Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

7.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 237 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Пример 4.1. Функция y x непрерывна навсей числовой прямой.

x 0,

0, имеет разрыв в точке x 0,

Функция y sign x

x 0,

так как не существует lim f (x).

x 0

x 0,

имеет разрыв в точке x 0, так как

Функция y

x 0

lim f (x) f (0).

x 0

Определение

4.2

(по Коши). Функция

y f (x)

называется

непрерывной в

точке

x0 X ,

если она

определена в

некоторой

окрестности точки x0

0 0,

x X ,

x x0

f (x) f (x0 )

Определение

4.3

(по Гейне). Функция

y f (x)

называется

непрерывной в

точке

x0 X ,

если она определена в некоторой

окрестности точки x0 и для

любой последовательности хп ,

lim x

x , соответствующая последовательность значений функ-

n n

ции сходится к числу f (x0 ), т. е. lim f (xn ) f (x0 ).

Рассмотрим определение 4.1, согласно которому выполнено

lim f (x) f (x0 ).

x x0

Тогда lim f (x) f (x0 ) 0. Внесем		f (x0 )	под знак предела и
x x0
учитывая, что x x0 x x0 0 ,		получим
	lim ( f (x) f (x0 )) 0.		(4.1)
	x x0 0
Разность x x0	называется приращением аргумента в точке x0
и обозначается x,	разность f (x) f (x0 ) называется приращением

функции в точке x0 , соответствующим приращению аргумента x,

обозначается f (x0 )		или y(x0 ). Тогда (4.1) можно представить
в виде		lim f (x0 ) 0.	(4.2)
		lim f (x0 ) 0.	(4.2)
		x 0
Определение	4.4.	Функция y f (x) называется	непрерывной
в точке x0 X ,	если она определена в некоторой окрестности точки

x0 и ее приращение в этой точке является бесконечно малой функ-

цией при х 0,	т. е. выполнено (4.2).
Определение	4.5.	Функция y f (x) называется непрерывной
на отрезке [a, b] X ,		если она непрерывна во внутренних точках

отрезка, а в граничных точках существуют односторонние пределы. Заметим, что множество функций, непрерывных на отрезке [a,b]

принято обозначать С([a, b]), поэтому, если функция y f (x) непрерывна на отрезке [a, b], это можно показать следующим обра-

зом: f (x) C([a, b]).

4.2. Свойства непрерывных функций

Теорема 4.1. Если функции y f (x) и y g(x) непрерывны

в точке x , то функции y f (x) g(x),	y f (x)g(x),	y	f (x)

0			g(x)

(при условии g(x0 ) 0 ),	y C f (x) (С – постоянная) непрерывны в
точке x0.

Доказательство следует из определения непрерывности функции

и аналогичных свойств пределов функции.
Например, если lim	f (x) f (x0 ), lim		g(x) g(x0 ), то
x x0		x x0
lim ( f (x) g(x))	lim	f (x) lim g(x) f (x0 ) g(x0 ). ■
x x0	x x0	x x0

Замечание 4.1. Теорема справедлива и при любом конечном числе непрерывных функций.

Теорема 4.2 (Вейерштрасса). Функция y f (x) C([a, b]) огра-

ничена на данном отрезке.

Доказательство. От противного.

Предположим, что функция y f (x) не ограничена на отрезке [a, b] . Тогда для любого n N найдется точка xn [a, b], такая, что

f (xn )

последовательности xn

Известно,

что из

ограниченной

a xn b

можно выделить сходящуюся подпоследовательность

xnk

, для

которой

a lim xnk

c b

(теорема

2.4

Больцано–

Вейерштрасса). Тогда, с одной стороны,

lim

f (xn

)

– в силу

f (xn );

неограниченности

другой

стороны,

lim

f (xn )

f (c)

– в силу непрерывности функции

y f (x).

Получено противоречие. ■

Теорема 4.3 (Вейерштрасса)*. Функция y f (x) C([a, b]) до-

стигает на этом отрезке своих точной верхней и точной нижней граней.

