Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

120

9.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

СПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

9.1. Монотонность функции

121

но, функция y f (x) убывает. ■

Замечание 9.1. Утверждение теоремы сохраняет силу и в том

f (x) 0 в конечном числе точек внутри отрезка [a, b] , т. е. вышесказанное условие не является необходимым.

Пример 9.1. Рассмотрим функцию y x3 на отрезке [ 1;1] . Хотя y (0) 0 , функция возрастает на отрезке [ 1;1] .

9.2. Достаточные условия экстремума

Теорема 9.2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция y f (x) дифференцируема в некоторой проколотой

при x x0 , то в точке x0 функция имеет локальный минимум.

Доказательство следует из теоремы 9.1.

Теорема 9.3 (второе достаточное условие экстремума). Если в критической точке х0 функции y f (x) существует f (x0 ) 0 , а

f (x0 ) 0 , то при f (x0 ) 0 функция имеет локальный максимум, при f (x0 ) 0 – локальный минимум.

122

функция имеет локальный максимум.

Случай f (x0 ) 0 рассматривается аналогично. ■

Замечание 9.2. Так как теорема формулирует только достаточное условие, то при f (x0 ) 0 , функция может как иметь, так и не

иметь экстремум.

Пример 9.2. Функция y x4 имеет в точке x0 0 минимум, при

9.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда на

этом отрезке функция достигает наибольшего и наименьшего значений, теорема 4.3 Вейерштрасса (раздел 1). Будем предполагать, что на данном отрезке функция y f (x) имеет конечное число

критических точек. Если наибольшее и наименьшее значения достигаются внутри отрезка [a, b], то очевидно, что эти значения бу-

дут наибольшим максимумом и наименьшим минимумом функции (если имеется несколько экстремумов). Однако может наблюдаться такая ситуация, что наибольшее или наименьшее значения будут достигаться на одном из концов отрезка (рис. 9.1).

123

y

Рис. 9.1

Таким образом, неприрывная функция y f (x) на отрезке до-

стигает своего наибольшего и наименьшего значений либо на концах этого отрезка, либо в таких точках этого отрезка, которые являются точками экстремума.

Исходя из вышесказанного, можно предложить следующий алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y f (x) на отрезке [a, b]:

1. Найти все критические точки. Если критическая точка x0 [a, b] , то нужно вычислить в ней значение функции y0 f (x0 ).

Если критическая точка x1 [a, b] , то в дальнейшем решении эта точка во внимание не принимается.

2.Вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. найти y f (a) и y f (b) .

3.Из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее и наименьшее, они и будут представлять собой наибольшее и наименьшеезначенияфункции y f (x) наотрезке [a, b] .

Пример 9.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

yx3 3x 1 на отрезке [ 3; 3].

Решение.

Так как функция y x3 3x 1 непрерывна на отрезке [ 3; 3], то задача имеет решение.

124

1. Найдем критические точки функции. y (x3 3x 1) 3x2 3;

9.4. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба

Пусть функция y f (x) задана на интервале (a, b) , непрерывна

на этом интервале и в каждой точке графика этой функции существует единственная касательная.

Определение 9.1. График функции y f (x) называется выпуклым или выпуклым вверх на интервале (a, b) , если он расположен ниже любой своей касательной, т. е. y dy 0 (рис. 9.2); график функции y f (x) называется вогнутым или выпуклым вниз на интервале (a, b) , если он расположен выше любой своей касательной,

т. е. y dy 0 (рис. 9.3).

125

Определение 9.2. Точки графика функции, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называются точками перегиба графика.

x (a,b) , то на этом интервале график функции вогнутый; если f (x) 0 для x (a,b) , то на этом интервале график функции выпуклый.

x 0, и на отрезке [x0 x, x0 ] , если x 0. Согласно теореме 7.4 (Лагранжа):

y f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x) x, 0 1.

Поэтому y dy f (x0 x) x f (x0 ) x

126

Тогда, при f (x) 0 : y dy 0 , следовательно на этом отрезке график функции будет вогнутый; при f (x) 0 : y dy 0 , следовательно на этом отрезке график функции будет выпуклый. ■

Теорема 9.5 (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции y f (x) имеет перегиб в точке (x0 , f (x0 ))

и пусть функция y f (x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную. Тогда f (x0 ) 0.

Доказательство.

Пусть x 0 – абсцисса точки перегиба графика функции y f (x) . Для определенности будем считать, что выпуклость сменяется во-

в точке x 0 существует, то f (x0 ) 0. ■

Определение 9.3. Точка x0 из области определения функции y f (x) называется критической (стационарной) точкой второго рода, если вторая производная функции в этой точке обращается

Теорема 9.6 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y f (x) определена и дважды дифференцируема в неко-

торой окрестности точки x0 . Тогда если в пределах указанной

127

что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x0 является различным. Это и означает наличие перегиба

в точке (x0 , f (x0 )) . ■

Замечание 9.4. Теорема остается верной, если функция y f (x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0 и существует касательная к графику функции в точке (x0 , f (x0 )) . Тогда если в пределах указанной окрестности f (x) имеет разные знаки справа и слева от точки x0 , то график функции y f (x) имеет пере-

гиб в точке (x0 , f (x0 )) .

Пример 9.5. Точка (0; 0) является точкой перегиба графика функции y 3 x, хотя вторая производная функции при x 0 не

существует. Касательная к графику функции y 3 x в точке (0; 0) совпадает с осью Oy.

9.5. Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при x и при x или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к некоторой прямой.

Определение 9.4. Прямая l называется асимптотой графика функции y f (x) , если расстояние d от переменной точки графи-

ка функции (x, f (x)) до прямой l стремится к нулю при удалении точки (x, f (x)) от начала системы координат.

Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

В этом случае расстояние от точки графика функции (x, f (x))

следовательно, d 0 при x x0 .

128

Доказательство. Рассмотрим случай x .

129