Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

7.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Заметим, что при записи ответа в выражения для частных произ-

водных вместо u

и v

можно подставить их выражения через x

и y , однако это повлечет за собой громоздкие выражения.

дz

uex

y x ,

дz

4uyex

y 1 ,

Ответ: дx

дy

u2 v

где u ex y2

v x2

y .

Для случая большего числа переменных формулы (16.3) и (16.4) естественным образом обобщаются. Например, если z F(u, v, w, s),

где u (x, y) , v (x, y) , w (x, y) и s (x, y) , то

ддxz ддFu ддux ддFv ддvx ддFw ддwx ддFs ддxs ,

ддyz ддFu ддuy ддFv ддyv ддFw ддwy ддFs ддys .

Пусть исходная функция имеет вид z F(x,

y, u, v), где y,

u и

v зависят от одной переменной x :

y f (x) ,

u (x) , v (x) .

Тогда, по сути, функция

z является функцией только одной пере-

менной x и можно ставить вопрос о нахождении производной

dz ,

которая называется полной производной функции z :

дz

дz dv .

(16.5)

дy

дu

дx

дv

Пример 16.2. Найти

дz

для функции

z e2x xy ,

если

дx

y sin x.

170

Решение.

ддxz e2x xy (2 y).

Формула (16.5) в данном случае принимает вид:

		dz	дz	дz	dy .
		dx	дx	дy	dx
Поэтому
dz e2x xy (2 y) e2x xy x cos x e2x xy (2 y x cos x).
dx
	дz	e2x xy (2 y),	dz
Ответ:	дx	e2x xy (2 y),	dx e2x xy (2 y xcosx),

где y sin x.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяется частная производная функции z F(u, v) по переменной x, если u и v являются непрерывными функциями независимых переменных x и y ?

2.В чем различие в формулах частных производных по переменным x и y сложной функции z F(u, v) ?

3.Каким образом обобщаются формулы частных производных сложной функции z F(u, v) , если число переменных увеличить?

4.В каком случае для сложной функции можно вычислить полную производную по одной из переменных?

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

16.1. Найти

, если z e2x 3 y ,

где x tg t,

y t2 t.

Ответ:

2x 3 y

3(2t 1)

где x tg t,

y t

cos2 t

171

16.2. Найти

, если

z arctg

, где x e2t 1,

y e2t 1.

Ответ:

x y

, где x e

y e

16.3. Найти

дz

, если z ln(e

где y

дx

Ответ:

дz

ex ey (x2 1)

где

дx

ex ey

Найти

дz

, если z f (u,v),

где:

дx

дy

16.4. u

2 y

v x2

3y .

x y

Ответ:

дz

дf

2x ,

дx дu

(x y)

дv

дz

дf

( 3).

(x y)2

дv

дy дu

16.5. u sin

дf

Ответ: дz

дf

cos

дv

2 xy

дx

дu

дz

дf

cos

дy

дu

дv

, если z x y ,

16.6с. Найти

где x

ln t,

y sin t.

Ответ:	dz	x	y	y			x ln t,	y sin t.
	dz				ln xcost	, где

			xt

172

Найти

дz

, если z f (u,v),

где:

дx

дy

16.7с. u cos(xy),

v x5

7 y .

дz

дf

дz

дf

xsin(xy)

дf

Ответ:

дx

дu ysin(xy) дv

5x4 ,

дy

дu

дv

( 7).

16.8с. u ln(x2 y2 ),

v xy2 .

Ответ:

дz

дf

дx

дu

дv

дz

дf

2 y

дf

2xy .

дv

дy дu

17. ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

Теорема 17.1. Пусть непрерывная функция y от x задается уравнением

F(x, y) 0

(17.1)

и F(x, y) , Fx (x, y) , Fy (x, y) – непрерывные функции в некоторой области D , содержащей точку M (x, y) , координаты которой удовлетворяют уравнению (17.1), причем Fy (x, y) 0.

Тогда функция y от x будет иметь производную

yx	Fx (x, y)	.	(17.2)

	Fy (x, y)

Доказательство.

