Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Ответ: y(20) ex (x2 39x 360).

100

6.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

6.1.Дифференцируемость функции. Дифференциал

Определение 6.1. Функция y f (x) называется дифференцируемой в точке x0 , если ее приращение в этой точке f (x0 ) может быть представлено в виде

где A – некоторое действительное число, а o( x) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x при x 0 ( x x x0 ).

Теорема 6.1. Для того чтобы функция y f (x) была дифференцируемой в точке х0 , необходимо и достаточно, чтобы в точке х0 существовала конечная производная f (x0 ) A.

Доказательство.

Необходимость. Если функция y f (x) дифференцируема в точке х0 , то из определений 6.1 и 5.1

101

откуда при f (x0 ) 0 получим

где f (x0 )(x x0 ) называется главной линейной относительно при-

Определение 6.2. Главная линейная часть приращения функции y f (x) в точке х0 называется дифференциалом df (x0 ) функции

в этой точке, т. е. df (x0 ) f (x0 )(x x0 ) или df (x0 ) f (x0 ) x. Ес-

ли f (x0 ) o( x), т. е. f (x0 ) 0, то df (x0 ) 0.

Заметим, что если рассмотреть функцию y x , то в этом случае y (x) 1 и, следовательно, dy dx 1 x x, т. е. дифференци-

ал и приращение независимой переменной равны между собой: dx x. Поэтому дифференциал функции y f (x) в точке х0

можно представить в виде

df (x0 ) f (x0 )dx.

Геометрический смысл дифференциала следует из формулы (6.2), рис. 6.1. Согласно принятым обозначениям:

NM1 f (x) f (x0 ) f (x0 ),

NP f (x0 )(x x0 ) df (x0 ),

PM1 o(x x0 ).

102

Дифференциал функции равен приращению NP ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0

при приращении аргумента x x0.

у

Р

N

X

Рис. 6.1

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной:

Пусть для функции y f (x) переменная x (t). Если рассматривать x как независимую переменную, то dy f (x)dx, где dx x. Если рассматривать как независимую переменную t, то

dy yt dt ( yx xt )dt yx (xt dt) yxdx f (x)dx.

103

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

6.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Рассмотрим формулу (6.2):

f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) o(x x0 ).

Откуда

f (x) f (x0 ) df (x0 ) o(x x0 ).

а это означает, что в достаточно малой окрестности точки x0 график функции y f (x) можно «заменить» графиком касательной

f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ),

проведенной к графику функции в этой точке.

f (x) f (0) f (0)x, и тогда очевидными становятся ряд эквивалентностей бесконечно малых функций.

Пример 6.1. (1 x) 1 x, x 0; ln(1 x) x, x 0.

Основной принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям значений функции сводится к следующему: если необходимо вычислить значение функции y f (x) для x X ,

но сделать это весьма затруднительно, то «вблизи» точки x

104

выбирается точка x0 , такая, чтобы значения f (x0 ) и f (x0 ) нахо-

дились легко, и на основании (6.3) приближенно вычисляется значение f (x).

Пример 6.2. Вычислить приближенно 3 9.

Решение.

мулы (6.3) получим 3 9 2 121 1 2121 2,08(3). Ответ: 3 9 2,083.

6.3. Дифференциалы высших порядков

Если рассмотреть дифференциал первого порядка df f (x)dx

и определить дифференциал второго порядка как дифференциал от дифференциала первого порядка, то в результате получим

т. е. d 2 f f (x)dx2.

Выполнив аналогичные действия можно получить дифференциал третьего порядка d3 f f (x)dx3 , и т. д. Тогда дифференциал п-го порядка d n f f (n) (x)dxn .

Следует заметить, что уже дифференциал второго порядка сложной функции не обладает свойством инвариантности формы.

105

Вопросы для самоконтроля

1.Как можно представить приращение функции y f (x) дифференцируемой в точке x0 , используя производную функции?

2.Что представляет собой дифференциал функции в точке x0?

3.В чем состоит геометрический смысл дифференциала?

4.Какие правила вычисления дифференциала можно получить, используя основные правила дифференцирования?

5.В чем состоит свойство инвариантности формы записи дифференциала? Когда оно будет нарушено?

6.В чем состоит основной принцип использования дифференциала в приближенных вычислениях?

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

Найти дифференциал первого порядка функции:

6.4. Найти дифференциал второго порядка функции y lnxx . Вы-

6.5.Пусть y x3. Определить y и dy и вычислить их при изменении x от 2 до 1,98.

Ответ: y 0,2376, dy 0,24.

6.6.Вычислить приближенно с помощью дифференциала ln1,005.

Ответ: 0,005.

106

6.7.Вычислить приближенно с помощью дифференциала 4 624.

Ответ: 4,998.

6.8.Записать уравнения касательной и нормали к кривой

6.12.с Найти дифференциалы первого и второго порядка функции y x arctgx ln 1 x2 .

уравнение нормали.

107

7. ОСНОВНЫЕТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГОИСЧИСЛЕНИЯ

Определение 7.1. Функция y f (x) имеет в точке x0 локальный максимум (локальный минимум), если U (x0 ) такая, что

x U (x0 ) : f (x) f (x0 ) ( f (x) f (x0 ) ).

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Если функция y f (x) определена на отрезке [a, b] и имеет ло-

кальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, такой экс-

тремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом.

Определение 7.2. Точка x0 из области определения функции y f (x) называется критической (стационарной) точкой, если про-

изводная функции в этой точке обращается в нуль ( f (x0 ) 0 ) или не существует.

Теорема 7.1 (Ферма). Пусть функция y f (x) определена на [a, b] и в некоторой точке x0 (a, b) имеет локальный экстремум.

108

при x x0:

f(x) f (x0 ) 0, x x0

x0 (a, b), так как односторонние производные на концах отрезка

могут быть отличны от нуля.

Геометрический смысл теоремы Ферма. Если x0 (a, b) –

точка локального экстремума функции y f (x) и существует конечная производная f (x0 ), то касательная, проведенная к графику функции в точке (x0 , f (x0 )), параллельна оси Ох.

Теорема 7.2 (Ролля). Пусть функция y f (x) :

1)определена и непрерывна на отрезке [a, b];

2)дифференцируема для x (a, b);

3)f (a) f (b).

Тогда найдется точка c (a, b), такая, что f (c) 0 .

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Если функция y f (x) C const на отрезке [a, b] , то

f(x) 0 для x (a, b);

2.Пусть y f (x) C . По условию y f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и, согласно теореме Вейерштрасса, достигает наиболь-

шего M и наименьшего m значений.

Так как f (a) f (b), то значения M и m не достигаются одно-

временно на концах отрезка, т. е. хотя бы одно из значений достигается в точке c (a, b). Согласно теореме Ферма f (c) 0. ■

Замечание 7.2. Все условия теоремы Ролля существенны.

109