Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Заметим, что предельной точкой области определения называет-

ся точка, для которой функция определена как и в ней самой, так и в некоторой ее окрестности.

Определение 11.5. Функция z f (x, y) называется непрерывной в области D, если функция непрерывна в каждой точке рассматриваемойобласти, т. е. еслидлякаждойточки (x, y) областивыполнено:

lim f (x, y) lim ( f (x x, y y) f (x, y)) 0.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Представьте в общем виде окрестность точки M0 (3; 2).

2. Дайте определение предела функции z f (x, y) в точке

М0(х0, у0).

3.Приведите примеры функций двух переменных, для которых повторные пределы различны; совпадают.

4.Дайте определение непрерывности функции z f (x, y) в точ-

ке М0 (х0 , у0 ).

5.В чем состоит различие в определении существования предела функции и в определении непрерывности функции в точке?

6.Найдите полное и частное приращения функции

f (x, y) x2 2x 4 y2 8y,

если x изменяется от 3 до 4, y изменяется от 2 до 1. Выполнено ли равенство f (x, y) x f (x, y) y f (x, y)?

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

150

Найти точки разрыва функции двух переменных:

151

12. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение 12.1. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отноше-

ния соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении приращения переменной к нулю (если этот предел существует).

Согласно формулам (12.1) и (12.2), если для функции z f (x, y)

вычисляется производная ддxz , то переменная y считается постоян-

ной; если же вычисляется производная ддyz , то переменная x счита-

ется постоянной. Следовательно, частное дифференцирование не требует никаких новых правил, и можно пользоваться известными формулами.

152

Пример 12.2. Найти частные производные функции u x6 y4 3z5 xyz.

Геометрический смысл частных производных: геометрическим

тельным направлением оси Ох.

Рис. 12.1

Так как ддxz dxdz y const , на основании геометрического смысла производной функции одной переменной, имеем ддxz tg .

Аналогичный смысл имеет и ддyz .

153

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Дайте определение частной производной ФНП.

2.В чем состоит геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

3. Приведите пример z f (x, y), для которой tg tg 1.

Задания для решения в аудитории самостоятельной работы

Найти частные производные 1-го порядка ФНП:

ддyz 3x2 sin(x 3y).

154

13. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Рассмотрим функцию z f (x, y). Если данная функция имеет

в некоторой открытой области D частную производную по одной из переменных, то данная производная, сама являясь функцией от x и y,

может в свою очередь в некоторой точке (x0 , y0 ) иметь частную производную по той же или другой переменной. Для исходной функции

частные производные ддxz и ддyz называют частными производными

155

первого порядка. Тогда, если первая производная была взята, например, по x , еепроизводные

производными второго порядка.

Аналогичным образом определяются частные производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

Частная производная высшего порядка, взятая по различным пе-

частной производной.

Пример 13.1. Найти все частные производные второго порядка функции z x3 sin y y4.

Решение.

156

Пример 13.2. Найти все частные производные второго порядка функции z arctg xy .

Решение.

Заметим, что равенство смешанных производных не вытекает из самого определения смешанных производных. Существуют случаи, когда такого совпадения не наблюдается.

Теорема 13.1*. Пусть:

1)функция z f (x, y) определена в открытой области D ;

2)в этой области существуют первые производные fx (x, y)

иfу(x, y);

3)в этой области существуют вторые смешанные производ-

ные fxу(x, y) и fуx (x, y) , которые, как функции х и у, непрерывны

157

2. Сколько частных производных второго (третьего) порядка имеет функция u f (x, y, z)?

3. В каком случае смешанные производные второго порядка функции z f (x, y) равны?

4. Проверьте, что для функции

смешанных производных

fxy (0; 0) f yx (0; 0) .

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

Найти частные производные 2-го порядка ФНП:

13.1. z x4 5x2 y 2 y3.

158

159