Пусть некоторому значению x соответствует значение функции y, при этом F(x, y) 0.

173

Придадим независимой переменной x приращение х, тогда функция y получит приращение у, т. е. значению переменной х х соответствует значение функции y y . В силу (17.1)

F(x x, y y) 0 , поэтомуF(x x, y y) F(x, y) 0 .

Выражение слева представляет собой полное приращение функции двух переменных, которое также можно записать в виде:

		F(x x, y y) F(x, y)
дF(x, y) x дF(x, y) y ( x, y) x ( x, y) y ,
	дx	дy
где ( x, y) и ( x, y) – БМФ при x 0 и y 0 .
Откуда
дF(x, y) x		дF(x, y)		y ( x, y) x ( x, y) y 0 .
дx		дy
Разделим обе части равенства на						х и выразим у :
								х
дF(x, y) дF(x, y)				y	( x,		y) ( x, y) y		0 ,
	дx	дy		х				х
	дF(x, y)				y		дF(x, y) ( x, y) ,
	дF(x, y)	( x, y)			y		дF(x, y) ( x, y) ,
	дy				х		дx
		y	дF(x, y)			( x, y)
				дx		( x, y)		.
				дF(x, y)				.
		х		дF(x, y)		( x, y)
				дy		( x, y)

174

		дF
Переходя к пределу при x 0, получим	y	дx	. ■
	x	дF
		дy

Следует заметить, что в данном случае производная yx , опреде-

ляемая формулой (17.2),

представляет собой

производную

функции одной переменной y y(x), заданной неявно.

Пример 17.1. Найти производную функции y,

заданной уравне-

нием х2 у2

1 0 .

Решение.

х2 у2 1 0 задает две непрерывные

Заметим,

что уравнение

функции

y 1 x2 и

y 1 x2 ,

поэтому непосредственное

вычисление производной не может быть выполнено.

Воспользуемся формулой (17.2). Так как

дF

2x,

дF

2 y то

дx

дy

2 y

Ответ:

Теорема 17.2*. Пусть функция F(x, y) непрерывна в окрестности точки M0 (x0 , y0 ) и имеет в ней непрерывные частные производные, причем Fy (x0 , y0 ) 0 , а F(x0 , y0 ) 0 . Тогда существует окрестность, содержащая точку M0 (x0 , y0 ) , в которой уравнение F(x, y) 0 определяет однозначную функцию у f (x) .

Пусть функция z от переменных x и y задается уравнением

F(x, y, z) 0.

Найдем частные производные ддxz и ддyz . Считая переменную y

175

постоянной и используя формулу (17.2), получим частную произ-

	дz	дF		дz	дF
водную		дx	. Аналогично можно получить		ду	. Заме-
	дx			ду	дF
		дF
		дz			дz
тим, что при		получении формул использовано		предположение

ддFz 0.

Пример 17.2. Найти частные производные функции z , заданной уравнением x2 y2 z2 7 y4 8xz3 z4 10.

Решение.

Преобразуем исходное уравнение к виду F(x, y, z) 0 и найдем

частные производные

дF

дy

дx

дz

x2 y2 z2 7 y4 8xz3 z4 10 0,

дF 2xy2z2

8z3

дx

дF

2x2 yz2

28y3,

дy

дF 2x2 y2 z 24xz2

4z3.

дz

дF

дz

дF

и дz

Воспользуемся формулами

дx

ду

. Получаем

дx

дF

ду

дF

дz

2xy2 z2 8z3

xy2 z 4z2

дx

2x2 y2 z 24xz2 4z3

x2 y2 12xz 2z2

176

дz

2x2 yz2 28y3

x2 yz

2 14y3

дy

2x2 y2 z 24xz2 4z3

x2 y2 z 12xz2 2z3

Ответ:

дz

xy2 z 4z2

дz

x2 yz2 14 y3

дx

x2 y2 12xz

2z2

дy

x2 y2 z 12xz2

2z3

Вопросы для самоконтроля

1.Каким образом можно найти производную функции одной переменной заданнойнеявно без использования частных производных?

