Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Определение 18.1. Производной от функции u f (x, y, z) в точке М(x, y, z) по направлению вектора s называется предел отно-

Из (18.4) следует, что, зная частные производные функции, легко найти производную по любому направлению вектора s.

Заметим, что частные производные являются, по сути, частными случаями производной по направлению.

Так, например, при 0 , 2 и 2 :

ддus ддux cos0 ддuy cos 2 ддuz cos 2 ддux .

Пример 18.1. Для функции u x2 y2 z2 найти производную

ддus в точке M (1; 1; 1) по направлению вектора s (1; 2; 3) .

Решение.

Найдем частные производные функции в точке M (1; 1; 1) :

180

Вопросы для самоконтроля

1.Что называют производной функции u f (x, y, z) по направлению вектора s ?

2.Что показывает производная ддus ?

3.Каким образом в формуле производной ддus «задействованы»

функция u f (x, y, z) и вектор s ?

4.В каком случае координаты вектора s являются его направляющими косинусами?

5.При каких значениях , , производная ддus будет представ-

лять собой: частную производную ддuy ; частную производную ддuz ?

181

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

Ответ: 62.

18.3. Найти производную функции u xy2 z3 в точке M0 (3; 2; 1) по

направлению вектора M0M , если M (7; 5; 1).

Ответ: 10,4.

M0 (2;1; 2) по направлению радиуса-вектора этой точки.

Ответ: 2.

19. ГРАДИЕНТ

Рассмотрим функцию u f (x, y, z) , определенную в области D.

Определение 19.1. Говорят, что в области D определено скалярное поле, если для каждой точки М(х, у, z) D задано некоторое

число (скаляр), т. е.

u f (x, y, z) f (M ).

182

Такимобразом, функция u f (x, y, z) – числоваяфункция точки.

Пример 19.1. Температурное поле; распределение концентрации вещества в растворе.

Определение 19.2. Говорят, что в области D определено векторное поле, если для каждой точки М(х, у, z) D задан некото-

рый вектор, т. е.

a F(M ) .

Пример 19.2. Силовое поле, создаваемое некоторым притягивающим центром.

В каждой точке области D , в которой задана функция u f (x, y, z) , определим вектор, проекциями которого на оси коор-

динат являются частные производные ддux , ддuy и ддuz этой функции в соответствующей точке:

Теорема 19.1. Пусть дано скалярное поле u f (x, y, z) и в нем

определено поле градиентов. Тогда производная дu по направлению

дs

некоторого вектора s равна проекции вектора grad u на вектор s.

Доказательство.

Рассмотрим единичный вектор s0 , соответствующий вектору s: s0 cos i cos j cos k .

183

Вычислим скалярное произведение векторов grad u и s0 :

Свойства градиента

1. Производная в точке по направлению вектора s имеет наибольшее значение, если направление вектора s совпадает

с направлением градиента. Это наибольшее значение производной

равно grad u (следует непосредственно из равенства (19.2)).

называется особой для скалярного поля; в противном случае –

обыкновенной (неособой).

184

Теорема 19.2*. Во всякой неособой точке плоского ( D 2 ) скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня, проходящейчерез этуточку, всторону возрастания поля.

Пример 19.1. Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания функции u xy2 yz2 в точке M0 (1; 1; 2).

Решение.

Направление наибыстрейшего возрастания функции в точке совпадает с направлением градиента, а его скорость равна значению длины градиента в этой точке.

Вопросы для самоконтроля

1.В каком случае говорят, что в области D определено векторное поле?

2.В каком случае говорят, что в области D определено скалярное поле?

3.Какой вектор называют градиентом функции u f (x, y, z) ?

185

D 2 по отношению к линии уровня данной функции?

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

Найти градиент функции в точке M, если:

19.4. Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания функции u xyz в точке M0 (1; 2; 2).

186

возрастания функции.

Ответ: 45 .

19.6. Убедитесь в ортогональности поверхностей уровня функций u x2 y2 z2 и v xz yz .

19.7с. Найти угол между градиентами функции u x2 2 y2 z2

в точках A(2; 3; 1) и B(1; 1;2).

19.8с. Найти единичный вектор нормали к поверхности функции

19.9с. Убедитесь в ортогональности поверхностей уровня функций u x2 y2 2z2 и v xyz.

20.КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ

КПОВЕРХНОСТИ

Рассмотрим функцию z f (x, y). Ее графиком является некото-

рая поверхность G.

Определение 20.1. Касательной плоскостью к поверхности G в

данной точке М0 называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

187

Оу

188

Сравнивая коэффициенты при х х0 в формулах (20.2) и (20.5), при у у0 в формулах (20.1) и (20.4), получим

Подставим эти значения в уравнение (20.3), преобразуем и получим уравнение касательной плоскости Р, проходящей через касательные прямые Lx и Ly :

189