Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

7.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

5.4.4.Производная функции, заданной неявно

Вряде задач приходится сталкиваться с ситуацией, когда переменная y, являющаяся по смыслу функцией от x, задается уравне-

нием F(x, y) 0. В этом случае говорят, что y f (x) как функция

аргумента x задана неявно. Заметим, что не всякую неявно заданную функцию можно представить явно.

Пример 5.10. Равенство x2 y2 1 определяет две функции y1 1 x2 и y2 1 x2 x 1 .

Равенство y6 y x2 0 нельзя разрешить относительно y.

Чтобы найти производную функции y f (x),

заданной неявно

уравнением

F(x, y) 0,

нужно продифференцировать

тождество

F(x, y(x)) 0

как

сложную

функцию и

затем

выразить

y (x)

через x и y из полученного уравнения.

Пример

5.11.

Найти

производную

функции

у,

если

y sin x cos(x y).

Решение.

y(x)sin x cos(x y(x)),

( y(x)sin x)

(cos(x y(x))) ,

y (x)sin x y(x)cos x sin(x y(x))(1 y (x)),

y (x)(sin x sin(x y(x))) y(x)cos x sin(x y(x)),

y(x)cos x sin(x y(x))

y (x)

sin x sin(x y(x))

Ответ: y

y cos x sin(x

sin x sin(x y) .

5.4.5. Производная функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между аргументом x и функцией				y	задана
параметрически в виде двух уравнений
x x(t),					(5.10)

y y(t),
где t − параметр.
Найдем производную yx , считая,			что функции (5.10)		имеют
производные и что функция x x(t)			имеет обратную	t (x).
По правилу дифференцирования обратной функции
tx	1	.			(5.11)

	xt

Функцию y f (x), определяемую параметрическими уравнениями (5.10), можно рассматривать как сложную функцию y y(t), где t (x).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

yx yttx .

С учетом равенства (5.11) получаем			yx yt	1	, т. е.
				xt
yx	yt	.			(5.12)

	xt

Формула (5.12) позволяет находить производную yx от функции заданнойпараметрически, не находязависимость y от x в явном виде.

					3	,
Пример 5.12. Пусть				x t		,	Найти yx .
Пример 5.12. Пусть							Найти yx .
				y t2.
Решение.
Решение.
	2t	2		xt 3t2 ,				yt 2t ,
поэтому yx	2t	2	.
поэтому yx	3t2		.
	3t2	3t

Если непосредственно найти зависимость y от x , то получим

t 3 x ,	y	3 x2 , yx			2	2	.
t 3 x ,	y	3 x2 , yx			33 x		.
					33 x	3t
		x t3;

Ответ:			2
	yx		2	.
	yx			.
			3t

5.4.6. Логарифмическая производная

Пусть необходимо найти производную функции y f (x) u(x)v(x) ,

u(x) 0. Прологарифмируем обе части равенства f (x) u(x)v(x) , получим ln f (x) v(x)ln u(x). Продифференцируем

1
	f (x) v (x)ln u(x) v(x)	u (x)	,
f (x)		u(x)

и преобразуем

f(x) f (x) v (x)ln u(x) v(x) u (x) .

u(x)

Таким образом, u(x)	v(x)	u(x)	v(x)	u (x)
Таким образом, u(x)		u(x)	v (x)ln u(x) v(x)	.
				u(x)

Пример 5.13. Найти производную функции y sin x cos x .

Решение.

Логарифмируем исходную функцию

			ln y cos x ln sin x,
дифференцируем полученное равенство:
	1				1
			y sin x ln sin x cos x				cos x,
		y	y sin x ln sin x cos x			sin x	cos x,

откуда выражаем y .
Ответ:				sin xln sin x	cos2 x
Ответ:	y (sin x)cos x			sin xln sin x			.
					sin x
					sin x

5.4.7. Производные высших порядков

Пусть функция y f (x) определена на множестве Х и имеет производную в точке x X и некоторой ее окрестности. Тогда про-

изводная функции	y f (x)	в точке х есть функция
							g(x) f (x).
						в точке x X , то
Если функция y g(x) имеет производную g (x)
			называют		производной второго
функцию g (x) f	(x) f	(x)
порядка функции y					d 2 y	, f
	f (x) и обозначают y ,				dx2		(x).
			y f (x)
Вторая производная функции				может существовать в

точке x и некоторой ее окрестности. Тогда, если существует производная второй производной, то ее называют производной третьего

порядка и обозначают y		d3 y	,	f
	,	dx3			(x).