Напомним, что точная верхняя грань М непрерывной на отрезке [a, b] функции y f (x) называется максимумом функции на этом

отрезке: max f (x) sup f (x); точная нижняя грань т – минимумом

[a, b]		[a, b]
функции на этом отрезке:			min f (x) inf f (x). Напомним,		также,
			[a, b]	[a, b]
что нулем функции y f (x) называется всякое значение					х х0 ,
при котором	f (x0 ) 0.
Теорема	4.4	(Коши	о	нулях функции). Если функция
y f (x) C([a,b])		и на концах данного отрезка принимает значе-

ния разных знаков, то внутри отрезка найдется, по крайней мере,


одна точка такая, что f ( ) 0.
Доказательство.							f (a) A 0,		f (b) B 0.
Пусть, для определенности,
Разделим		отрезок [a, b]				точкой		x0	пополам. Тогда		если
f (x0 ) 0, то		искомая точка х0 найдена и теорема доказана. Ес-
ли f (x0 ) 0,		то возьмем ту половину						[a1, b1] отрезка		[a, b],	для
которой	f (a1) 0,			f (b1) 0.		Разделим отрезок [a1, b1]				точкой x1
пополам. Если			f (x1) 0,		то искомая точка х1 найдена и теорема
доказана. Если			f (x1) 0,		то возьмем ту половину [a2 , b2 ] отрезка
[a1, b1],	для которой f (a2 ) 0,						f (b2 ) 0,		и выполним очередное

разбиение. Продолжив эти рассуждения, получим, что, либо через конечное число шагов найдется точка (a, b) для которой

f ( ) 0, либо существует конечная последовательность вложенных

стягивающихся отрезков		[an , bn ],		n N, для		которых	f (an ) 0,
f (bn ) 0.	Согласно теореме 2.5 (Кантора) существует единствен-
ная точка [a, b],		общая		для	всех	отрезков,	причем
lim a	lim b .
n n	n n
Учитывая непрерывность функции y f (x)						и переходя к преде-
лу в неравенствах f (an ) 0,			f (bn ) 0 , получим
	lim f (an ) f ( ) 0,			lim	f (bn ) f ( ) 0,
	n			n

откуда

f ( ) 0. ■

Теорема 4.5 (Коши о промежуточном значении). Если функция y f (x) C([a,b]), f (a) A, f (b) B (А В), и С – любое число,

заключенное между А и В, то найдется точка c (a, b), в которой f (c) C.

Доказательство.

Пусть, для определенности, A B. Тогда для функции(x) f (x) C имеем

(a) f (a) C A C 0, (b) f (b) C B C 0.

Итак, функция y (x) на концах отрезка [a, b] имеет разные

знаки. Согласно теореме 4.4 существует точка с,

a c b, такая,

что (c) f (c) C 0. Следовательно,

f (c) C. ■

4.3. Непрерывность сложной функции

Теорема 4.6. Пусть функция u g(x)

непрерывна в точке

x0 ,

функция y f (u) непрерывна в точке u0

g(x0 ),

тогда сложная

функция y f (g(x)) непрерывна в точке x0.

Доказательство.

В силу непрерывности функции y f (u)

в точке u0

g(x0 ) :

0 0, такое, что для u,

u u0

f (u) f (u0 )

В силу непрерывности функции u g(x)

в точке x0

для найден-

ного : 0, такое, что для x,

x x0

g(x) g(x0 )

т. е.

u u0

x x0

Таким образом, 0 0, такое,

что для

f (g(x)) f (g(x0 )) .

Следовательно, функция y f (g(x)) непрерывна в точке x0 . ■

Следствие 4.1. Знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами, т. е.

lim	f (g(x))	f		lim	g(x)	f (g(x )).
x x0						0
x x0			x x0

	4.4. Непрерывность элементарных функций
Теорема		4.7*.		Всякая		элементарная		функция	непрерывна
в каждой точке, в которой она определена.
Докажем непрерывность некоторых из элементарных функций.
1. Функция			f (x) C(const) непрерывна для x .
Действительно,			lim f (x) lim C C f (x0 ).
			x x0			x x0
2. Функция			f (x) a xk ,			где a , непрерывна для x .
Действительно,				k		k
Действительно,
			lim f (x) lim ak (x x)k				ak xk
		x 0			x 0
a	lim (xk C1 xk 1 x C2 xk 2 ( x)2 ... ( x)k xk )
k	x 0			k		k
a		lim (C1 xk 1 x C2 xk 2 ( x)2 ... ( x)k ) 0.
	k	x 0		k		k
Тогда многочлен от x степени n
P (x) a xn a					xn 1 ... a x a ,			a ,	k		,
P (x) a xn a					xn 1 ... a x a ,			a ,	k	0, n	,
	n		n	n 1		1	0	k

будет непрерывной функцией как сумма непрерывных функций ви-

да f (x) a xk ,	k		;	рациональная функция f (x)	Pn (x)
		0, n			Pn (x)
		0, n
k					Qm (x)
					Qm (x)

будет непрерывной функцией во всех точках, где Qm (x) 0, как отношение двух непрерывных функций.

3. Функция y sin x непрерывна на всей числовой прямой. Предварительно покажем, что

sin x

x .

