Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

30

Вопросы для самоконтроля

1.Какая последовательность называется ограниченной?

2.Какое определение последовательности указывает «более точные границы»?

3.Последовательность an (1 ( 1)n )n2 является неограничен-

ной или бесконечно большой?

4.Какая последовательность называется бесконечно малой?

5.Какое число является пределом БМП?

6.Какое равенство связывает члены сходящейся последовательности, предельное значение и некоторую БМП?

7.Сколько пределов может иметь последовательность?

8.Можно ли у сходящейся последовательности выделить подпоследовательность, сходящуюся к другому пределу?

9.Верно ли, что условие ограниченности последовательности является достаточным для ее сходимости?

10.Каким образом арифметические операции над сходящимися последовательностями отражаются над их пределами?

11.Чему равен предел последовательности an 1 1 n ?

n

12.Верно ли, что условие ограниченности монотонной последовательности является достаточным для ее сходимости?

13.Из какой последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность?

14.Может ли последовательность вложенных стягивающихся отрезков иметь две общие точки?

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

Записать первые пять членов последовательности:

31

Записать формулу общего члена последовательности:

32

33

3.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

3.1.Предел функции в точке и на бесконечности

Данное определение предела функции в точке называется опре-

Ответ: 6.

34

Геометрический смысл определения предела функции в точке:

lim f (x) A, если для любой -окрестности точки А найдется про-

x x0

Рис. 3.1.

Определение 3.2. Число А называется пределом функции y f (x)

Данное определение предела функции в точке называется опре-

делением предела по Гейне.

35

Пример 3.2. Используя определение предела функции по Гейне,

доказать, что lim(3x2 2x 1) 15.

x 2

Решение. Рассмотрим функцию f (x) 3x2 2x 1. Возьмем произвольную числовую последовательность (xn ), сходящуюся к 2, с членами, принадлежащими D( f ) иотличнымиот2: nlim xn 2, xn 2.

Рассмотрим соответствующую последовательность значений данной функции f (xn ) 3xn2 2xn 1 . Докажем, что эта последо-

Таким образом, по определению предела функции по Гейне,

имеем lim f (x) lim(3x2 2x 1) 15. ■

x 2 x 2

Теорема 3.1*. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.

Из определения предела функции y f (x) в точке х0 следует, что сама точка х0 исключается из рассмотрения, а функция счита-

ется определенной в некоторой достаточно малой окрестности точки х0. Существование предела функции в точке является локаль-

ным свойством функции.

Пусть аргумент функции х , т. е. возрастает по модулю.

36

3.2. Односторонние пределы

Определение 3.4. Число А называется правым (левым) пределом функции y f (x) в точке х0 , если для любой последовательности

(хп), сходящейся к х0 , элементы которой больше (меньше) х0 , соответствующая последовательность значений функции f (xn )

сходится к А при n .

Таким образом, определение правого предела:

определение левого предела:

Теорема 3.2*. Функция y f (x) имеет предел в точке х0 тогда

и только тогда, когда в этой точке существуют правый и левый пределы и они равны. В этом случае их общее значение и является

пределом функции y f (x) в точке х0.

Пример 3.3. Найти односторонние пределы функции f (x) xx в точке x0 0.

37

Вывод. Так как односторонние пределы функции f (x) xx

в точке x0 0 существуют, но не равны между собой, то данная функция не имеет предела в этой точке.

3.3. Свойства функций, имеющих предел

Свойства будут сформулированы для функций, имеющих предел в точке, но они очевидным образом могут быть перенесены на случай предела функции на бесконечности.

1.Если функция имеет предел в точке, то он единственен.

2.Функция, имеющая предел в точке, ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

3. Если lim f (x) A 0, то найдется проколотая окрестность

x x0

точки х0 , в которой функция y f (x) имеет знак, совпадающий со

знаком предела А.

4. Если функции y f (x), y f1(x), y f2 (x) в некоторой проколотой окрестности точки x0 связаны соотношением

38

Доказательство этих свойств вытекает из аналогичных свойств пределов числовых последовательностей, если воспользоваться определением предела функции в точке по Гейне.

3.4. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

lim sin x 1.

x 0 x

Доказательство.

Рассмотрим круг радиусом R с центром в точке О. Пусть ОА – неподвижный радиус, ОВ – подвижный, образующий угол х

С

В

О х

А

Рис. 3.2

Проведем из точки A перпендикуляр к радиусу OA до пересечения в точке С с продолжением радиуса ОВ. Тогда

39