Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Необходимость.

Если y kx b – наклонная асимптота графика функции y f (x) при x , то, используя представление функции по формуле (9.1), получим:

Достаточность.

Пусть существуют пределы (9.2). Тогда из второго равенства следует, что

f (x) kx b (x), где (x) 0 при x .

Полученное равенство легко преобразовать к виду (9.1), т. е. прямая y kx b – наклонная асимптота графика функции

y f (x) при x . ■

9.6. Схема исследования функции и построения ее графика

Рассмотрим примерный план, по которому целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график:

1.Найтиобласть определенияфункции.

2.Проверить выполнение свойств четности или нечетности, периодичности.

3.Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их тип, проверитьналичие асимптот.

4.Найтипромежуткимонотонностииточкиэкстремума.

5.Найтипромежуткивыпуклостии вогнутости, точки перегиба.

6.Найтиточки пересеченияграфикафункции сосями координат.

7.Построитьграфикфункции.

Замечание 9.5. Если исследуемая функция y f (x) четная, то

достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области опреде-

130

ления функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Замечание 9.6. Если исследуемая функция y f (x) нечетная, то

достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Решение.

1.D( y) ( ;1) (1; ).

2.Так как область определения функции несимметрична относительно начала координат, то эта функция общего вида, т. е. функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

3.Функция непрерывна на области определения как элементар-

ная. Точкой разрыва является x 1. Так как

то x 1 – точкаразрывавторого рода. Можно также сделатьзаключение, чтопрямая x 1 будетявляться вертикальной асимптотойграфика функции.

Проверим наличие горизонтальных асимптот. Так как

то данная функция не имеет горизонтальных асимптот. Проверим наличие наклонных асимптот. Так как

131

то график функции имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом k 1 и свободным членом b 2, т. е. y x 2.

4. Определим промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем критические точкипервогорода:

рода. Изменение знака первой производной покажем на числовой оси (рис. 9.4).

ция убывает на указанном промежутке. При переходе через точку

132

x2 3 производная y изменяет знак с «–» на «+», следовательно, в

этой точке функция имеет минимум, причем ymin y(3) 274 6,75.

5. Определим промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба. Для этого найдем критические точки второго рода:

решение x1 0 – критическая точка второго рода. Изменение знака второй производной покажем на числовой оси (рис. 9.5).

Рис. 9.5

Так как y 0 при x ( ; 0), то график функции будет выпуклым на данном промежутке; так как y 0 при x (0;1) (1; ), то

график функции будет вогнутым на указанных промежутках. При переходе через точку x1 0 выпуклость графика функции сменяет-

ся вогнутостью, следовательно, это абсцисса точки перегиба, тогда ордината y(0) 0. Таким образом, (0; 0) – точка перегиба графика

функции.

133

6. Найдемточки пересеченияграфикафункциисосями координат.

Таким образом, единственной точкой пересечения графика функции с осями координат является начало системы координат

O(0; 0).

7. Построим график функции на рис. 9.6.

у

Ох

Рис. 9.6

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Какой знак будет иметь производная функции внутри отрезка, если функция возрастает(убывает) наэтомотрезке?

2.Приведите пример функции, имеющей в некоторой точке минимум (максимум), хотя производной функции в этой точке не существует.

134

3.В каком случае можно сделать определенный вывод о наличии и характере экстремума функции в точке на основании значения ее второй производнойвэтой точке?

4.В каком случае график функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале?

5.По знаку производной какого порядка можно сделать вывод о характеревыпуклостиграфикафункции наинтервале?

6.Какаяточка является точкойперегиба графикафункции?

7. Приведите пример, иллюстрирующий то, что равенство f (x0 ) 0, является только необходимым условием перегиба графика

функциив точке (x0 , f (x0 )).

8.Какуюпрямуюназывают асимптотой графикафункции?

9.Какиеасимптоты будет иметьграфикфункции y xx 11 ?

10.Выполнением каких условий определяется существование наклоннойасимптотыграфикафункции?

11. Убедитесь, что и в случае наклонной асимптоты d 0 при x (x ).

12.Какой примерный план исследования функции и построения ее графикаможно использоватьв решении задач?

13.Какой план поиска наибольшего и наименьшего значений функциинаотрезке следуетиспользовать в решениизадач?

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

9.1. Найти интервалы монотонности функции y 13 x3 12 x2 2x 1.

Ответ: функция возрастает на ( ; 2) (1; ), убывает на ( 2; 1).

9.2. Найти интервалы монотонности функции y lnxx .

Ответ: функцияубываетна(0;1) (1; e), возрастаетна (e; ).

135

9.3.Исследовать на экстремум функцию y x ln(1 x).

Ответ: ymin y(0) 0.

9.4.Исследовать на экстремум функцию y e3 6x x2 .

9.7.Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графика функции y (x 2)6 2x 2.

Ответ: точек перегиба нет, график вогнутый.

9.8.Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графика функции y x 36x2 2x3 x4.

Ответ: точки перегиба – ( 3; 294) и (2;114); график вы-

пуклый на ( ; 3) (2; ), вогнутый на ( 3; 2).

9.9. Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графика функции y ln(1 x2 ).

Ответ: точки перегиба – ( 1; ln 2) и (1; ln 2); график выпуклый на ( ; 1) (1; ), вогнутый на ( 1;1).

9.10. Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпукло-

136

137

перегиба нет, график вогнутый на D( y) .

9.18.с Найти интервалы монотонности функции y x3 3x2 9x 7.

y 2x3 3x2 12x 1 на отрезке [ 1; 5].

138

Ответ: yнаиб. y(5) 266, yнаим. y(1) 6.

9.24.с Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпукло-

( ; 2) (2; ) , выпуклый на ( 2; 2).

9.25.с Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графика функции y arctg x x .

9.29.с Провести полное исследование функции y x2x 1 и постро-

тальная асимптота; убывает на всей области определения, экстре-

139