(4.3)

Действительно, (4.3) верно при х 0.

При х 0 если x (0,

то

sin x x

согласно доказательству

, 0),

первого замечательного предела;

если x (

то (4.3)

будет

sin x

, то (4.3)

выполнено, так как функция

– четная;

если

верно, так как

sin x

1. Тогда

sin x

sin(x x) sin x

sin

cos x

sin x

согласно

(4.3), т. е.

sin x

Отсюда

следует,

что

если

, то

sin x

т. е. функция

y sin x

непрерывна на

всей числовой прямой.

Аналогичным образом

доказывается

непрерывность

функции

y cos x на всей числовой прямой.

Функция tg x sin x

непрерывна в точках, где

cos x 0,

т. е.

cos x

ctg x cos x

в точках

x n ,

n . Функция

непрерывна

sin x

в точках, где sin x 0, т. е. в точках x n , n .

4.5. Классификация точек разрыва функции

Пусть функция y f (x) определена в некоторой проколотой окрестности точки х0.

Определение 4.6. Точка х0 называется точкой разрыва функции y f (x), если функция в этой точке не определена или же не явля-

ется в ней непрерывной.
Определение 4.7. Точка х0 называется					точкой	устранимого
разрыва функции y f (x) (рис. 4.1), если
	lim		f (x)	lim f (x) f (x0 ).
	x x0	0		x x0 0
Чтобы	устранить	разрыв		в точке х0 ,	достаточно принять
f (x0 ) f	(x0 0) f (x0		0). В этом случае говорят,			что функция

доопределена по непрерывности в точке х0.

О х0 х

Рис. 4.1

Определение 4.8. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции y f (x) (рис. 4.2), если в этой точке существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой, т. е.

lim f (x) lim f (x),

x x0 0 x x0 0

где f (x0 0) , f (x0 0) .

Разность (x0 ) f (x0 0) f (x0 0) представляет скачок функции y f (x) в точке х0.

О	х0	х
	Рис. 4.2

Определение 4.9. Точка х0 называется точкой разрыва второ-

го рода функции y f (x) (рис. 4.3), если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов равен или , или вообще не существует. Причем если хотя бы один предел не существует, то точка х0 называется точкой неопределенности, если хотя бы

один из односторонних пределов равен или , то точка х0

называется точкой бесконечного скачка.

х0

Рис. 4.3

Пример 4.2. Определить точки разрыва функции f (x)			x 3
			x 3

			x 3
			x 3

и их характер. Построить схематичный график функции.

Решение.

Функция f (x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, за исключением точки x0 3, т. е. D( f ) ( ; 3) (3; ). Следовательно, точка x0 3 является точкой разрыва данной функ-

ции. Выясним характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы в этой точке. Так как

x 3

(x 3),если

x 3,

если

x 3,

то

f (3 0)

lim

x 3

lim

(x 3)

lim

( 1) 1,

x 3 0 x 3

x 3 0

x 3

x 3 0

f (3 0)

lim

x 3

lim

x 3

lim

1 1.

x 3

x 3 0

x 3 0 x 3

x 3 0

Так как односторонние пределы конечны, но f (3 0) f (3 0), то в точке x0 3 функция имеет разрыв первого рода.

Скачок функции составляет (3) f (3 0) f (3 0) 1 ( 1) 2.

График функции представлен на рис. 4.4. Ответ: x 3 − точка разрыва первого рода.

Пример 4.3. Определить точки разрыва функции f (x) 3x и их характер. Построить схематичный график функции.

Решение.

Функция f (x) определена и непрерывна на всей числовой пря-

мой, за исключением точки x0 0, т. е.	D( f ) ( ; 0) (0; ).
Следовательно, точка x0 0 является	точкой разрыва данной

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 237 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20258.23 Mб0Введение в инженерно-педагогическое образование.pdf
#
24.11.202514.47 Mб0Введение в инженерное образование.pdf
#
24.11.20252.39 Mб0Введение в испанский язык.pdf
#
24.11.20252.17 Mб1Введение в квантовую физику.pdf
#
24.11.20251.41 Mб0Введение в лабораторный практикум по физике.pdf
#
24.11.20257.09 Mб0Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.pdf
#
24.11.20253.96 Mб0Введение в мехатронику.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Введение в образование по специальности.pdf
#
24.11.20251.08 Mб0Введение в специальность.pdf
#
24.11.20251.41 Mб0Великая Отечественная война советского народа (в контексте Второй мировой войны).pdf
#
24.11.20253.08 Mб0Вероятностно-статистические методы оценки качества в машиностроении.pdf