Продолжив аналогичные рассуждения, получим, что если функция y f (x) имеет в точке x и некоторой ее окрестности все про-

изводные до п-го порядка включительно, то производная от y(n 1)

будет представлять собой производную п-го порядка. Если при этом y(n) f (n) (x) – непрерывная функция на множестве Х, то функция y f (x) называется n раз непрерывно дифференцируемой функ-

цией или функцией класса C(n) (X ). Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой.

Пример 5.14. Функция y ex				– бесконечно дифференцируемая
функция на множестве .
Если	f (x), g(x) C(n) (X ), то
		f (x) g(x) (n) f (n) (x) g(n) (x),
			n
		f (x)g(x) (n) Cnk f (n k ) (x)g(k ) (x),			(5.13)
			k 0
где Cnk	n!		. Формула(5.13)	называется формулой Лейбница.
где Cnk	k!(n k)!		. Формула(5.13)	называется формулой Лейбница.
	k!(n k)!

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что называют производной функции в точке?

2.В чем состоит геометрический смысл производной?

3.В чем состоит физический смысл производной?

4.Какая связь наблюдается между непрерывностью и существованием производной функции в точке?

5.Каким образом связаны односторонние производные и производная функции в точке?

6.Повторите основные правила дифференцирования и таблицу производных.

7.Каким образом можно найти производную сложной функции

ycos2 x, используя только основные правила дифференцирования?

8.В каком случае для вычисления производной используется неявное дифференцирование?

9.В каком случае для вычисления производной используется логарифмическое дифференцирование?

10.Приведите три примера функций бесконечно дифференцируемых на множестве .

Задания для решения в аудитории и самостоятельной работы

Найти производную функции:

5.1. y 3x5		4x2			2x 8.				Ответ: y 15x4			8x 2.
5.2. y 5x	4		7	x	3	7			Ответ: y	20x	3		9	35
		3						10.						x6 .
							x5						77 x4

5.3. y 4	x	4	3x2.
		x

5.4.y ex cos x.

5.5.y tgxlog3 x.

5.6.y xx 11.

5.7.y ex ln x . ex ln x

5.8.y (1 3x)8.

5.9.y cos4 x.

5.10.y tg(4x 1)3.

Ответ:	y	2	2	6x.
		x	x3

Ответ: y ex (cos x sin x).

log

tgx

Ответ: y

cos2

x ln 3

Ответ:

1)2 .

ln x

Ответ:

(ex ln x)2

Ответ:

y 24(1 3x)7 .

Ответ:

y 4cos3 xsin x.

Ответ:

12(4x 1)2

cos2 (4x 1)3

5.11.y sin(cos x2 ).

5.12.y e 3x2 1.

Ответ: y 2xcos(cos x2 )sin x2.

Ответ: y e 3x2 1( 6x).

5.13.y earctg x .

5.14.y 2cos x3.

5.15.y 5ln x.

5.16.y cos(4x 4 x ).

Ответ: y	e	arctg	x	1			1
								.
					1 x	2	x

Ответ: y 2cos x3 ln 2( 3x2 )sin x3.

Ответ: y 5ln x ln 5 lnlnx2 x1.

Ответ: y sin(4x 4 x )(4x 4 x )ln 4.

5.17. y ln(x 1 x2 ).	Ответ: y		1	.

			1 x2
5.18. y ln sin x 1cos2 x.	Ответ:	y cos3 x .
2			sin x
5.19. y (x9 1)3 cos5x.	Ответ:	1)2 (27x8 cos5x 5(x9 1)sin5x)).
	y (x9

5.20. y	sin2 5x		.
	(x3	1)3

5.21. y xsin2 x 2x.

Найти производную y

5.22.y sin(x 2y).

5.23.y2 x2 sin(x2 y2 ) 5.

5.24.ex2 y2 x4 y4 5.

Ответ:

5sin10x(x3 1)

9x2 sin2 5x

(x3 1)4

Ответ:

x xsin2x xsin

ln2).

2 (sin

неявной функции:

Ответ: y

cos(x 2 y)

1 2cos(x 2y)

Ответ: y

y2 cos(x2 y2 ) 1

1 x2 cos(x2 y2 )

Ответ:

2x3 xy2ex2 y2

x2 yex2 y2 2y3 .

Найти первую и вторую производные неявной функции y.

5.25.x y arctg y.

