Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных
.pdfГеометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя
бы одна точка c, такая, что касательная к графику функции y f (x) в точке (c, f (c)) параллельна оси Ох.
Теорема 7.3 (Коши). Пусть заданы функции y f (x) и
yg(x) , и пусть:
1)они определены и непрерывны на отрезке [a, b];
2)дифференцируемы для x (a, b);
3)g (x) 0, x (a, b).
Тогда найдется точка c (a, b) такая, что
f (b) f (a) |
|
f |
|
|
|
(c) |
. |
||
g(b) g(a) |
|
|
||
|
g (c) |
|||
Доказательство.
Очевидно, что g(b) g(a), так как в противном случае функция y g(x) удовлетворяла бы теореме Ролля и нашлась бы точка c
(a c b) |
такая, |
что |
|
|
|
а это |
противоречит |
условию |
|||
g (c) 0, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (c) 0 на интервале (a, b). |
|
|
|
||||||||
Введем вспомогательную функцию |
|
|
|||||||||
|
F(x) f (x) f (a) |
f (b) f (a) |
(g(x) g(a)) . |
|
|||||||
|
g(b) g(a) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция y F(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) определена и непрерывна на [a, b] ; |
|
|
|||||||||
|
|
f (b) f (a) |
|
|
|
|
|||||
2) F (x) f |
(x) |
|
|
g (x) , т. е. существует наинтервале (a, b); |
|||||||
g(b) g(a) |
|||||||||||
3) F(a) F(b) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
по |
теореме |
Ролля, |
для функции |
y F(x) |
||||||
найдется точка c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(a c b) такая, что F (c) 0 . Тогда |
|
||||||||||
110
|
|
|
f (b) f (a) |
|
||||
|
f (c) |
|
|
g (c) 0, |
||||
|
g(b) g(a) |
|||||||
откуда |
|
f (b) f (a) |
|
f |
(c) |
|
||
|
|
|
. ■ |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
g(b) g(a) |
g (c) |
|||||
Теорема 7.4 |
(Лагранжа о среднем). Пусть функция y f (x) |
|||||||
непрерывна на |
отрезке |
[a, b] , дифференцируема на интервале |
||||||
(a, b) . Тогда найдется точка c (a, b) такая, что
f (b) f (a) f (c) b a
или
f (b) f (a) f |
|
(7.1) |
(c)(b a) . |
Доказательство.
Рассмотрим наряду с функцией y f (x) функцию y g(x) x . Обе функции удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда
f (b) f (a) |
|
f (c) |
. |
|
b a |
1 |
|||
|
|
Из последнего равенства легко получается формула (7.1). ■ Замечание7.3. ФормулаЛагранжа (7.1) часто записывается в виде
f (b) f (a) f |
|
0 1, |
(7.2) |
(a (b a))(b a), |
где – некоторое число, при котором c a (b a). Если в (7.2) принять a x0 , b x0 x , то
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x) x, 0 1.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем.
При выполнении условий теоремы на интервале (a, b) найдется точка c такая, что касательная к графику функции y f (x) в точке
111
(c, |
f (c)) будет параллельна |
секущей, проходящей через |
точки |
||
(a, f (a)) и (b, f (b)) . |
|
|
|
|
|
|
Следствие 7.1. Пусть функция y f (x) |
непрерывна |
на |
отрезке |
|
[a, |
b], дифференцируема на |
интервале |
(a, b) . Если |
|
|
f (x) 0, |
|||||
x (a, b) , то функция y f (x) C const |
на [a, b]. |
|
|
||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
Пусть x0 – любая фиксированная точка из интервала (a, b), x – |
||||
любая точка из (a, b) . К отрезку [x0 , x] |
применим теорему Лагран- |
|||||
жа |
для |
функции |
y f (x) : |
|
|
|
f (x) f (x0 ) f (c)(x x0 ) . Так как |
||||||
|
|
то f (x) f (x0 ) |
для |
x (a, b). Следовательно |
||
f (c) 0, |
||||||
y f (x) C const |
на [a, b] . ■ |
|
|
|
||
|
Следствие 7.2. Пусть функции y f (x) и y g(x) непрерывны на |
|||||
[a, |
b] , дифференцируемы на (a, b) , f |
|
|
|||
(x) g (x) x (a, b) . Тогда |
||||||
f (x) g(x) C const.
Доказательство.
Так как функция y f (x) g(x) непрерывна и дифференцируема на (a, b) согласно условию, то
|
( f (x) g(x)) |
|
|
|
|
0 . |
|
||
|
|
f (x) |
g (x) |
|
|||||
Согласно следствию 7.1, |
f (x) g(x) C const . ■ |
|
|||||||
Следствие 7.3. Пусть функция |
y f (x) |
непрерывна на отрез- |
|||||||
ке [a, b] , |
дифференцируема |
|
на |
интервале |
(a, b). Тогда |
если |
|||
|
x (a, b), |
то функция |
y f (x) строго монотонно воз- |
||||||
f (x) 0, |
|||||||||
растает на |
(a, b) ; если |
|
|
|
x (a, b) |
– строго монотонно |
|||
f (x) 0 , |
|||||||||
убывает на (a, b). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
x |
(a, b). Рассмотрим |
x1, x2 (a, b) |
такие, |
||||
f (x) 0, |
|||||||||
что x1 x2.
