7 ХАРАКТЕРИСТИКА ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Теоретические положения
Наиболее распространенными для анализа кривой нормального распределения являются показатели асимметрии и эксцесса.
Асимметрия характеризует симметричность кривой нормального распределения относительно средней арифметической и рассчитывается по формуле
As = ум33 ,
( x )
где µ 3 – центральный момент третьего порядка, который определяется по формуле
μ3 |
= |
∑(x − x)3 |
fi |
. |
∑ fi |
|
|||
|
|
|
|
При сравнении нескольких рядов по их симметричности можно воспользоваться формулами:
|
- |
|
|
|
- |
|
A = |
х- Мо |
, |
или |
A = |
х- Мо |
. |
|
|
|||||
s |
у(2x) |
|
s |
у(2x ) |
||
Оценка существенности асимметрии проводится с помощью среднеквадратической ошибки.
σA |
= |
6 (n −1) |
, |
||
(n +1) |
(n +3) |
||||
s |
|
|
|||
|
|
|
|
||
где n – число наблюдений.
67
В случае |
|
Аs |
|
|
≥ 3, асимметрия существенна. |
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
σА |
|||
|
|
s |
|||
Показатель эксцесса отражает форму вершины кривой нормального распределения и рассчитывается по формуле
E |
s |
= |
μ4 |
−3, |
|
||||
|
|
σ(4x) |
||
где µ 4 – центральный момент четвертого порядка, который определяется по формуле
μ4 |
= |
∑(xi − x)4 |
fi |
. |
∑ fi |
|
|||
|
|
|
|
Средняя квадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по формуле
σEs = |
24 (n −2) (n −3) |
|
|
. |
|
(n −1)2 (n +3) (n +5) |
||
Для проверки гипотезы необходимо определить теоретические частоты по формуле плотности нормального распределения
|
|
|
|
|
(x −x )2 |
|
|
1 |
|
e− |
i |
F = |
|
|
2у(x)2 . |
||
у(x) |
|
|
|||
|
|
2р |
|
||
Для удобства расчета теоретических частот обозначим:
−
через коэффициент доверия – t = (xi − x) ;
σ( x)
68
|
1 |
e− |
t 2 |
||
через функцию –ϕ = |
2 |
. |
|||
2р |
|||||
|
|
|
|
||
Для характеристики состоятельности гипотезы о принадлежности кривой типу кривых нормального распределения определяем
критерий ХИ – квадрат « X 2 » по формуле
X 2 = ∑ |
(fтеор − fi )2 |
. |
|
||
|
fтеор |
|
Расчетное значение критерия сравнивается с табличным, если оно меньше или равно табличному значению, значит, гипотеза о принадлежности кривой нормальному распределению верна.
При отсутствии табличного значения можно оценить гипотезу по критерию Романовского
C = X 2 −m ,
2m
где m – число групп.
Если С > 3,то гипотеза о принадлежности кривой нормальному распределению верна.
Пример. Определить параметры кривой нормального распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
fi |
x |
i |
f |
i |
x |
|
2 |
f |
|
(x −x)3 |
f |
i |
(x −x)4 |
f |
i |
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
-34,2959 |
|
|
65,1605 |
|
|
2 |
6 |
12 |
|
|
24 |
|
-4,374 |
|
|
3,9366 |
|
|
||||
3 |
10 |
30 |
|
|
90 |
|
0,01 |
|
|
0,001 |
|
|
||||
4 |
5 |
20 |
|
|
80 |
|
6,655 |
|
|
7,3205 |
|
|
||||
5 |
4 |
20 |
|
100 |
|
37,044 |
|
|
77,7924 |
|
|
|||||
∑ |
30 |
87 |
|
299 |
|
5,0391 |
|
|
154,211 |
|
|
|||||
69
Определяем среднюю арифметическую
x = |
∑xi fi = |
87 |
= 2,9. |
|
30 |
||||
|
∑fi |
|
Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле
σ |
= ∑(xi )2 fi −(x)2 = |
299 |
−2,92 =1,25 . |
|
|||
( x) |
∑ fi |
30 |
|
|
|
Центральный эмпирический момент третьего порядка определяем по формуле
μ |
|
= ∑(xi − x)3 fi = |
5.0291 |
= 0.17. |
|||||||
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
∑ fi |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
A |
s |
= |
μ3 |
= |
|
0,17 |
= 0,087 . |
||
|
|
σ3 |
1,253 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
( x) |
|
|
|
|
|
|
Т.к. асимметрия > 0, то кривая имеет правостороннюю асимметрию по отношению к средней арифметической.
σA = |
6 (30 −1) |
= 0,412 . |
|
(30 +1) (30 +3) |
|||
s |
|
||
|
|
Так как отношение коэффициента асимметрии по модулю к средней квадратической ошибке меньше 3, то асимметрия не существенна, и ее наличие обусловливается влиянием случайных факто-
ров (0,087 / 0,412 = 0,21 < 3).
70
μ |
|
= |
∑(xi − x )4 fi = |
154,211 |
=5,14. |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
∑ f i |
|
30 |
|
|
|||
|
|
|
E |
s |
= |
5,14 |
−3 = −0,89. |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1,254 |
|
|
|
|
|
||
Так как Es = – 0,89 < 0, то вершина плотности распределения
является плоской.