5.26.ln y xy C.

Ответ:	y y 2 1;			y 2( y 3 y 5 ).
Ответ:	y	y		y	y2
			;			.
		x y			(x y)3

Найти производную функции y используя правило логарифмического дифференцирования.

5.27. y xln x .

5.28. y (sin x)x .

5.29. y xx2.

5.30. y 3 x 1(x 32)2 . (x 5)

5.31.y xxx .

5.32.xy yx .

Ответ: y 2ln x xln x 1.

Ответ: y (sin x)x (ln(sin x) xctgx).

Ответ: y xx2 1(2ln x 1) .

Ответ: y 2(x 2)(x2 11x 1) . 3(x 5)4 3 (x 1)2

Ответ: y xxx xx 1(1 xln x(ln x 1)).

Ответ: y	x ln y y	y
			.
	y ln x x	x

Найти производные yx и yxx параметрически заданнойфункции.

5.33.x e t ,y e2t .

x ln cost ,

y ln sin t .

			3t		,			6e	4t	,
Ответ:	yx 2e				,	yxx		6e		,
Ответ:		x e t ,					x e t .
		x e t ,					x e t .

				2					2cos2 t
				2	t,	y					,
Ответ:	y ctg				t,	y			sin4 t		,
Ответ:		x					xx		sin4 t
	x ln cost ,
							x	ln cost .
							x	ln cost .

ctg3t,

5.35.

Ответ:

sin t

cost

y tgt.

cost

5.36.Найти производную третьего порядка от функции y sin x2.

Ответ: y(3) 4x(3sin x2 2x2 cos x2 ).

5.37.Найти y(4) (1), если y x3 ln x.

Ответ: 6.

5.38.Применяя формулу Лейбница, найти y(5) , если y sin xe x .

Ответ: y(5) 4e x (sin x cos x).

Найти производную функции:

5.39.с y 3 x2 x4 x.

5.40.с y ln3 (x 2).

5.41.с y 4 (1 sin2 x)3 .

5.42.с y arcsin 1x .

с		2		x
5.43.	y cos		sin		.
				3

Ответ: y		2			5	4 x.
Ответ: y	33		x		4	4 x.
Ответ: y	3ln2 (x 2)
			x 2 .
			x 2 .
Ответ: y		3sin 2x						.
Ответ: y	44 1 sin2 x							.
Ответ: y			1				.
Ответ: y							.
		x		x2 1
Ответ: y		1			x					x
			cos			sin			2sin		.
		3	cos		3	sin			2sin	3	.
		3			3					3

Ответ: y

cos

5.44.с

y sin x .

x x

sin

5.45.с

y 4sin5 2x.

Ответ: y 10 4sin5 2x ln 4sin4 2xcos 2x.

Ответ: y

5.46.с y ln x2

x4 5.

x4 5 .

5.47.с

y x arcsin ln x .

Ответ: y arcsin ln x

1 ln2

e x2

5.48.с y 2x .

Найти производную

5.49.с ey e x xy 0.

5.50.с xy arctg xy .

Ответ: y e x2 (2x22 1) . 2x

y неявной функции:

Ответ: y eeyx xy .

Ответ: y	y	1	x2	y2
			x2	y2 .
	x	1

Найти первую и вторую производную неявной функции y.

5.51.с ey x y .

5.52.с ln x e xy 2.

Ответ: y

ey 1

x y 1

x y

(x y 1)3 .

Ответ: y

e x .

Найти производную функции y используя правило логарифмического дифференцирования.

5.53.с y xcos x	Ответ: y x	cos x	sin x ln x	cos x
				x	.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20258.23 Mб0Введение в инженерно-педагогическое образование.pdf
#
24.11.202514.47 Mб0Введение в инженерное образование.pdf
#
24.11.20252.39 Mб3Введение в испанский язык.pdf
#
24.11.20252.17 Mб1Введение в квантовую физику.pdf
#
24.11.20251.41 Mб0Введение в лабораторный практикум по физике.pdf
#
24.11.20257.09 Mб0Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.pdf
#
24.11.20253.96 Mб0Введение в мехатронику.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Введение в образование по специальности.pdf
#
24.11.20251.08 Mб0Введение в специальность.pdf
#
24.11.20251.41 Mб0Великая Отечественная война советского народа (в контексте Второй мировой войны).pdf
#
24.11.20253.08 Mб0Вероятностно-статистические методы оценки качества в машиностроении.pdf