Базовые понятия и конструкции элементарной и высшей математики
.pdf
y
y arccos x
2
|
O |
|
x |
|
–1 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
Рис. 3.36. График функции y arccos x
Другие значения ветвей многозначной функции y Arccos x
выражаются через главное его значения посредством формулы
Arccos x arccos x 2 k, k Z.
По определению арктангенсом числа а (arctg a) называется та-
кое число |
из интервала |
|
|
, |
|
|
, для которого имеет место ра- |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
венство tg a. В соответствии с этим определением для функции
y arctg x |
справедливы отношения D y R, |
|
|
|
, |
|
|
E y |
2 |
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Функция |
y arctg x является нечетной и возрастающей |
от |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
до |
на интервале |
, . |
При этом |
y 0 при x 0; |
y 0, |
||
2 |
x 0, |
y 0, |
если x 0. |
|
|
|
|
если |
График |
функции, изображенный |
|||||
на рис. 3.37, имеет две горизонтальные асимптоты: |
y и |
y . |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
Другие значения ветвей многозначной функции |
y Arctg x вы- |
||||||
ражаются через главное его значение посредством формулы
Arctg x arctg x k , k Z.
120
y
2
y arctg x
O |
x |
2
Рис. 3.37. График функции y arctg x
По определению арккотангенсом arcctg a числа а называется такое число из интервала 0, , для которого ctg a. В соот-
ветствии с этим определением для функции |
y arcctg x |
имеют ме- |
|
сто соотношения D y R, |
E y 0, . |
Функция |
y arcctg x |
убывает от до 0 на всей области определения. При этом верно равенство arcctg x arcctg x. Прямые y 0 и y являются
горизонтальными асимптотами [4] графика функции. График изображен на рис. 3.38.
y
|
|
2 |
y arcctg x |
O |
x |
Рис. 3.38. График функции y arcctg x
121
Другие значения ветвей многозначной функции y Arcctg x выражают через главное значение посредством формулы Arcctg x
arcctg x k , |
k Z. |
Для обратных тригонометрических функций при всех допустимых значениях аргумента x справедливы следующие тождества:
arcsin x arccos x |
, если |
|
|
x |
|
1; |
||||||
|
|
|||||||||||
sin arcsin x x, |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
если 1 x 1; |
||||||||||||
cos arccos x x, |
если 1 x 1; |
|||||||||||
arcsin sin x x, |
при |
|
x |
|
|
; |
||||||
|
|
|||||||||||
arccos cos x x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
при 0 x ; |
|||||||||||
arctg x arcctg x ; |
|
|
|
|||||||||
tg arctg x x, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x R; |
|
|
|
|||||||||
ctg arcctg x x, |
x R; |
|
|
|
||||||||
arctg tg x x, если x 2 ; arcctg ctg x x, если 0 x .
Гиперболические функции. Обратные гиперболические функции
Гиперболический синус является функцией, которая задается ана-
литическим выражением |
y sh x ex e x |
, |
в котором D y R |
|
2 |
|
|
и E y |
R. Функция y sh x – нечетная, монотонно возрастающая |
от |
до . При этом sh x 0 при x 0, sh x 0 при x 0, |
sh x 0 |
при x 0. График функции (рис. 3.39) центрально симмет- |
ричен относительно начала координат. Точка 0, 0 является точкой перегиба кривой.
122
y
y sh x
O x
Рис. 3.39. График функции y shx
Гиперболический косинус определяется посредством формулы
y ch x ex e x |
, |
в которой D y R и |
E y 1, . Функция |
2 |
|
|
|
y ch x – четная. |
Она в промежутке , 0 монотонно убывает |
|
от до 1, |
а при |
x 0, монотонно возрастает от 1 до . |
Кроме этого |
ch x 0 для любых x , . График функции |
|
симметричен относительно оси OY (рис. 3.40). y
y ch x
1
O |
x |
Рис. 3.40. График функции y chx
123
Гиперболический тангенс |
задается |
следующим |
образом: |
||
y th x sh x |
ex e x , где |
D y R |
и |
E y 1,1 . |
Функция |
ch x |
ex e x |
|
|
|
|
y th x – нечетная, возрастает на D y |
и |
th 0 0. Прямые y 1 |
|||
являются горизонтальными асимптотамиграфикафункции(рис. 3.41).