112
По |
теореме |
Лагранжа |
f (x1) f (x2 ) f (c)(x1 x2 ), |
где |
||
c (x1 |
, x2 ). Так как |
f (c) 0, |
x1 x2 0 , то f |
|
Тогда |
|
(c)(x1 x2 ) 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x1) f (x2 ) 0 , откуда f (x1) f (x2 ) при x1 |
x2. Таким образом, |
|||||
при f |
|
|
|
|
|
|
(x) 0 функция строго монотонно возрастает на (a, b). |
|
|||||
|
|
|
|
|
■ |
|
Случай f (x) 0 доказывается аналогично. |
|
|||||
|
Вопросы и задания для самоконтроля |
|
||||
1. Показать, что функция |
f (x) 2x2 |
8x 4 на отрезке |
[1; 3] |
|||
удовлетворяет условиям теоремы Ферма. |
|
|
|
|||
2. Показать, что функция |
f (x) x x3 |
на отрезке [0;1] удовле- |
||||
творяет теореме Ролля.
3. Может ли функция y f (x) , удовлетворяющая теореме Ролля на отрезке [a, b] , иметь нечетное количество точек, в которых
f(x) 0 ?
4.Привести примеры, иллюстрирующие существенность условий теоремы Ролля.
5. Показать, что функции f (x) x2 7 и g(x) 3 x удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [0; 2] . Найти соответствующее значение c (0; 2).
6. Показать, что функция f (x) 5x2 3 удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [0; 2]. Найти соответствующее зна-
чение c (0; 2).
8. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Теорема 8.1. Пусть
1) функции y f (x) и y g(x) определены и непрерывны в про-
колотой окрестности |
|
|
|
|
U (x0 ); |
|
|
||
|
|
|
|
|
2) |
существуют конечные производные |
|
||
f (x) и |
g (x) в U (x0 ); |
|||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
||
g(x) 0, g (x) 0 в U (x0 ); |
|
|
||
113
4) lim |
f (x) lim |
g(x) 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
x x0 |
x x0 |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
f (x) |
|
Тогда если существует |
lim |
, |
то существует lim |
||||||||
g (x) |
g(x) |
||||||||||
|
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|||||
и имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim |
f (x) |
|
lim |
|
f (x) |
. |
|
||
|
|
g (x) |
|
|
|
||||||
|
|
x x0 |
x x0 |
g(x) |
|
||||||
Доказательство.
Доопределим функции y f (x) и y g(x) в точке x0 , полагая
f (x0 ) g(x0 ) 0.
Тогда функции y f (x) и y g(x) непрерывны в точке x0. Используя теорему Коши (теорема 7.3), получим
f (x) |
|
f (x) f (x0 ) |
|
f |
|
|
|
|
(c) |
, |
|||
g(x) |
g(x) g(x0 ) |
|
|
|||
|
|
g (c) |
|
|||
где точка c будет удовлетворять условиям x0 c x или x c x0. Если x x0 , то c x0 , поэтому, согласно условию теоремы,
lim |
f (x) |
|
lim |
f (c) |
|
lim |
f (x) |
. ■ |
|
g (x) |
g (c) |
g(x) |
|||||||
x x0 |
|
x x0 |
|
x x0 |
|
Теорема 8.1 формулирует правило раскрытия неопределенности
типа 00 .
Замечание 8.1. Если производные f (x) и g (x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f (x) и g(x) , то правило Лопиталя можно применять повторно. При этом получаем
lim |
f (x) |
|
lim |
f (x) |
|
lim |
f (x) |
. |
g(x) |
g (x) |
|
||||||
x x0 |
|
x x0 |
|
x x0 |
g (x) |
|||
114
Пример 8.1. Найти предел lim 1 cos x .
x 0 x2
Решение.
lim |
1 cos x |
|
0 |
lim |
(1 cos x) |
lim |
sin x |
|
1 |
lim |
sin x |
|
1 |
1 |
|
1 |
. |
|
x2 |
|
0 |
|
(x2 ) |
2x |
2 |
x |
2 |
2 |
|||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
||||||||
Ответ: 12 .
Пример 8.2. Найти предел lim ln(x 1) .
x 0 x
Решение.
|
ln(x 1) |
|
0 |
|
(ln(x 1)) |
|
1 |
|
||
lim |
lim |
lim |
1 x 1. |
|||||||
x |
|
0 |
|
(x) |
||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
x 0 |
1 |
|
||||
Ответ: 1.
Пример 8.3. Найти предел lim ex e x 2x . x 0 x sin x
Решение.
lim |
ex e x 2x |
|
|
0 |
lim |
(ex e x |
2x) |
lim |
ex e x 2 |
|
0 |
|
|||||
|
x sin x |
|
|
(x sin x) |
|
1 cos x |
|
|
|||||||||
x 0 |
|
|
|
0 |
x 0 |
|
x 0 |
|
0 |
|
|||||||
lim |
(ex e x 2) |
lim ex e x |
lim |
(ex e x ) |
lim ex e x |
2. |
|||||||||||
x 0 |
(1 cos x) |
|
x 0 |
sin x |
x 0 |
|
(sin x) |
x 0 |
cos x |
|
|
||||||
Ответ: 2.
