Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

мумов нет; O(0;0) – точка перегиба, график выпуклый на

( ; 1) (0;1), вогнутый на ( 1; 0) (1; ).

9.30.с Провести полное исследование функции y x 2arctg x и по-

строитьграфик.

Ответ: D(y) ( ; ); y x – асимптоты;

O(0; 0) – точка перегиба.

140

РАЗДЕЛ 3 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

10. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Во многих вопросах естествознания приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных.

Пример 10.1. Площадь прямоугольного треугольника с катетами

Пример 10.2. Объем прямоугольного параллелепипеда с измере-

k– некоторая константа, так называемая «постоянная тяготения». Определение 10.1. Если каждой упорядоченной совокупности

значений переменных х1, х2 , ..., хп соответствует определенное

Замечание 10.1. Всякая функция от нескольких переменных (ФНП) становится функцией от меньшего числа переменных, если часть переменныхзафиксировать, т. е. придатьим постоянные значения.

Как и в случае одной независимой переменной ФНП существует, вообще говоря, не для любых значений х1, х2 , ..., хп .

Определение 10.2. Совокупность наборов (х1, х2 , ..., хп) (то-

чек n ) при которых определяется функция z f (x1, x2 , ..., xn )

называется областью определения или областью существования

этой функции.

141

Область определения функции двух переменных представляет собой некоторое множество точек плоскости и наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений x и y изображать точкой

М(x, y) в плоскости Oxy, то область определения функции будет

представлять собой некоторую совокупность точек на плоскости. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. На практике изучаются случаи областей, представляющих часть плоскости, ограниченную линией. Линия, ограничивающая данную область, называется границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точкамиобласти.

1 x2 y2 0 или x2 y2 1, т. е. представляет собой единичный

круг с центром в начале координат.

Определение 10.3. Геометрическим изображением или графиком функции двух переменных z f (x, y) называется множество

точек пространства (х, у, f (x, y)), определяющее, вообще говоря, поверхность в системе координат Oxyz.

Геометрические изображения функций трех и большего числа переменных не имеют простого геометрического смысла.

Определение 10.4. Линией уровня функции z f (x, y) называется множество точек плоскости Oxy, для которых данная функция

имеет одно и то же значение (изокривая).

Таким образом, уравнение линии уровня имеет вид f (x, y) C,

где C – некоторая постоянная.

Пример 10.5. Построить семейство линий уровня функции z x2 y2 .

Решение.

Придавая z неотрицательные значения z 0, 1, 2, ..., получим следующие уравнения линий уровня функции:

142

Таким образом, линии уровня данной функции представляют собой семейство концентрических окружностей с центром в точке O(0; 0). Построив эти линии, получим «карту поверхности» для

данной функции с отмеченными высотами (рис. 10.1).

На рисунке видно, что функция z растет вдоль каждого радиального направления. Поэтому в системе координат Oxyz геомет-

рический образ функции представляет собой гигантскую «яму» с круто растущими краями. Геометрически – это параболоид вращения (рис. 10.2).

у z

O x

x

Определение 10.5. Поверхностью уровня функции u f (x, y, z)

называется множество точек пространства 3 , для которых данная функция имеет одно и то же значение (изоповерхность).

Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физических вопросах. Например, соединив на карте поверхности Земли точки с одинаковой среднесуточной температурой или давлением, получим изотермы и изобары, являющиеся важными исходными данными для прогноза погоды. Параллели и меридианы на глобусе – это линии уровня функций широты и долготы.

143

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Что представляет собой область определения функции z f (x1, x2 , ..., xn ) ?

3.Приведите пример функции двух переменных, определенной: на всей числовой плоскости; только в первой четверти; только в одной точке.

4.Какую линию называют линией уровня функции z f (x, y) ?

5. Постройте семейство линий уровня функции z x2 2x y2 2y 2.

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

Найти область определения ФНП и сделать чертеж:

Найти линии уровня функции и сделать чертеж:

144

Найти область определения ФНП и сделать чертеж:

т. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r

сцентром в точке М0 (х0 , у0 ).

Вдальнейшем, говоря, что функция z обладает каким-либо

свойством «вблизи точки (х0 , у0 ) » или «в окрестности точки», под

этим будем подразумевать, что найдется такой круг с центром (х0 , у0 ), во всех точках которого данная функция обладает указан-

ным свойством.

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой области D плоскости Oxy. Рассмотрим некоторую определенную точку М0 (х0 , у0 ), лежащую в области D или на ее границе.

145

Ответ: 0.

Вычисление пределов функций двух переменных, как правило, оказывается более трудной задачей по сравнению со случаем функций одной переменной. Причина состоит в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке – а именно, справа и слева. На плоскости же таких направлений бесконечное множество и пределы функций по разным направлениям могутне совпадать.

146

Таким образом, значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но, так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки (х, у) к точке (0; 0), то рассматрива-

емый предел не существует. Ответ: предел не существует.

Замечание 11.1. Для функции n переменных ( n 1 ) можно рассматривать n!, так называемых повторных пределов. В частности, в случае функции двух переменных z f (x, y) можно рассматривать

Вывод. Так как повторные пределы конечны, но имеют различные значения, то при вычислении повторных пределов порядок следования предельных переходов поразным значениям влияетнарезультат.

147

Определение 11.3. Функция z f (x, y) называется непрерывной

вточке (x0 , y0 ), если она:

1)определена в точке (x0 , y0 );

2)имеет конечный предел при x x0 , y y0 ;

3) предел равен значению функции в точке, т. е.

lim f (x, y) f (x0 , y0 ).

x x0 y y0

Нарушение любого или нескольких из условий определения дает точку разрыва функции.

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что график функции в точке (x0 , y0 ) представляет собой сплошную не рассла-

ивающуюся поверхность.

Пусть переменной x дано приращение х, а переменная y оставлена неизменной. Тогда разность

В случае, когда обе переменные x и y получают соответствующие приращения x и y, приращение функции

называется полным приращением функции z f (x, y).

148

Естественно, при определении данных понятий рассматриваются лишь такие точки (x, y), (x x, y), (x, y y) и (x x, y y),

для которых функция z f (x, y) определена.

Из формул (11.1), (11.2) и (11.3) следует, что

f (x, y) x f (x, y) y f (x, y).

Пример 11.4. Найти полное и частные приращения функции f (x, y) x2 xy 2y2 , если x изменяется от 2 до 2,2, y изменяется от 1 до 0,9.

f (x, y) x f (x, y) y f (x, y).

в предельной точке (x0 , y0 ) из области определения функции, если

149