Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 3»

А. В. Капусто

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебно-методическое пособие

Минск

БНТУ

2016

УДК 517.53/.55(075.8) ББК 22.161я7

К20

Р е ц е н з е н т ы :

кафедра высшей математики Полоцкого государственного университета (зав. кафедрой, канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Козлов);

доцент кафедры общей математики и информатики Белорусского государственного университета Кепчик Н. В.

Капусто, А. В

К20 Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных : учебно-методическое пособие для студентов специальностей 1-70 01 01 «Производство строительных изделий и конструкций», 1-70 02 01 «Промышленное и гражданское строительство», 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью», 1-70 03 02 «Мосты, транспортные тоннели и метрополитены», 1-70 04 01 «Водохозяйственное строительство», 1-70 04 02 «Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна», 1-70 04 03 «Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов» / А. В. Капусто. – Минск : БНТУ, 2016. – 223 с.

ISBN 978-985-550-753-7.

Учебно-методическое пособие включает теоретический материал, вопросы и задания для самоконтроля по теоретическому материалу, задания для практических занятий и самостоятельной работы по разделам «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

2

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ряда строительных специальностей.

Теоретический материал представлен разделами «Введение в математический анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». Сложные доказательства некоторых теорем и утверждений опущены и вместо них приведено достаточное количество примеров иллюстрирующих теорию. Отсутствие доказательства в тексте отмечено знаком «*», конец доказательства – знаком «■». Нумерация теорем, утверждений, формул, примеров и рисунков ведется с привязкой к темам.

Для выделения базового уровня теоретического материала после каждой из тем раздела приведен перечень вопросов и заданий для самоконтроля.

Весь теоретический материал сопровождается многочисленными примерами с подробно выполненными заданиями, по аналогии с предлагаемыми для решения на практических занятиях. Исходя из этого, материал заданий для аудиторного выполнения и самостоятельной работы содержит только условия заданий и ответы. Номера заданий, рекомендуемых для самостоятельного решения, для удобства помечены буквой «с».

В список литературы включены основные источники, использованные при составлении учебно-методического пособия. При самостоятельном изучении материала студенты могут использовать также и другую литературу, соответствующую стандартам образования.

Ввиду наличия в тексте большого количества типичных заданий, сопровождаемых примерами и подробных пояснений теоретического материала, учебно-методическое пособие может быть использовано студентами как дневной, так и заочной форм обучения.

3

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Множества, операциинад ними

Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Слова «совокупность», «набор», «система», «объединение» и другие являются синонимами слова «множество». Например, можно говорить о множестве студентов в институте, множестве букв в алфавите, множестве целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать как конечное, так и бесконечное число объектов некоторой природы. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Принадлежность элемента a множеству A обозначают следующим образом: a A. Если b не является эле-

ментом множества A, то пишут: b A. Если a1,a2 , ..., an – некоторые элементы, то запись A a1, a2 , ..., an означает, что множество A состоит из элементов a1, a2 ,..., an.

Два множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов (обозначение: A B ). Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы мно-

жества A являются одновременно и элементами множества B (обо-

значение: A B («множество A содержится в множестве В») или B A («множество B содержит множество А»). Например,

так как всякое натуральное число n является целым, то , где

– множество натуральных чисел, – множество целых чисел.

Множество, не содержащее ни одного элемента, будет называться

пустым множеством и обозначаться . Это множество является подмножеством любого множества. Пусть X – множество, а p(x) – какое-либо свойство элементов этого множества. Тогда

запись x x X, p(x) означает совокупность тех элементов множества X , которые обладают свойством p(x). Например, если a и b –

4

два числа и a b, то встречавшиеся в элементарной математике отрезок, интервал и полуинтервалы можно записать в следующем виде:

лы. Здесь – множество действительных (вещественных) чисел. Множество x x , x всех чисел называется также чис-

ловой прямой или числовойосью, а любое число – точкойэтой прямой. Пересечением множеств A и B называется множество C A B,

состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как A, так и B, т. е. C x x A и x B .

Объединением множеств A и B называется множество

C A B, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух данных множеств, т. е. C x x A или x B .

Разностью множеств A и B называется множество AB, состоящее из тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B, т. е. AB x x A и x B .

Пусть X – некоторое основное множество, тогда дополнением множества A X называется множество A, состоящее из всех элементов y X и не принадлежащих A, т. е.

A y y X , y A X A.

Таким образом, все элементы, которые не принадлежат множеству A, образуют множество A. Следовательно, A A .