y
1
y th x
O |
x |
1 
Рис. 3.41 График функции y th x
Гиперболический котангенс определяется с помощью таких соот-
ношений: |
y cth x ch x |
ex e x |
, D y R \ 0 , E y R \ 1,1 . |
||
|
sh x |
ex e x |
|
, 0 |
|
Функция |
y cth x – |
нечетная, убывает на промежутках |
|||
и 0, . При этом |
y 1 при |
x 0 и y 1 при x 0. |
Прямые |
||
y 1, x 0 – асимптоты графика функции (рис. 3.42). |
|
||||
124
y |
y cthx |
|
1
O |
x |
1
Рис. 3.42. График функции y cthx
Перейдем к определению обратных гиперболических функций. Обратной функцией к гиперболическому синусу является функ-
ция y arsh x (ареа-синус), для которой |
D y R, |
E y R. |
Функция y arsh x – нечетная и возрастает |
на D y . Она опреде- |
|
ляется как функция, для которой значение функции y связано со значением ее аргумента y равенством x sh y. Используя это равен-
ство, определение гиперболического синуса и неравенства e y 0 (y – любое конечное вещественное число), можно доказать, что
y arsh x ln x x2 1 . График изображен на рис. 3.43.
Для функции y arch x (ареа-косинус) имеют место отношения D y 1, , E y 0, . Данная функция возрастает на D y .
Она определяется как функция, для которой значение функции y связано со значением ее аргумента x равенством x ch y. По сути,
посредством использования этого равенства и определения функ-
ций ch y |
и e y можно показать, что имеет место равенство |
y ln x |
x2 1 arch x. |
|
125 |
График функции y arch x изображен на рис. 3.44.
y
y arsh x
O |
x |
Рис. 3.43. График функции y arshx
y
y arch x
O |
1 |
x |
Рис. 3.44. График функции y archx
Функция y arth x (ареа-тангенс) характеризуется отношения-
ми D y 1,1 , |
E y |
R. |
Эта функция – нечетная, возрастает |
на D y . При этом |
y 0 |
при |
x 0, y 0 при x 0, y 0 при x 0. |
Данная функция определяется как функция, для которой ее значение y связано со значением аргумента x равенством x th y. Из ра-
венства следует справедливость формулы y |
1 ln |
1 |
x |
arth x. |
|
2 |
1 |
x |
|
График функции y arth x изображен на рис. 3.45.
126
y
y arth x
1 |
О |
1 |
x |
Рис. 3.45. График функции y arth x
Функция y arcth x (ареа-котангенс) в свою очередь характеризуется отношениями D y R \ 1,1 , E y R \ 0 . Эта функция является нечетной, убывает на промежутках , 1 и 1, . При этом y 0 при x 1, y 0 при x 1. Функция y arcth x оп-
ределяется как функция, для которой ее значение y и ее аргумент x связаны равенством x cth y. Из данного равенства следует истинность
аналитического представления этой функции: y 12 ln xx 11 arcth x. График функции y arcth x изображен на рис. 3.46.
y
y arcth x
–1 |
О |
1 |
x |
Рис. 3.46. График функции y arcthx
127
Функции знака, Хевисайда, Дирихле и антье
В математике при решении различных задач и записи аналитических представлений, формул, неравенств, условий и т. п. зачастую используют ряд достаточно простых и одновременно полезных функций. Дадим определения только некоторым функциям.
Под функцией сигнум y sgn x (функция знака) понимают функцию, которая определяется следующим образом:
1, если x 0, y sgn x 0, если x 0,
1, если x 0.
График функции y sgn x приведен на рис. 3.47.
y
1
О x
–1
Рис. 3.47. График функции знака
Единичная функция Хевисайда определяется формулой
0, если x 0, y x 1, если x 0.
График приведен на рис. 3.48.
128
y
1 
О x
Рис. 3.48. График функции Хевисайда
Существенно более сложной функцией является функция Дирихле. Она определяется следующим образом:
1, если x рациональноечисло, y f x 0, если x иррациональноечисло.
Под функцией «антье от x» понимается наибольшее целое число, не превосходящее x. Для нее используется обозначение y E x ,
и она определяется равенствами E x x n, если x n, n 1 , n Z.
129