Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

x

13.10с. Показать, что функция z e y удовлетворяет уравнению

y д2 z дz дz .

дxдy дy дx

14. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФНП

Определение 14.1. Функция z f (x, y) называется дифференцируемой в точке М0 (х0 , у0 ), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где ( x, y) и ( x, y) – бесконечно малые функции при

x 0, y 0 и A2 B2 0.

160

Доказательство.

Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке М0 (х0 , у0 ),

то из формулы (14.1) следует, что lim z 0 или

x 0y 0

lim ( f (x, y) f (x0 , y0 )) 0,

x x0 y y0

откуда lim f (x, y) f (x0 , y0 ), что и означает непрерывность

x x0 y y0

функции в точке. ■

Теорема 14.2 (необходимые условия дифференцируемости).

Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке М0 (х0 , у0 ), то она имеет в этой точке частные производные fx (x0 , y0 ) и

М0 (х0 , у0 ), то ее приращение в этой точке представимо в виде (14.1). Полагая у 0, получим

хz A x ( x, 0) xp,

где ( x, 0) – бесконечно малая функция при х 0 .

Разделив полученное выражение на х и перейдя к пределу прих 0, получим

lim x z lim A ( x, 0) A .

x 0 x x 0

С другой стороны, по определению частной производной,

161

lim xxz fx (x0 , y0 ).

x 0

Следовательно, в точке М0 (х0 , у0 ) существует fx (x0 , y0 ) A. Аналогично доказывается, что в точке М0 (х0 , у0 ) существует

fy (x0 , y0 ) B . ■

Замечание 14.1. Обратные утверждения к теоремам 14.1 и 14.2 не верны, т. е. из непрерывности ФНП в точке М0 (х0 , у0 ) и суще-

ствования частных производных не следует дифференцируемость. Пример 14.1. Функция

непрерывна на всей плоскости, на всей плоскости имеет частные производные, однако формула (14.1) не имеет места для данной функции в точке (0; 0).

Теорема 14.3* (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция z f (x, y) имеет частные производные в некоторой r- окрестности точки М0 (х0 , у0 ) , непрерывные в самой точке М0 (х0 , у0 ), то функция дифференцируема в этой точке.

Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично.

Определение 14.2. Функция нескольких переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется диф-

ференцируемой на этом множестве.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулируйте определение дифференцируемости функции z f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ).

162

2.Какие условия являются необходимыми для дифференцируемости функции в точке?

3.Какие условия являются достаточными для дифференцируемости функции в точке?

4.Сформулируйте определение дифференцируемости функции

u f (x, y, z) в точке M0 (x0 , y0, z0 ).

5. Как связаны непрерывность и дифференцируемость ФНП в точке?

15.ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФНП

ИЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

Определение 15.1. Полным дифференциалом dz дифференциру-

емой в точке М0 (х0 , у0 ) функции z f (x, y) называется главная, линейная относительно приращений х и у , часть полного приращения этой функции в точке М0 (х0 , у0 ) , т. е.

dz M0 fx (x0 , y0 ) x f y (x0 , y0 ) y.

Напомним (см. раздел 2), что для независимых переменных x и y их любые приращения х и у считают дифференциалами:

Тогда полный дифференциал функции z f (x, y) можно записать в виде

Полный дифференциал имеет широкое применение в приближенных вычислениях. Если рассмотреть функцию z f (x, y) , диф-

ференцируемую в точке М0 (х0 , у0 ) , то

z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ),

откуда

f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) z.

163

Так как z dz, то, используя представление dz по формуле

(15.1), получим

приближенная формула, верная с точностью до бесконечно малых более высоких порядков относительно х и у.

Пример 15.1. Вычислить приближенно e(1,1)2 (0,9)2 .

Решение.

Рассмотрим функцию z ex2 y2. Искомое число можно считать приращенным значением функции в точке M0 (1; 1) при x 0,1,

y 0,1.

Согласно формуле (15.2): e(1,1)2 (0,9)2 f (1;1) dz (1;1) .

Поскольку f (1;1) e1 1 e0 1,

dz 2xex2 y2 dx 2 yex2 y2 dy 2ex2 y2 (xdx ydy),

Ответ: e(1,1)2 (0,9)2 1,4.

С помощью полного дифференциала функции можно также выяснить, как отражаются на значении функции погрешности ее аргументов.

Пример 15.2. Определить предельную абсолютную погрешность*z функции z f (x, y), зная предельные абсолютные погрешности

Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим

164

откуда можно получить оценку:

Следовательно, за предельную абсолютную погрешность функции z f (x, y) можно принять

Используя (15.3), можно также определить относительную по-

грешность функции *

z zz .

Определение 15.2. Полным дифференциалом второго порядка

функции z f (x, y) называется полный дифференциал от ее полно-

го дифференциала.

По определению, получим

d 2 z d(dz) d fxdx fydy fxxdx2 2 fxydxdy fyydy2 .

Вопросы для самоконтроля

1. Что называют полным дифференциалом функции z f (x, y) ? 2. Каким образом дифференциал функции z f (x, y) может

быть использован при вычислении приближенного значения функции в точке?

3. Как определяется предельная абсолютная погрешность функции двух переменных?

165

4.Как можно определить относительную погрешность функции двух переменных?

5.Что называют полным дифференциалом второго порядка

функции z f (x, y)?

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

Найти дифференциал функции:

15.3. Найти полный дифференциал функции z arctg xy при x 2, y 3, dx 0,1, dy 0,2.

Ответ: 1307 .

Найти дифференциалы первого и второго порядка функции:

166

Найти дифференциалы первого и второго порядка функции:

167

16. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Предположим, что в формуле

переменные u и v являются непрерывными функциями независимых переменных x и y :

u (x, y) и v (x, y). (16.2)

В этом случае функция z F(u, v) является сложной функцией аргументов x и y.

Предположим, что функции F(u, v) , (x, y) , (x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Вы-

числим частные производные дхдz и ддyz , исходя из формул (16.1)

и (16.2) и не используя непосредственное представление функции z через x и y .

Придадим аргументу x приращение х , сохраняя значение y неизменным. Тогда, в силу (16.2), u и v получат приращения xu и xv , но тогда и функция z F(u, v) получит следующее приращение:

x z ддFu xu ддFv xv ( x, 0) xu ( x, 0) xv,

где ( x, 0) и ( x, 0) – бесконечно малые функции при x 0 . Разделим обе части формулы на х:

xv 0 .

168

169