)

u

(x)v(x) u(x)v

(x)

.

v2 (x)

v(x)

(5.3) – основные формулы дифференцирования.

Доказательство. Докажем первые три формулы.

1. Рассмотрим функцию y Cu(x). Тогда y y Cu(x x),

y Cu(x x) Cu(x) C u(x x) u(x) ,

y

C u(x x) u(x) ,

x

x

y

lim

y

lim

u(x x) u(x)

u(x x) u(x)

,

x

C

x

C lim

x

x 0

x 0

x 0

т. е. y

Cu (x).

2. Рассмотрим функцию

y u(x) v(x). Тогда

y u(x x) u(x) v(x x) v(x) ,

y u(x x) u(x) v(x x) v(x)

x

x

u(x x) u(x)

v(x x) v(x)

u

v

,

x

x

x

x

y lim

y

lim

u

v

lim

u

lim

v

,

x

x

x

x

x 0

x 0

x

x 0

x 0

Рассмотрим последний

член

в

правой

части формулы:

lim u(x) lim

v(x) . Так как

u(x)

–

дифференцируемая функция,

x 0

x 0

x

lim u(x) 0.

то

она

непрерывна.

Следовательно,

x 0

lim

v(x)

– дифференцируемая функция.

x

v (x) , так как v(x)

x 0

получаем: y

■

u (x)v(x)

u(x)v (x).

Пример 5.2. Найти производную функции

y 7

1

.

Решение.

x

1

1

3

1

1

7

7

1

x

y 7

7

2

7

x

2

x

2

.

3

x

2

2

2

x

Ответ: y

7

2

x3 .

Пример 5.3. Найти производную функции

y 5x3

1

.

4 x

Решение.

y 5 x3

1

1

1

1

1

3x2

15x2

5

x

4

.

4

x

4

4

4 x5

Ответ: y

15x

2

1

44 x5 .

Пример 5.4. Найти производную функции y

x sin x.

Решение.

y x sin x

x sin x

x sin x

1

sin x

x cos x.

2

x

Ответ: y

sin x

x cos x.

2

x

Пример 5.5. Найти производную функции y

x3

.

cos x

Решение.

x

3

x

3

3

3x

2

cos x x

3

sin x

cos x x

cos x

y

.

2

2

cos

x

cos

x

cos x

Ответ: y

3x2 cos x x3 sin x

.

cos2 x

5.4.2. Производная сложной функции

Теорема 5.3. Если функция u g(x)

дифференцируема в точке

x0 , а функция

y f (u) дифференцируема в точке u0

g(x0 ), то

сложная функция y f (g(x)) дифференцируема в точке x0 и

y (x0 )

fu (u0 )g (x0 ).

(5.4)

y f (u0 ) u0 ( u) u,

(5.5)

где lim ( u) 0. Разделим равенство (5.5)

на x, получим

u 0

y

f (u0 ) u ( u)

u .

(5.6)

x

x

x

lim

( u)

u

lim

( u) lim

u

0

g (x0 ) 0.

(5.7)

x

x 0

x

x 0

x 0

водные в соответствующих точках, то

zx zy yuux .

(5.8)

Пример 5.6. Найти производную функции y sin(x2 ).

Решение.

представить в виде y sin u,

где

Данную функцию можно

u x2. Тогда, по формуле (5.4), получаем

y (x) y (u)u (x) 2xcosu.

Решение.

Данную функцию можно представить в виде y cosv,

где v u3

а u ln x. Используя формулу (5.8), получаем

3

2

1

y

cosv

u

ln x sin v 3u

y (v)v (u)u (x)

x

sin(ln x)

3

3(ln x)

2

1

3sin(ln x)3 (ln x)2

.

x

x

Ответ: y

3sin(ln x)3 (ln x)2

.

x

1

1

.

точке, определяемую равенством ( y)

f (x)

или xy

yx

x

1

.

(5.9)

y

y

ращение

x 0 . Так как

lim

y

f

x

(x) 0 , то из (5.9) следуют

x

x 0

1

равенства

lim

1

1

. ■

y

y

f

, т. е. ( y)

f

y 0

lim

x

(x)

(x)

x 0

Решение.

Обратная функция

x y3 1

имеет

производную xy 3y2 .

Следовательно,

yx

1

1

1

.

xy

3y2

33 (x 1)2

Ответ: yx

1

.

33 (x 1)2

функции, найти производную yx

для функции y arcsin x.

Решение.

x sin y

производную xy cos y.

Обратная функция

имеет

Следовательно,

yx

1

1

1

1

.

xy

cos y

1 sin2

y

1 x2

Ответ: yx

1

.

1 x2