2.Каким образом можно найти производную функции одной переменной заданнойнеявно сиспользованием частныхпроизводных?

3.В каком случае функция одной переменной заданная неявно определяетсяоднозначно?

4.Как вычисляются частные производные функции z двух переменных, если функциязадается неявно уравнением F(x, y, z) 0 ?

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

17.1. Найти дz

дz

в точке (3; 2; 1)

если

xy xz2

0 .

дy

дx

Ответ:

дz

1 .

дx

(3; 2;1)

дy

(3; 2;1)

Найти дz и дz , если:

дx

дy

17.2.

z ln(x z) xy

yz(x z) z3

Ответ:

дz

xz(x z)

дx

z3 2xy(x z)

дy

z3 2xy(x z)

17.3.

yz arctg(xz).

Ответ:

дz

z(1 x2 z2 )

дx

y(1 x2 z

2 ) x

дy

y(1 x2 z2 ) x

177

17.4с. z3 4xz y2 4 0.
Ответ: дz					4z	,	дz	2 y	.
Ответ: дz				4x 3z2		,	дy	4x 3z2	.
		дx		4x 3z2			дy	4x 3z2
	z
17.5с. xz e	y	x3	y3		0.

Ответ: ддxz y(zz 3x2 ) , e y xy

					z
дz	3y4		ze		y	.
дy			z			.
дy			z
	y		y	xy
	y	e		xy

18. ПРОИЗВОДНАЯ ФНП ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Рассмотрим в области D непрерывную функцию u f (x, y, z) , имеющую непрерывные частные производные по всем своим пере-

менным. Проведем из некоторой точки М(x, y, z) данной области век-
тор s		(cos , cos , cos ) . По направлению вектора s на расстоянии
s	отего начала, рассмотрим точку M1(x x, y y, z z) , рис. 18.1
		z
			z	M1

			M	s
			M	y
			x	y
			x		y
		O			y
		O

Рис. 18.1

178

Таким образом, s x2 y2			z2 .
Рассмотрим полное приращение функции u :
	u дu x	дu	y дu z
	дx	дy		дz
1( x, y, z) x 2 ( x, y, z) y 3 ( x, y, z) z ,					(18.1)
где 1( x, y, z) ,	2 ( x, y, z) ,			3 ( x, y, z) – БМФ	при
s 0 .

Разделим обе части равенства (18.1) на s :

	u	дu			x	дu	y	дu		z
	s	дx			s	дy	s	дz		s
	( x, y, z) x		2	( x,		y, z) y			3	( x, y, z) z .	(18.2)
1	s		2				s		3	s
	s						s			s
Очевидно, что
	x cos ,					y cos ,			z cos .
	s					s			s
Следовательно, равенство (18.2) можно переписать в виде:
	u дu cos дu cos							дu cos
	s	дx				дy		дz
1( x, y, z)cos 2 ( x, y, z)cos 3 ( x, y, z)cos ,											(18.3)

где 1( x, y, z) , 2 ( x, y, z) , 3 ( x, y, z) – бесконечно ма-

лые функции при s 0 .

179

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2318 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20258.23 Mб0Введение в инженерно-педагогическое образование.pdf
#
24.11.202514.47 Mб0Введение в инженерное образование.pdf
#
24.11.20252.39 Mб3Введение в испанский язык.pdf
#
24.11.20252.17 Mб1Введение в квантовую физику.pdf
#
24.11.20251.41 Mб0Введение в лабораторный практикум по физике.pdf
#
24.11.20257.09 Mб0Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.pdf
#
24.11.20253.96 Mб0Введение в мехатронику.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Введение в образование по специальности.pdf
#
24.11.20251.08 Mб0Введение в специальность.pdf
#
24.11.20251.41 Mб0Великая Отечественная война советского народа (в контексте Второй мировой войны).pdf
#
24.11.20253.08 Mб0Вероятностно-статистические методы оценки качества в машиностроении.pdf