Теорема 8.2*. Пусть
1) функции y f (x) и y g(x) определены и непрерывны в про-
|
|
|
|
|
|
колотой окрестности U (x0 ); |
|
|
|
||
2) |
существуют конечные производные |
|
|
|
|
|
|||||
f (x) и g (x) в U (x0 ); |
|||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g(x) 0, g (x) 0 в U (x0 ); |
|
|
|
||
115
4) lim f (x) , |
lim g(x) . |
x x0 |
x x0 |
Тогда, если существует lim f (x)
и имеет место равенство
x x0 g (x)
lim f (x) lim
x x0 g (x) x x0
, то существует lim f (x)
x x0 g(x)
f (x) . g(x)
Теорема 8.2 формулирует правило раскрытия неопределенности
типа .
Замечание 8.2. Правило Лопиталя справедливо и в случаях x , x , x .
Пример 8.4. Найти предел lim x3 .
x ex
Решение.
|
x |
3 |
|
|
|
|
(x |
3 |
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
ex |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x ex |
|
|
|
x (ex ) |
|
x |
|||||||
lim |
6x |
|
|
lim |
(6x) |
||
|
|
|
|
||||
x ex |
|
|
|
x (ex ) |
|||
Ответ: 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8.5. Найти предел |
lim |
ln x . |
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln x |
|
|
lim |
(ln x) |
||
|
x |
|
|
(x) |
|||
x |
|
|
|
x |
|||
Ответ: 0.
|
|
|
lim |
|
|
||
|
|
|
x |
lim e6x 0 .
x
1
lim x 0 .
x 1
(3x2 ) (ex )
116
Пример 8.6. Найти предел |
lim |
x sin x |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
(x sin x) |
|
1 |
cos x |
|
||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
(x) |
lim |
|
|
. |
|
x |
|
|
1 |
|||||||||
x |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
||||
Полученный предел не существует, так как при x функция y 1 cos x не стремится ни к какому предельному значению, а ко-
леблется между 0 и 2. Правило Лопиталя не дает результатов.
Рассмотрим другой подход к вычислению предела. |
|||||||||
|
x sin x |
|
|
|
|
sin x |
|
||
lim |
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
x |
x |
||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|||
|
lim |
sin x |
lim sin x lim 1 |
0, |
|
|
|
|
|||||
|
x |
x |
x |
x x |
|
|
|
так как y sin x ограничена, |
1. |
||||
|
y |
1 БМФ при |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Ответ: 1.
Заметим, что правило Лопиталя дает также возможность рас- |
||||||
крыть неопределенности типа 0 , |
, |
1 , |
00 , 0 , |
|||
предварительно приведя их к виду |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
или |
. |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
Пример 8.7. Найти предел |
lim |
x ln x . |
|
|
||
Решение. |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x ln x (0 ) |
|
|
|||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
117
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
(ln x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x 0. |
|
|
||||||||
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
1 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: 0. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 8.8. Найти предел |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
lim |
sin x x |
|
|
|
|
|
0 |
|
(sin x x) |
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin x |
|
xsin x |
|
|
(xsin x) |
|
||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
x 0 |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
(sin x x) lim |
cos x 1 |
|
|
|
0 |
lim |
(cos x 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
sin x |
x cos x |
0 |
|
(sin x xcos x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
(xsin x) |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 cos x cos x xsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответ: 0.
1
Пример 8.9. Найти предел lim ex x x .
Решение.
x 0
x 0 |
ex x |
|
1 |
|
|
|
|
|
ex x |
|
1 |
|
1 ln(ex x) |
|
|
x 0 |
1 ln(ex x) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
x e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
lim e x |
|
|
|
|||||||||||||
|
lim 1 ln(ex x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
lim |
1 |
ln(ex |
x) lim |
ln(ex x) |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ex 0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 x |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(ln(e x |
x )) lim |
|
e x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
|
|
e x x |
|
2 |
e 2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
( x ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: e2 .
118
Пример 8.10. Найти предел lim xx .
x 0
Решение.
lim xx |
00 |
|
|
xx ex ln x |
|
|
lim ex ln x |
|
|||
|
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
x ln x |
|
|
|
lim x ln x 0, |
|
e0 1. |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
ex 0 |
|
x 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
пример 8.7 |
|
|
|
|
||||
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для самоконтроля
1. Какого вида неопределенности позволяет раскрыть непосредственно правило Лопиталя?
2. В каком случае нельзя применять правило Лопиталя?
3. Какие преобразования следует выполнять при неопределенностях вида 1 , 00 , 0 ?
Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы
Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
8.1. lim ln cos 2x . x 0 sin 2x
8.2. lim x arctg x .
x 0 x3
8.3. lim x sin x . x 0 x tg x
8.4.lim ex e x 2x . x 0 x sin x
Ответ: 0.
Ответ: 13.
Ответ: 12 .
Ответ: 2.
119