Логическиесимволы

Многие математические понятия удобно записывать, пользуясь логической символикой. Так, символ , называемый квантором

общности, используется вместо слов «для любого», «для всех», «для каждого», «какого бы ни было» и т. д., символ – квантор существования – вместо слов «существует», «найдется», «имеется» и т. д.

5

Часто используются также логические символы следствия и рав-

носильности .

Грани числовых множеств

Говорят, что множество X ограничено сверху (снизу), если существует такое число b a , что x b a x для любо-

го x X . Число b a в этом случае называется верхней (нижней)

гранью множества X .

Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным, т. е. существуют два числа a и b, такие, что a x b,

x X . Эти неравенства показывают, что множество X ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на некотором конечном отрезке числовой прямой. Очевидно, что множество X ограничено тогда и только тогда, когда существует положительное число C, такое, что

x C, x X C x C, x X .

Множество, не ограниченное сверху или снизу, называется

неограниченным.

Если число b является верхней гранью множества X , то и любое

число больше b тоже является верхней гранью, и, если число a – нижняя грань множества X , то всякое число, меньше a будет

нижней гранью X .

Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) граней называется точной верхней (нижней) гранью множества и обозна-

чается символом sup X («супремум X») ( inf X , «инфимум X»).

Точные верхняя и нижняя грани множества могут принадлежать или не принадлежать этому множеству. Если множество X не огра-

Теорема 1*. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

6

Предельные точки числового множества. Открытые и замкнутые множества

точки a (точка a исключена из своей -окрестности). Геометрически -окрестность точки a есть интервал (a , a )

Точка x X называется изолированной точкой этого множества, есливдостаточномалойее -окрестностинетточекиз X , отличныхот x.

Точка x X называется внутренней, если существует некоторая-окрестность этой точки, целиком содержащаяся в множестве X .

Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым; множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым. Открытым множеством является, например, интервал (a, b), замкнутым множеством – отрезок [a, b].

Точка x называется граничной точкой множества X, если любая

-окрестность этой точки содержит точки, как принадлежащие множеству X, так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных то-

чек множества X называется границей этого множества. Например, если X [a, b], то все точки интервала (a, b) являются внут-

ренними точками множества X, а граница этого множества

состоит из двух точек: a и b.

Если множество X представляет собой область (открытое множество), то множество X, полученное присоединением к X всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.

7

РАЗДЕЛ 1

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. ФУНКЦИЯ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

1.1. Понятие функции

Пусть X и Y − некоторые числовые множества.

Определение 1.1. Функцией называется множество f упорядоченных пар чисел (x, y) таких, что x X , y Y, и каждое x входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое y входит

по крайней мере в одну пару. При этом говорят, что числу x поставлено в соответствие число y, и пишут y f (x). Число y назы-

вается значением функции f в точке x. Переменную y называют

зависимой переменной, а переменную x − независимой переменной (или аргументом); множество X − областью определения (или су-

ществования) функции ( D( f )), y y(x), а множество Y − множе-

ством значений функции ( E( f )).

Кроме буквы f для обозначения функции используют и другие

гими буквами могут обозначаться зависимая и независимая переменные. Иногда зависимую переменную также называют функцией.

На плоскости функция изображается в виде графика – множества точек (x, y), координаты которых связаны соотношением y f (x),

называемым уравнением графика.

График функции может представлять собой некоторую «сплошную» линию (кривую или прямую), может состоять из отдельных точек, например график функции y n!

Заметим, что не всякая линия является графиком какой-либо функции. Например, окружность x2 y2 1 не является графиком функции, так как каждое значение x ( 1;1) входит не в одну, а в две пары чисел (x, y) этого множества с разными значе-

8

ниями y : y1 1 x2 и y2 1 x2 , что противоречит требова-

нию однозначности в определении функции. Однако часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости, является графиком функ-

ции y 1 x2 , а другая ее часть, лежащая в верхней полуплоскости, − графиком функции y 1 x2 .

1.2. Способы задания функций

Задать функцию f − значит указать, как по каждому значению аргумента x находить соответствующее ему значение функции f (x).

Существуют три основных способа задания функций: аналитиче-

ский, табличный и графический.

Аналитический способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.

Пример 1.1. Формула y = x2 задает функцию, область определения которой − числовая прямая D( f ) ( ; ), а множество зна-

чений – полупрямая E( f ) [0; ).

определения которой − отрезок D( f ) [ 1;1], множество значений – отрезок E( f ) [0;1].

1, если x 0,

Пример 1.3. Функция y sign x 0, если x 0,

1, если x 0,

задана с помощью нескольких формул. Она определена на всей числовой прямой D( f ) ( ; ), а множество ее значений состо-

ит из трех чисел E( f ) 1, 0, 1 .

Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента.

9