Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

2. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ

2.1. Понятие числовой последовательности

Определение 2.1. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число an , то говорят, что задана числовая последо-

вательность или просто последовательность a1, a2 , …, an , … Числа an (п 1, 2, ...) – элементы или члены последовательно-

сти, an – общий или п-й член последовательности. Последователь-

20

ность обозначают как ап или ап или задают с помощью

п-го члена.

Частным случаем последовательности являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Определение 2.2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа a и b, что при всех n выполняются

неравенства

а ап b.

При этом говорят, что число a ограничивает последовательность снизу, а b – сверху.

Определение 2.2′. Последовательность ап называется ограниченной, если М 0 такое, что для n : an M .

Заметим, что не всякая последовательность ограничена.

Определение 2.3. Последовательность ап называется неогра-

ниченной, если для М 0 n : an M .

Пример 2.3. Последовательность an ( 1)n n не ограничена.

Если изображать члены последовательности точками координатной прямой, то все члены ограниченной последовательности лежат на некотором отрезке. Для неограниченной последовательности вне любого отрезка найдутся члены этой последовательности.

Определение 2.4. Если из некоторого бесконечного подмножества членов последовательности ап образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в

ап , то она называется подпоследовательностью ап и обозна-

чается апk , причем пk1 nk2 k1 k2.

21

Определение 2.5. Суммой, разностью, произведением, отноше-

тельность Сап .

2.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение 2.6. Последовательность ап называется беско-

нечно большой последовательностью (ББП), если для М 0

(сколь бы большим его ни взяли) N такой номер, что для n N:

an M .

Заметим, что если последовательность бесконечно большая, то она является неограниченной, но не наоборот, т. е. неограниченная последовательность не обязательно будет ББП.

Определение 2.7. Последовательность п называется беско-

нечно малой последовательностью (БМП), если для 0 N та-

Теорема 2.1. Если последовательность ап – ББП, и все ее чле-

22

Доказательство.

Пусть ап – ББП. Рассмотрим 0 и положим М 1 . Со-

гласно определению ББП, для этого M будет N такой номер, что для n N: an M . Тогда

Аналогично доказывается вторая часть теоремы. ■

Свойства БМП

1.Алгебраическая суммалюбого конечного числаБМП есть БМП.

2.Произведение любого конечного числа БМП есть БМП.

3.Произведение ограниченной последовательности на БМП есть БМП.

Следствие 2.1*. Произведение БМП на число есть БМП.

2.3. Сходящиеся последовательности

Определение 2.8. Число a называется пределом числовой после-

довательности ап , если для 0 N ( ) такой, что n N( ):

ап а , т. е.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

23

Из (2.1) рассмотрим условие ап а .

ап а an a a an a .

Последние неравенства означают, что при n N элемент последовательности an должен находиться в интервале (a , a ).

Напомним, что данныйинтервал называется -окрестностьюточки a.

Определение 2.8 . Число a называется пределом числовой после-

довательности ап , если для 0 N ( ), начиная с которого

все члены последовательности принадлежат -окрестности точки a. Геометрический смысл предела последовательности: nlim an a,

если вне любой -окрестности точки a имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

Пример 2.5. Доказать, что lim n 1.

n n 1

Решение. Согласно условию, требуется доказать, что число «1»

24

Теорема 2.2. Числовая последовательность ап имеет своим пределом число«a» тогда только тогда, когда

ап а п,

где n – члены БМП п .

Доказательство.

Необходимость. Пусть nlim an a. Обозначим ап а п. По-

лучим lim n lim an a 0, т. е. п – БМП.

n n

Свойства сходящихся последовательностей

1.Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

2.Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

3.Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Если последовательность ап имеет предел a 0 (a 0), то, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство an 0 (an 0), т. е. члены последовательности сохраняют знак числа a.

25

Таким образом, согласно свойству 7, арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

На основании свойства 2 можно получить условие расходимости последовательности.

не имеет предела.

Решение. Выделим из исходной последовательности две подпоследовательности:

a2n 2 ( 1)2n 2 1 3 и a2n 1 2 ( 1)2n 1 2 1 1.

последовательность не имеет предела.

Замечание 2.1. Обратное к свойству 3, вообще говоря, не верно, т. е. ограниченная последовательность может не быть сходящейся.

26

Определение 2.9. Последовательность ап называется:

–возрастающей, если a1 a2 ... an an 1 ...;

–неубывающей, если a1 a2 ... an an 1 ...;

–убывающей, если a1 a2 ... an an 1 ... ;

–невозрастающей, если a1 a2 ... an an 1 ...

Все указанные последовательности называются также монотонными, а возрастающая и убывающая последовательности – строго монотонными.

Теорема 2.3. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимоидостаточно, чтобыонабылаограниченной.

Доказательство.

Необходимость. Согласно свойству 3, всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Достаточность. Пусть ап монотонно неубывающая ограниченная сверху последовательность, т. е. a1 a2 ... an an 1 ...

и М такое, что ап М.

Рассмотрим числовое множество А, состоящее из элементов данной последовательности. Это множество ограничено сверху и непусто. Поэтому A имеет точную верхнюю грань а sup A. То-

Таким образом, 0 N( ), n N( ) : a an a , т. е. an a . А это и означает, что число a – предел последователь-

ности ап .

Аналогично доказывается случай монотонно невозрастающей последовательности. ■

Замечание 2.2. На основании данной теоремы можно доказать

27

Теорема 2.4* (Больцано–Вейерштрасса). Из всякой ограничен-

ной последовательности чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

зует систему вложенных отрезков, если выполнены следующие условия:

Система вложенных отрезков будет системой стягивающихся отрезков, если

Теорема 2.5 (Кантора). Всякая последовательность вложенных стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку, принадлежащую всем отрезкам.

Доказательство.

Из (2.2) следует, что монотонные последовательности концов отрезков an и bn сходятся, причем из равенства (2.3):

lim an lim bn.

n n

Тогда

Из теоремы 2.3 следует, что общей точкой, принадлежащей отрезкам [an , bn ], является

a lim an lim bn . ■

n n

28

Ответ: 0.

29