Соответствие данного распределения нормальному проверяем по критерию хи – квадрат (Х2)
X 2 = ∑ |
(fтеор − fi )2 |
. |
|
||
|
fтеор |
|
Для расчета критерия хи – квадрат необходимо определить теоретические частоты по формуле кривой нормального распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −x )2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e− |
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
F = |
|
|
2у(x)2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
у(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2р |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(fтеор − fi )2 |
||
xi |
fi |
|
|
− |
|
1 |
|
|
− |
t 2 |
|
fтеор |
||||
|
(xi − x) |
|
ϕ = |
e |
|
|||||||||||
|
|
t = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2р |
|
|
|
fтеор |
|||||||||
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
–1,52 |
0,125998 |
|
|
3 |
|
1,33 |
|||||||
2 |
6 |
|
–0,72 |
0,308667 |
|
|
8 |
|
0,5 |
|||||||
3 |
10 |
|
0,08 |
|
0,397957 |
|
|
10 |
|
0 |
||||||
4 |
5 |
|
0,88 |
|
0,271582 |
|
|
7 |
|
0,57 |
||||||
5 |
4 |
|
1,68 |
|
0,097540 |
|
|
2 |
|
2 |
||||||
∑ |
30 |
|
|
– |
|
– |
|
|
|
|
30 |
|
4,4 |
|||
Теоретические частоты, исходя из функции плотности распределения, определяются по формуле
71
fтеор =ϕ |
h ∑fi |
=ϕ |
1 30 |
=ϕ 24 . |
|
1.25 |
|||
|
σ( x) |
|
||
Если суммы теоретических и эмпирических частот равны, то расчеты верны. Теоретические частоты наносятся на график эмпирических частот.
Проверим соответствие кривой типу кривых нормального распределения по критерию «Романовского»
C расч. = |
X 2 |
−m |
= |
4,4 −5 |
= 2,8 . |
||
2m |
2 |
5 |
|||||
|
|
|
|||||
Так как расчетное значение критерия «Романовского» меньше 3, то кривая не соответствует типу кривых нормального распределения.
Контрольные вопросы
1.Какие виды форм распределения существуют?
2.По каким показателям оценивается симметричное и асимметричное распределение?
3.Какой показатель характеризует форму вершины кривой нормального распределения и его характеристики?
4.По какой формуле определяются теоретические частоты?
5.Критерий хи – квадрат и его анализ.
6.Критерий Романовского и его применение.
Задания
7.1 Если фактическое значение хи – квадрат больше теоретического хи – квадрат то критерий признает отклонения ( f – fт,):
а) существенными; б) существенность отклонений остается не доказанной; в) несущественным;
г) предсказать невозможно;
72
д) нет правильного ответа.
7.2Если фактическое значение хи – квадрат меньше теоретического
хи – квадрат, то критерий признает отклонения (f – fт ): а) существенными; б) несущественным;
в) существенность отклонений остается недоказанной; г) предсказать невозможно.
7.3Величина хи – квадрат может быть рассчитана на основании:
а) величины признака; б) теоретических и эмпирических частот;
в) вероятностей и эмпирических частот; г) предсказать невозможно.
7.4 Провести анализ на соответствие ряда распределения нормальному распределению.
Стаж ра- |
Число |
Стаж ра- |
Число |
Стаж ра- |
Число |
боты, лет |
человек |
боты, лет |
человек |
боты, лет |
человек |
до2 |
1 |
8 – 11 |
9 |
17 – 20 |
10 |
2 – 5 |
6 |
11 – 14 |
18 |
20 – 23 |
6 |
5 – 8 |
5 |
14 – 17 |
13 |
23 – 26 |
2 |
7.5 |
Провести анализ на соответствие ряда распределения нормаль- |
|||||
ному распределению. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Разряд |
Число |
Разряд |
Число |
Разряд |
Число |
|
|
|
человек |
|
человек |
|
человек |
|
1 |
5 |
4 |
26 |
7 |
9 |
|
2 |
10 |
5 |
14 |
8 |
5 |
|
3 |
16 |
6 |
10 |
9 |
1 |
7.6 |
Провести анализ на соответствие ряда распределения нормаль- |
|||||
ному распределению. |
|
|
|
|
||
73
Зарплата |
Число |
Зарплата |
Число |
Зарплата |
Число |
тыс. руб. |
чел. |
тыс. руб. |
чел. |
тыс. руб. |
чел. |
до 400 |
5 |
800 – 1000 |
24 |
1400 – 1600 |
9 |
400 – 600 |
8 |
1000 – 1200 |
16 |
1600 – 1800 |
3 |
600 – 800 |
12 |
1200 – 1400 |
10 |
1800 – 2000 |
2 |
7.7 Провести анализ на соответствие ряда распределения нормальному распределению.
Основные |
Число пред- |
Основные |
Число пред- |
средства, |
приятий |
средства, |
приятий |
млн руб. |
|
млн руб. |
|
0 – 4 |
28 |
20 – 30 |
20 |
4 – 10 |
26 |
30 – 50 |
15 |
10 – 20 |
24 |
50 – 75 |
10 |
74